А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Докажите, что если случайный процесс X (t ) воздействует нацепь с передаточной функцией K ( jω) = − jsign(ω) , то процесс навыходе цепи (называемый сопряжённым по Гильберту) не коррелирован с X (t ) в совпадающие моменты времени.9. Докажите, что два узкополосных процесса, сформированныхиз белого шума двумя полосовыми фильтрами с неперекрывающимися полосами пропускания, некоррелированны.10.
Наблюдение стационарного СП X (t ) сопровождается случайными ошибками, что эквивалентно наблюдению СПY (t ) = X (t ) + n(t ) , где n(t ) – стационарный шум наблюдения, некоррелированный с X (t ) .Выразите АКФ процесса Y (t ) через АКФ процессов X (t ) и n(t ) .11. В условиях предыдущей задачи выразите СПМ G y ( ω ) процесса Y (t ) через СПМ Gx ( ω) и Gn ( ω) процессов X (t ) и n(t ) . Поизвестным G y ( ω ) и Gn ( ω) можно найти Gx ( ω) .Означает ли это, что таким способом можно избавиться от ошибок наблюдения?12. а) Предложите схему устройства для экспериментальногоопределения импульсной характеристики цепи с использованиемисточника белого шума.1357.3. ЗАДАЧИб) Предложите аналогичную схему для определения АКФ импульсной характеристики цепи K g ( τ ) .13.
Полосовой фильтр с АЧХ вида⎡ 1 ⎛ ω − ω ⎞2 ⎤0K ( ω) = K 0 exp ⎢ − ⎜⎟ ⎥Δω2⎠ ⎥⎦⎢⎣ ⎝находится под воздействием белого шума с СПМ N 0 2 . НайдитеАКФ процесса на выходе.14. На вход линейной цепи с импульсной характеристикой g ( t )действует белый шум с СПМ N 0 2 .Определите в общем виде дисперсию выходного процесса.15. Линейная стационарная цепь описывается дифференциальным уравнениемandndt= bmnη ( t ) + …+ a1dmmdη ( t ) + a0 η(t ) =dtξ ( t ) + …+ b1dξ ( t ) + b0 ξ ( t ) ,dtdtгде ξ ( t ) – стационарный процесс с математическим ожиданием mξ .Найдите математическое ожидание mη процесса η(t ) .16.
На вход линейной цепи с АЧХ K ( ω) = 1/ 1 + ω2 τ2 воздействует белый шум с СПМ N 0 2 .Найдите вероятность того, что мгновенное значение выходногопроцесса превысит пороговый уровень С.17. Процесс Y (t ) равен сумме процессов X (t ) и его производной X ′(t ) .Найдите автокорреляционную функцию процесса Y (t ) , если автокорреляционная функция СП X (t )()K x ( τ ) = exp −α 2 τ2 .18. Определите эффективную ширину спектра и интервал корреляции СП на выходе интегрирующей RC-цепи с постоянной времени τ , если на её вход воздействует белый шум.19. Найдите произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции для процесса на выходе интегрирующейRC-цепи при воздействии на её вход белого шума.
Зависит ли оно136ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗот параметров цепи? Сохраняется ли это свойство для произвольной цепи?20. Найдите в общем виде шумовую полосу простейшегоRC-фильтра нижних частот.21. Найдите шумовую полосу двух каскадно-соединённыхRC-фильтров НЧ при условии идеальной развязки.22. На вход детектора огибающей поступает смесь гармонического сигнала амплитуды 1 В и гауссова шума с СКО 0.1 В.Считая отношение сигнал-шум большим, найдите вероятностьтого, что мгновенное значение СП на выходе детектора превыситпороговый уровень 0.5 В.23.
Превышение порогового уровня шумом (“ложная тревога”)и непревышение его смесью сигнала и шума (“пропуск”) представляют собой ошибки обнаружения сигнала.Найдите по графикам распределения Рэлея-Райса [2] такой пороговый уровень для последетекторного обнаружения, при которомсумма вероятностей указанных ошибок минимальна (примите амплитуду сигнала равной 5 В, СКО шума на входе детектора 1 В).24. При тех же параметрах сигнала и шума найдите оптимальный (в смысле минимума суммарной вероятности ошибки) порог впредположении, что шум описывается нормальным распределением с нулевым средним, а смесь сигнала с шумом имеет математическое ожидание, равное амплитуде сигнала (эта ситуация соответствует обнаружителю на выходе синхронного детектора).
Оценитеизменение суммарной вероятности ошибки.7.4.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ7.4.1. ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГОСИГНАЛА НА ЛИНЕЙНУЮ РАДИОЦЕПЬНа линейную цепь с коэффициентом передачи K ( jω) или импульсной характеристикой g (t ) действует стационарный случайный процесс с известной СПМ Gвх (ω) или корреляционной функцией K вх (τ) (см. табл. 7.1 и 7.2).В табл. 7.1 и 7.2 приняты следующие обозначения: G0 – спек2тральная плотность мощности “белого” шума на входе; Dвх = σвх–дисперсия входного случайного процесса; α – постоянная, характеризующая скорость убывания корреляционной функции; τ –временной сдвиг; K0 – наибольшее значение коэффициента передачи линейной цепи; τф – постоянная времени линейной цепи (фильт-1377.4.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕра), при этом αф = 1/ τ ; ω0 = 2π /T0 – центральная частота спектраслучайного процесса или радиоцепи.Требуется:а) определить спектральную плотность мощности на выходеGвых ( f ) и построить нормированные графики gвх ( f ) = Gвх ( f ) Gmax ,k 2 ( f ) = K 2 ( f ) K o2 и g вых ( f ) = Gвых ( f ) Gmax ;б) вычислить полосу пропускания цепи и ширину спектра науровне 0.5 (по формулам и графикам п.“а”);в) найти шумовую полосу Δf ш линейной цепи и эффективнуюширину спектра Δf э входного и выходного процессов;г) рассчитать дисперсию Dвых = σвых 2 выходного процесса;д) определить автокорреляционную функцию на выходе Квых (τ)и построить нормированный график Rвых (τ) = K вых (τ) K вых (0) ;е) вычислить интервал корреляции τк выходного процесса.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯПри решении задачи следует воспользоваться теоремой ВинераХинчина и спектральным методом анализа прохождения случайных процессов через линейные цепи.
Нахождение преобразованийФурье и определение дисперсии можно проводить с использованием справочного материала (см. прил. П.3 [1]) или теоремы о вычетах.Для вариантов 0 и 2 значение σвх из табл. 7.2 не используйте,так как в этом случае σвх → ∞ . Для вариантов 5, 6, 8 и 9 следуетсчитать, что αф = α . При построении корреляционной функции навыходе линейной цепи в вариантах 1, 4, можно считать, чтоαф = α .Таблица 7.1Номерварианта0Характеристикавходного процессаХарактеристикалинейной цепиGвх (ω) = Goq(t ) = ( K 0 τф ) exp( −t / фф ) , t > 01K вх (τ) = D exp(−α τ )K ( jω) = K 0 /(1 + jωτф )2Gвх (ω) = Goq (t ) = ( K 0 τф )exp( −t / τф )cos ω0t , t > 03K вх (τ) = D exp(−α τ )cos ωo τK ( jω) = K 0138ГЛАВА 7.
ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗОкончание табл. 7.14Gвх (ω) = Dα (α + ω )q(t ) = (1 τф ) exp( −t / τф ) , t > 05K вх (τ) = D(1 + α τ )exp(−α τ )K ( jω) = 1 (1 + jωτф )6Gвх (ω) = Dα3 (α 2 + ω2 )2q (t ) = (1 τф ) exp( −t / τф ) , t > 07K вх (τ) = D(1 + α τ )exp(−α τ )K ( jω) = K 08Gвх (ω) = Dα (α 2 + ω2 )q (t ) = δ(t ) − (1 τф ) exp( −t / τф ) , t > 09K вх (τ) = D exp(−α τ )K ( jω) = ( jωτф ) (1 + jωτф )22Таблица 7.2Номерподварианта0123456789G0 , В2 Гцσвх , Вα 104 ,1 сK0f 0 , МГцτф , мкс0.100.010.020.030.040.050.060.070.080.09101234567891.010.06.04.03.02.01.751.501.251.00101234567891.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91009080706050403020107.4.2. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛА И ШУМА ЧЕРЕЗЛИНЕЙНУЮ РАДИОЦЕПЬНа вход цепи, показанной на рис. 7.2, воздействует стационарный белый шум n ( t ) с двусторонней спектральной плотностьюмощности N 0 2 .Рис.
7.27.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ139Устройство А представляет собой фильтр, формирующий процесс n′ ( t ) со спектральной плотностью мощности требуемого вида. В сумматоре этот процесс складывается с детерминированнымсигналом S ( t ) и поступает на фильтр В.Вид фильтров А и В определяется номером варианта (табл. 5.1 и5.2), параметры – номером подварианта (табл. 5.3).Требуется:а) найти СПМ Gn′ (ω) процесса n′ ( t ) . Определить параметр N 0 ,при котором процесс n′ ( t ) имеет единичную дисперсию;б) определить АКФ K n′ (τ) процесса n′ ( t ) ;в) вычислить эффективную ширину спектра Δf эф.n′ и интервалкорреляции τ к n′ процесса n′ ( t ) ;г) рассчитать эффективную ширину спектра Δf эф и интервалкорреляции τ к шумовой составляющей процесса y (t ) ;д) определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра В.При выполнении п.
5 в качестве S ( t ) следует рассмотреть гармонический сигнал с единичной амплитудой и частотой, равной 3/4эффективной ширины спектра шума на выходе фильтра В.Теория производит тем большее впечатление, чем проще ее предпосылки. С тех пор,как на теорию относительности навалилисьматематики, я сам перестал ее понимать.Альберт ЭйнштейнГЛАВА 8НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕНА НИХ ГАРМОНИЧЕСКИХИ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ8.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫОбщие сведения.
Задачи и критерии аппроксимации. Аппроксимирующие функции. Определение коэффициентов аппроксимации [1, 8.1, 8.2; 2, 11.1].Спектральный состав выходного колебания в нелинейном элементе при гармоническом воздействии (гармонический анализ).Методы анализа с использованием: классических формул, формултрех и пяти ординат, тригонометрических формул кратных аргументов, функций Бесселя, угла отсечки и функций Берга. Спектральный анализ при бигармоническом и полигармоническом воздействии.