А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Значения функций Берга, обычных и модифицированных функций Бесселя приведены в прил. П.9…П.11.ica1 > 0a0a0a3 < 00uзa1 < 0iic0Рис. 8.15a1 < 0a3 > 0uзa3 > 0a00u162ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХТаблица 8.1НомерНЭ, номерварииз табл.8.2антаАппроксимирующаяфункцияНЭ,Номерномервариизантатабл.8.2Аппроксимирующаяфункция06I = a0 + a1u + a2u 250I = A exp(au )11I = a0 + a2u 2 + a4u 469I = A[1 + sin(qu ) ]28I = a0 + a1u + a3u 377I = A[1 − sin(qu )]39I = a0 + a1u + a3u 388Кусочно-линейная42I = A exp(au )99Кусочно-линейнаяТаблица 8.2НомерНЭТипНЭ0ПДu,Bi , мA000.1 0.2 0.30.2 0.5 0.91ПДu,Bi , мA000.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.5 1.0 1.75 4.0 10 20 402ПДu,Bi , мA000.1 0.2 0.31.0 2.5 5.53ТДu,Bi , мA0 .05 .075 .1 .15 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1.00 1.5 2.
2.1 2. 1.6 .9 .4 .15 .15 .3 .9 1.3 1.94Тuб , Biк , мA0 0.1 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50 .55 .600 0.0 0.5 1.0 2.5 4.5 8 12 18 25 34 455Тuб , Biк , мA0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00 0.6 1.4 2.0 4.0 9.0 20 34 50 73 1006Тuб , Biк , мA0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00 0.1 0.5 1.3 3.0 6.0 11 17 25 36 657ПТu3 , Вic , мА–2.0 –1.5 –1.0 –0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.04.0 3.9 3.5 2.7 2.0 1.3 0.6 0.1 0.08ПТu3 , Вic , мА–2.5 –2.0 –1.5 –1.0 –0.75 –0.5 –0.25 000.15 0.4 1.0 1.52.25 3.0 49ПТu3 , Вic , мА–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –100 5 20 45 75 130 190 255 320Вольт-амперная характеристика0.4 0.5 0.61.5 2.5 4.00.7 0.86.2 9.50.4 0.5 0.6 0.712 27 61 135Здесь: ПД – полупроводниковый диод, ТД – туннельный диод,Т – транзистор, ПТ – полевой транзистор.1638.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕТаблица.8.3Варианты0,U0 , В1,Um , В4, 52U0 , В3678900.200.1010.200.1520.250.1030.250.15Подварианты456.275 .275 0.30.125 .175 .12570.300.1580.400.2090.450.15–0.50 –1.00 –1.50 –2.00 –0.75 –1.00 –1.25 –1.00 –1.50 –1.00Um , В0.500.500.500.50U0 , В–2–3–4–5–6–2–3–4–5–4Um , В2222233334–5–5–4–4–3–3–3–2–2U 0 , В –40.750.750.751.001.001.50Um , В4323254332U0 , В0.000.500.500.750.751.001.001.001.251.50Um , В1.501.501.001.000.751.000.750.500.751.50U0 , В–1.50 –0.50 –0.50 –0.75 –0.75 –1.00 –1.00 –1.00 –1.25 –1.50Um , В1.501.501.00U0 , В–4–9–10–5–5–6–6–7–7–8Um , В495054657681.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9f 0 , MГц1.000.751.000.750.500.750.50Все радости жизни – в творчестве.Творить – это значит убивать смерть.Виктор ГюгоГЛАВА 9ВОЗДЕЙСТВИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХПРОЦЕССОВ НА БЕЗЫНЕРЦИОННЫЕНЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ9.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫОдномерные законы распределения вероятностей случайногопроцесса на выходе безынерционного НЭ.
Моменты (числовые характеристики). Действие стационарного случайного процесса (СП)на нелинейный преобразователь, односторонний и двухстороннийограничитель, компаратор (пороговое устройство), квантователь,односторонний и двусторонний квадратор (квадратичный детектор) [3, 20.1…20.4; 1, 11.1…11.3; 2, 11.6].Указания. Наиболее полно вопросы темы изложены в [3]. Руководства и учебные пособия [8, 9, 7, 5] содержат задачи с решениями, указаниями или комментариями.Большинство практических задач можно подразделить на двакласса.
Первый – это задачи по определению плотности вероятности мгновенных значений выходного стационарного случайногопроцесса и/или первых моментов распределения: математическогоожидания, усредненного квадрата (средней мощности на R = 1 Ом)и дисперсии. Именно задачи этого класса рассматриваются ниже.Ко второму классу относятся задачи, связанные с определениемдинамических характеристик выходного процесса: автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности.
Задачи этогокласса, решаемые для нелинейных цепей, намного сложнее, чем9.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ165для линейных, в большом количестве приведены в работах [8, 9],причем с решениями или указаниями к решению.9.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИНа вход безынерционного НЭ, описываемого характеристикойy = f ( x) , воздействует стационарный случайный процесс X (t ) .
Поизвестной плотности вероятности w( x) входного процесса X (t )требуется определить плотность вероятности w( y ) выходного процесса Y (t ) .Если зависимость y = f ( x) однозначна то вероятность того, чтослучайная величина Y заключена в интервале [ y, y + dy ] , должнабыть равна вероятности пребывания случайной величины X в соответствующем интервале [ x, x + dx] (рис.
9.1), т. е.илиP( y ≤ Y ≤ y + dy ) = P( x ≤ X ≤ x + dx)(9.1)w( y )dy = w( x)dx .(9.2)Из (9.2) следует, чтоw( y ) = w( x)dx= w[ϕ( y )] ϕ′( y ) ,dy(9.3)где x = ϕ( y ) – функция, обратная аппроксимирующей функцииy = f ( x) , ϕ′( y ) = d ϕ( y ) / dy . При этом производная берется по абсолютному значению (модулю), так как функция ϕ( y ) может бытьотрицательной, а плотность вероятности отрицательной быть неможет.Если обратная функция x = ϕ( y ) в явном виде не выражаетсяили выражение весьма громоздкое (например, при аппроксимацииf ( x) степенным полиномом), а по условию задачи требуется изобразить w( y ) , то поступают следующим образом.
Из выражения(9.1) находится плотность вероятности166ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВw( y ) =w( x)= wy ( x) ,dydx(9.4)которая зависит в явном виде от аргумента x . Задаются значенияx , т. е. x1 ,..., xn и по известной зависимости y = f ( x) и найденнойзависимости wy ( x) определяются соответствующие значения[ y1 , wy ( x1 ) = w( y1 ),..., yn , wy ( xn ) = w( yn )] . Полученные таким образом значения yn , w( yn ) откладываются в координатах y, w( y ) . Принеобходимости эту графическую зависимость можно аппроксимировать.yyy(x )y + dyyyxx + dx xw ( x)w( y)x1x2x1x2x3 xw ( x)x x + dx xРис. 9.1x3xРис.
9.2Если зависимость y = f ( x) и, следовательно, обратная зависимость x = ϕ( y ) неоднозначна (см. рис. 9.2), то⎡⎤⎡⎤⎢ w( x) ⎥⎢ w( x) ⎥⎥⎥,+ ... + ⎢w( x) = ⎢⎢ dy ⎥⎢ dy ⎥⎢ dx ⎥⎢⎣ dx ⎥⎦i ⎦ x = xi⎣x = x1(9.5)где x1 ,..., xi – значения входной величины x , соответствующиерассматриваемому значению y .Если зависимость y = f ( x) на некотором расстоянии постоянна, то в выражение вида (9.3) – (9.5) должно быть введено слагае-1679.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯмое с дельта-функцией. Это слагаемое должно учитывать вероятность пребывания входной случайной величины X ниже (выше)определенного порогового значения xп , до которого (или с которого) зависимость y = f ( x) постоянна.На рис.
9.3, а, б показано воздействие стационарного случайного процесса на двусторонний ограничитель. Характеристика ограничителя описывается⎧0, x < xп1 ,⎪y = ⎨a( x − xп1 ), x п1 ≤ x ≤ xп2 (линия 1 на рис. 9.3, а).⎪y , x > x .п2⎩ нПлотность вероятности выходного процесса определяется поформуле (9.3) с добавлением двух дельта-функцийw( y ) = S1δ(0) + w[ϕ( y )] ϕ′( y ) + S2δ( y − yн ), 0 ≤ y ≤ yн ,(9.6)учитывающих соответственно вероятности пребывания x нижепорога xп1 и выше порога xп2 , т. е.P ( X < xп1 ) = S1 =xп1∫ w( x)dx ,−∞∞P ( X > xп2 ) = S2 =∫w( x)dx .xп2Значения коэффициентов S1 и S2 при дельта-функцияхδ( y = 0) и δ( y = yн ) зависят как от параметров сигнала – смещенияX 0 и дисперсии Dx = δ2x , так и от крутизны характеристикиa = tgα НЭ.168ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВy(t )yyн2α00t1t20S21xп1 xп2 xx(t )x00 t1 t2tw( y)S1S2x0S1д( 0) 0F ( y )1yyнS1 0бy(t )tw( x)yS2δ ( y − yн )0 t1 t2x(1 − S1 ) δ ( y − yн )w ( y ) S1д( 0 ) 0tаyyнyF ( y) 1S1 0вРис.
9.3В частности, при a → ∞ (линия 2 на рис. 9.3, а), пороги xп1 иxп2 “сливаются” в один xп1 = xп2 = xп , а выходной процесс Y (t )может принимать только одно из двух квантованных значений 0(логический “0”) или yн (логическую “1”) соответственно с вероятностью P(0) = S1 и P( yн ) = S2 = 1 − S1 (рис. 9.3, в). В этом заключается принцип функционирования порогового устройства, а такжеквантователя на два уровня⎧"1", x > xп ,y=⎨⎩"0", x < xп .(9.7)Аналогичным образом можно обобщить рассмотрение на случай ограничения и квантования с n уровнями.МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯНаиболее важными для практического использования являютсямоменты первых двух порядков: математическое ожидание m y ,среднее значение квадрата m2 y и дисперсия D y ; при этом они могут быть вычислены двумя эквивалентными способами:my = Y =ymax∫yminyw( y )dy =xmax∫xminf ( x) w( x)dx ,(9.8)1699.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯm2 y = Y 2 =ymax∫y 2 w( y )dy =yminxmax∫f 2 ( x) w( x) dx ,(9.9)xminD y = μ 2 y = m2 y − m 2y .(9.10)Смешанные начальный и центральный моменты второго порядка, характеризующие взаимосвязь мгновенных значений в двухпроизвольных сечениях (быстродействие процесса) и называемыесоответственно автоковариационной и автокорреляционной функциями, описываются выражениями:∞ ∞B y (t1 , t2 ) = Yt1Yt2 =∫ ∫y1 y2 w( y1 , y2 )dy1dy2 =−∞ −∞∞ ∞=∫ ∫f ( x1 ) f ( x2 ) w( x1 , x2 )dx1dx2 .(9.11)−∞ −∞K y (t1t2 ) = Yt1Yt2 − Y1Y2 ,(9.12)здесь w( x1 , x2 ) и w( y1 , y2 ) = J 2 ( x1 , x2 ) w( x1 , x2 ) – двумерная плотность вероятности процессов X (t ) и Y (t ) , J 2 ( x1 , x2 ) – якобианпреобразования переменных [2, 3].Примечание.
Определение названных функций по формулам (9.11) и (9.12)представляет собой довольно сложную задачу ввиду трудности вычисления интегралов, содержащих двумерные плотности. В случае линейных цепей задача существенно упрощается, так как по корреляционной функции входного процесса(а ее для эргодических процессов можно определить, минуя использование двумерной плотности) легко определить спектральную плотность мощности (СПМ), азатем согласно принципу суперпозиции – выходную СПМ и автокорреляционнуюфункцию.
Для нелинейных цепей принцип суперпозиции не применим, и невозможно избежать использования двумерной плотности даже для эргодических процессов.9.3. ЗАДАЧИ1. Характеристика нелинейного элемента аппроксимированаквадратичной параболой и прямой (задача 8.2):⎧⎪au 2 , u > 0,i=⎨⎪⎩0, u < 0.(9.13)170ГЛАВА 9. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВНа вход НЭ подан стационарный случайный процесс – напряжениеu (t ) с плотностью вероятности:w(u ) =1, U0 − b ≤ u ≤ U0 + b .2b(9.14)Определите и изобразите плотность вероятности w(i ) тока НЭ.Изобразите (качественно) функцию распределения F (i) .2. Решите задачу 1 для случая, когда a = 0.25 мА/В2, U 0 = 4 В,b = 2 В.3 Проанализируйте результат решения задачи 1: а) при уменьшении смещения U 0 ; при этом изобразите графики w(i ) для случаев: 1) U 0 = 0 , 2) U 0 = −b ; б) при увеличении величины b (и неизменном исходном значении U 0 ), включая случай, когдаU min = U 0 − b < 0 .4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
