А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 20
Текст из файла (страница 20)
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ1472. Метод с использованием тригонометрических формулкратных аргументов. Характеристика НЭ в этом случае аппроксимируется степенным полиномом *y = f ( x) = b0 + b1 x + ... + bn x n .Подставив в полином входной сигнал x = x(t ) = X m cos ω0t , получимy (t ) = b0 + b1 X m cos ω0t + b2 X m2 cos 2 ω0t + ... + bn X mn cos n ω0t .Воспользовавшись известными формулами тригонометрическихфункций кратных аргументов (прил. П.1), получим:13Y0 = b0 + b2 X m2 + b4 X m4 + ...;2835Y1 = b1 X m + b3 X m3 + b5 X m5 + ...;4811Y2 = b2 X m2 + b4 X m4 + ...;2215Y3 = b3 X m3 + b5 X m5 + ....416(8.14)3. Метод с использованием модифицированных функцийБесселя. Характеристика НЭ аппроксимируется экспонентой, иразложению в ряд Фурье должны быть подвергнуты выражениявидаy = Ae aX m cos ω0tилиy = Ae aX m sin ω0t .Экспоненты в этих выражениях разлагаются в ряды:eaX m cos ω0t = B0 (aX m ) + 2B1(aX m )cos ω0t + ...
+ 2Bn (aX m )cos nω0t ;eaX m sin ω0t = B0 (aX m ) + 2B1(aX m )sin ω0t + 2B2 (aX m )cos2ω0t +(8.15)+ 2B3 (aX m )sin3ω0t + 2B4 (aX m )cos4ω0t + ... ,где Bn (aX m ) – модифицированная функция Бесселя n -го порядкаот аргумента aX m . Таблица значений и графики этих функцийприведены в прил. П.11.*Случай аппроксимации относительно начала координат рассмотрен в прил. П.8148ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХИспользуя, например, первое из соотношений (8.15), получаемy = AeaX m cos ω0t = AB0 ( aX m ) + 2 AB1 (aX m )cos ω0t + ...+ ABn (aX m ) cos nω0t.Из сопоставления этого выражения с формулой (8.10) следуетY0 = AB0 (aX m ) ;Yn = 2 ABn ( aX m ) .(8.16)4.
Метод с использованием угла отсечки и функций Берга.Этот метод применим для аппроксимации характеристик НЭ кусочно-линейной зависимостью и разработан акад. А. И. Бергом.Сущность метода поясняется на рис. 8.4.Основные расчетные соотношения:cos θ = ( X н − X 0 ) / X m ;(8.17)ymax = SX m (1 − cos θ) ;(8.18)Yn = SX m γ n (θ) = ymax an (θ) ,(8.19)где γ n (θ) и an (θ) – функции Берга (коэффициенты гармоник),расчетные формулы, численные значения и графики для которыхприведены в прил. П.9. Эти функции имеют максимальные значения γ n max и an max при соответствующем оптимальном углеиopt.г = 180° / n , иopt.б = 120° / n , n = 1, 2,...yyнy (t ) ш2ymax0xнxн.1X01ир2р ω t02xx (t )XmРис.
8.4(8.20)1р0и2р ω0t8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ149Если X 0 – vario, а X m − const , то максимум амплитуды n -йгармоники на выходе НЭ рассчитывается с использованием значения γ n maxYn max = SX m γ n max ,(8.21)если же ymax = const , а X 0 и X m варьируются, тоYn max = ymax an max .(8.22)Совершенно аналогично вводится понятие верхнего угла отсечки ψ (см. кривые 2 на рис. 8.4) для тех случаев, когда необходимоучитывать характерный верхний изгиб (насыщение yн ) характеристики НЭ.5. Метод с использованием функций Бесселя.
Применяется втех случаях, когда аппроксимирующее выражение содержит тригонометрические или гиперболические функции синуса и косинуса,которые разлагаются по бесселевым (цилиндрическим) функциям.Соответствующие формулы приведены в прил. П.10. Например,при аппроксимации видаy = A + B sin( gx)имеемy (t ) = A + B sin( gX m cos ω0t ) = A + B 2 J1 ( gX m )cos ω0t −− B 2 J 3 ( gX m ) cos3ω0t + ... ,Yn = 2 BJ n ( gX m ) ,(8.23)где J n ( gX m ) – функции Бесселя первого рода n -го порядка.Таблица значений и графики нескольких функций приведеныв прил. П.10.СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. КОМБИНАЦИОННЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕЭто случай воздействия на НЭ сложного колебания, состоящегоиз двух и более синусоидальных колебаний. При этом на выходеНЭ будут иметь место как гармонические, так и комбинационныесоставляющие. Задача спектрального анализа состоит в определении амплитуд и фаз этих составляющих.С точки зрения простоты спектрального анализа используютлишь два класса аппроксимирующих функций: степенной полиноми экспоненту.150ГЛАВА 8.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ1. Степенной полином. В этом случае для нахождения спектранужно пользоваться тригонометрическими формулами кратныхаргументов и формулами произведений синусов и косинусов (см.прил. П.1).Например, при подаче на вход НЭ бигармонического колебанияс частотами ω1 и ω2 на выходе будет ряд составляющихy (t ) = b0 + b1 ( X1 cos ω1t + X 2 cos ω2t ) + ...+bn ( X1 cos ω1t + X 2 cos ω2t )nс частотамиωk ⋅m = k ω1 + mω2 ,(8.24)где k и m – целые числа натурального ряда, включая нули.
Еслиk или m равны нулю, то имеют место гармонические составляющие выходного сигнала, а если они не равны нулю, то – комбинационные, обозначаемые символом Ykm (также с двойным индексом).Пример спектра при воздействии трехкомпонентного входногосигнала на НЭ, характеристика которого аппроксимирована полиномом третьей степени, дан в прил. П.8.Спектральный анализ при относительно большом числе составляющих входного сигнала и/или высокой степени аппроксимирующего полинома становится громоздким. Поэтому такой путьанализа непродуктивен и следует обращаться к аппроксимацииэкспонентой.2. Экспонента: y = Ae ax .
Пусть входной сигнал состоит первоначально из двух составляющих x(t ) = X1 cos ω1t + X 2 cos ω2t . Тогдаy (t ) = Ae ax1 cos ω1t e ax2 cos ω2t .С учетом формул (8.15) имеем∞⎡⎤y (t ) = A ⎢ B0 (aX1 ) + 2∑ Bk (aX1 ) cos k ω1t ⎥ ×k =1⎣⎦∞⎡⎤× ⎢ B0 (aX 2 ) + 2 ∑ Bm (aX 2 ) cos mω2t ⎥ .m =1⎣⎦Перемножение этих рядов дает постоянную составляющую и составляющие с частотами вида (8.24)1518.3. ЗАДАЧИY00 = AB0 (aX1 ) B0 (aX 2 ) , Ykm = 2 ABk (aX1 ) Bm (aX 2 ) .(8.25)В случае воздействия на НЭ входного сигнала с большим числом синусоидальных составляющих аналогичным путем можнополучить следующие формулы:ωkmn = k ω1 ± mω2 ± ...
± nω j ;(8.26)Ykmn = 2 ABk (aX1 ) Bm (aX 2 )...Bn (aX j ) .(8.27)8.3.ЗАДАЧИ8.3.1.АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ1. Характеристика НЭ изображена на рис. 8.5.Аппроксимируйте эту характеристику полиномом второй степени, потребовав совпадения в трех точках (включая крайние).
Сопоставьте расчетные и экспериментальные значения тока для напряжения −6 В и −2 В.2. То же, но характеристика смещена вправо на 8 В (рис. 8.6).i,мА−8 −6 −4 −2i ,мА1616121288440 u, B20Рис. 8.5468 u, BРис. 8.63. При снятии характеристики НЭ были получены следующиеданные:u, В0246810i , мА012469Представьте характеристику полиномом второй степени исходяиз требований совпадения в точках u1 = 0 В, u2 = 4 В, u3 = 8 В.152ГЛАВА 8.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ4. При снятии зависимости тока стока ic от напряжения на затворе u з (проходной характеристики) полевого транзистораКП103Ж были получены следующие данные:uз , В–1.6 –1.4 -1.2-0.8-0.400.40.81.01.21.41.6ic , мА4.03.22.621.40.80.55 0.350.10.03.93.65График этой зависимости показан на рис. 8.7.Аппроксимируйте эту характеристику неполным полиномомтретьей степени (мА):i = a0 + a1u + a3u 3 .(8.28)Указание. Рекомендуется рассчитать значения тока по аппроксимирующей функции (8.28) и сопоставить их с экспериментальными.5.
Проходная характеристика полевого транзистора (КП303Е)дана на рис. 8.8.Аппроксимируйте ее полиномом вида (8.28), потребовав совпадения в точках u1 = 0 В, u2 = −1 В, u3 = −2.5 В.ic мА4ic мА4332211− 1,5 − 1,0 − 0,500,51,01,5uз , B−3 −2Рис. 8.7−10 uз , BРис. 8.86. При снятии вольт-амперной характеристики НЭ полученыследующие данные:u,Вi , мкА00.10.20.30.40.50.60.70.81.00.51.23.07.518451103501000104Аппроксимируйте эту характеристику экспонентойi = Aeau .(8.29)1538.3. ЗАДАЧИРекомендуется воспользоваться методом приведения к линейномувиду. Постройте графически зависимость a = f (u ) и определитеобласть применимости аппроксимирующей функции.7.
Характеристика полупроводникового диода приведена нарис. 8.9.Получите простые соотношения для расчета коэффициентов аппроксимации, полагая, что характеристика описывается функциейi = A(e au − 1) .(8.30)8. Характеристика полупроводникового диода аппроксимирована выражением (8.30). A = i0н = 2 ⋅ 10−6 А – обратный ток насыщения, a = 1/ uт , uт = 0.02 В – температурный потенциал перехода.Определите напряжение u , при котором крутизна ( S ) характеристики составляет 10 мА/В.iiIнi00uii0Iн / 20uаРис.
8.90 uбРис. 8.109. Характеристика лампы или полевого транзистора (рис. 8.10)может быть аппроксимирована выражением с гиперболическимтангенсом (формулой Н. Н. Крылова):i = A + B th( qu ) .(8.31)Найдите значения коэффициентов A , B и q для случаев аппроксимации:а) симметричной характеристики (рис. 8.10, а); б) лишь левойчасти характеристики (рис. 8.10, б). Крутизна характеристики вточке u = 0 равна S .10. Аппроксимируйте характеристики, приведенные на рис.
8.7 и 8.8,выражением (8.31).11. Вольт-амперная характеристика НЭ аппроксимирована выражением (8.31). Приведите его к линейному виду и изобразитесоответствующий график.154ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХ12. Для характеристик, изображенных на рис. 8.7 и рис. 8.8, используйте аппроксимирующую функцию видаi = A + B sin(qu ) .(8.32)Выразите коэффициенты A , B и q только через два параметра:ток в начале координат i0 (при u = 0 ) и начальное напряжение uн(при i = 0 ).8.13. Характеристики, изображенные на рис. 8.11, в первомквадранте (при u > 0 ) описываются соответственно как: а) Su ,б) au 3 , в) au 2 .Дайте аналитическое выражение всей функции (справедливоедля u < 0 и u > 0 ).iiiu0u0аuбвРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
