А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Комбинационные частоты [2, 11.2, 11.4; 1, 8.3, 8.4; 3, 6.2].8.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯАППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВХарактеристики нелинейных элементов (НЭ) в большинствеслучаев задаются графически (из справочника) или таблично (в ходе эксперимента), поэтому при анализе и расчете схем с НЭ первостепенной стоит задача аппроксимации, т. е. приближенного аналитического представления характеристики НЭ.Общая задача аппроксимации включает в себя две самостоятельные задачи:1418.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ• выбор класса подходящей функции;• определение коэффициентов аппроксимации.Выбор класса аппроксимирующей функции.
Решая эту задачу, необходимо соблюдать требования, в значительной степенипротиворечивые: 1) простоту функции; 2) достаточную точность(ошибка аппроксимации должна быть одного порядка с разбросомпараметров отдельных элементов в партии); 3) наглядность, позволяющую судить об изменении коэффициентов аппроксимации приизменении положения рабочей точки и т. п.; 4) ясность пониманияпроцессов в схеме и выявления свойств схемы, представляющихинтерес в конкретном случае.
Например, для выявления и объяснения особенности работы автогенератора, надо аппроксимироватьхарактеристику НЭ полиномом различной степени, вплоть до пятой. Поэтому часто приходится по-разному аппроксимировать однуи ту же характеристику в зависимости от режима работы НЭ, назначения схемы, исследуемых вопросов.В теории радиотехнических цепей (и вообще в радиотехнике)для аппроксимации характеристик НЭ наиболее часто используютследующие функции.1. Степенной полином:y = f ( x) = a0 + a1 x + ... + an x n =n∑ ak x k.(8.1)k =0Для окрестности с рабочей точкой X 0 полином (8.1) можно записать в виде ряда Тейлораy = a0 + a1 ( x − X 0 ) + ... + an ( x − X 0 ) n == b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n =n∑ bk x k ,(8.2)k =0гдеb0 = y ( x = X 0 ) = a0 + a1 X 0 + a2 X 02 + ...,b1 = b0′ = y ′( x = X 0 ) = a1 + 2a2 X 0 + 3a3 X 02 + ...,b2 = b1′ / 2! = y ′′( x = X 0 ) / 2! = a2 + 3a3 X 0 + ...,bn =1 dnyn ! dx n.x= X 0(8.3)142ГЛАВА 8.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХОбычно n < 5 , при этом в ряде случаев характеристика может содержать только четную или только нечетную часть.Полиномом первой степени аппроксимируют линейные участкихарактеристик НЭ только при изучении линейных явлений.
Параболу используют для аппроксимации начальных участков характеристик НЭ при действии малых входных сигналов. Укороченныйполином третьей степени (без члена a2 x 2 ) применяют в том случае, если надо передать замедление роста функции (усилительныхсвойств НЭ) с увеличением входного сигнала, при этом a3 < 0 .2.
Экспоненциальный полином:ny = A0 + A1e a1x + ... + An e an x = ∑ Ak e ak x .(8.4)k =0В ряде случаев используют лишь одну экспоненту. Например, характеристика вакуумного диода представляется выражениемi = Aeau ,( 8.4′ )а полупроводникового диодаi = A0 + A1e a1u = A(e au − 1) ,( 8.4′′ )где A0 = − A1 = − A , a1 = a .3. Степенная функция:y = Ax a ,(8.5)где a – дробное число.4. Кусочно-линейная и кусочно-нелинейная функции. Реальнаяплавно изменяющаяся зависимость y = f ( x) заменяется приближенной, состоящей из отрезков прямых и кривых.На рис. 8.1 в качестве примера приведены характеристики, аппроксимированные двумя отрезками: а) прямых линий; б) прямой ипараболы.Наиболее широкое использование получила кусочно-линейнаяаппроксимация. Она обеспечивает достаточную точность толькопри больших амплитудах воздействующих сигналов, а потомуприменяется при расчетах мощных усилителей, генераторов, умножителей частоты, некоторых схем модуляторов, детекторов и др.5.
Трансцендентные функции: гиперболические тангенс и синус,функция Гаусса, тригонометрические функции и др. В первую оче-1438.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯредь следует отметить функцию, содержащую гиперболическийтангенсy = A(1 + th( gx)) ,(8.6)предложенную Н. И. Крыловым, которая хорошо описывает симметричные характеристики и изменения производной (крутизны) ивторой производной (кривизны) ряда вольт-амперных характеристик (ВАХ) ламп и транзисторов.yy1.
y = 0, x < X н ,2. y = a( x − X н ),при x > X н .2101. y = 0, x < 0,2. y = ax 2 , x > 0.0xXн21аxбРис. 8.1Аппроксимация реактивных (индуктивных и емкостных) НЭничем не отличается от аппроксимации резистивных НЭ – ламп,транзисторов и др. Используются как упомянутые функции, так идругие.
Например, вольт-фарадная характеристика p-n-переходаполупроводникового элемента аппроксимируется выражением:C (u ) = C (0) n ϕk /(ϕk + u ) ,(8.7)где u – напряжение (обратное) на переходе; ϕk – высота потенциального барьера (контактная разность потенциалов); C (0) – емкость перехода при отсутствии внешнего напряжения ( u = 0 );n = 2 − 3 – постоянная, зависящая от распределения примесей.Определение коэффициентов аппроксимации. Оно тесно связано с требуемой точностью.
Точность определяется критериямиприближения. Обычно применяют критерии равномерного, среднеквадратического и интерполяционного (точечного) приближений.Последний используют наиболее часто. Согласно этому критериюаппроксимируемая функция f ( x) и аппроксимирующая функцияf% ( x) (или их производные) должны совпадать в выбранных (заданных) точках с координатами ( x1 , y1 ),...,( xn , yn ) (рис. 8.2). Число144ГЛАВА 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХтаких исходных точек и, следовательно, уравнений, должно бытьравным числу подлежащих определению коэффициентов аппроксимации.yf ( x)yn~f ( x)y2y1x10x2xnxРис.
8.2В частности, при аппроксимации степенным полиномом получаемсистему уравнений:y1 = a0 + a1 x1 + ... + an −1 x1n −1;yn = a0 + a1 xn + ... + an −1 xnn −1 ,(8.8)решение которой и позволит найти коэффициенты a0 , a1 , ..., an −1 .Для определения коэффициентов аппроксимации можно вводить нелинейные масштабы для приведения заданной зависимостик более простому виду, в частности, к линейному. В последнемслучае говорят о методе приведения к линейному виду. После нанесения на график экспериментальных точек в новой системе координат, можно легко установить границы линейной области и, следовательно, правомерность использования принятой аппроксимации; коэффициенты находят по этой области графика. Следует отметить, что нелинейные масштабы можно вводить как по каждойпеременной, так и по их комбинации (например, произведению).Если число заданных точек превышает число определяемых коэффициентов аппроксимации, то можно использовать метод наименьших квадратов, при котором среднеквадратическая ошибкаминимальна (см.
математические справочники).ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЗадача анализа заключается в нахождении гармонических составляющих на выходе НЭ, аппроксимируемого зависимостьюy = f ( x) , при воздействии на его вход гармонического колебанияx(t ) = X m cos(ω0t + ϕ0 ) . В этом случае выходное колебаниеy (t ) = f [ X m cos(ω0t + ϕ0 )](8.9)8.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ145будет периодической, но негармонической функцией времени (углаω0t ), которую можно представить рядом Фурьеy (t ) = Y0 + Y1 cos(ω0t + ϕ0 ) + ... + Yn cos n(ω0t + ϕ0 ) ,(8.10)гдеTY0 =T11y (t ) dt =T ∫02π21Yn = ∫ y (t ) cos(nω0t )dt =T0π2π∫ y(ω0t )d (ω0t );02π(8.11)∫ y(ω0t ) cos(nω0t )d (ω0t ).0Совершенно аналогично вычисляются синусоидальные составляющие.Соотношения (8.10) и (8.11) остаются справедливыми и тогда,когда амплитуда X m , частота ω0 и начальная фаза ϕ0 являютсямедленными функциями времени, т.
е. X (t ) , ω(t ) и ϕ(t ) , относительные приращения которых весьма малы за период колебанияT = 2π / ω0 , что важно при рассмотрении амплитудной модуляции,детектирования, преобразования частоты и др.Если вычисление интегралов не приводит к громоздким выкладкам, можно пользоваться точными (классическими) формулами (8.11).
Однако в целом ряде случаев расчет можно провестизначительно проще и быстрее, если воспользоваться другими известными методами, каждый из которых так или иначе базируетсяна классических формулах (8.11) и является оптимальным для соответствующего вида аппроксимации.1. Методы с использованием формул трех и пяти ординат.Эти методы применимы как для графических, так и аналитическихрасчетов. Последнее особенно важно в случае аппроксимациитрансцендентными функциями.Число задаваемых ординат на характеристике НЭ обусловленочислом определяемых составляющих в ряде Фурье (8.10).Формулы трех ординат служат для расчета приближенных значений постоянной составляющей Y0 и амплитуд первой Y1 и второй Y2 гармоник колебания y (t ) на выходе НЭ11Y0 = ( ymax + ymin + 2 y0 ) , Y1 = ( ymax − ymin ) ,421Y2 = ( ymax + ymin − 2 y0 )4(8.12)146ГЛАВА 8.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА НИХпо трем ординатам (рис. 8.3): максимальному ymax и минимальному ymin значениям и значению y0 , которому соответствует отсутствие гармонического колебания на входе ( X m = 0 ).yf (x )y1yminy2ymaxy00р/3xр2рщ0tРис. 8.3Формулы пяти ординат позволяют вычислить значения постоянной составляющей Y0 и амплитуд первых четырех гармоник Y1 ,Y2 , Y3 , Y41[( ymax + ymin ) + 2( y1 + y2 )] ;61Y1 = [ ( ymax − ymin ) + ( y1 − y2 )] ;31(8.13)Y2 = [ ( ymax + ymin ) − 2 y0 ) ] ;41Y3 = [ ( ymax − ymin ) − 2( y1 − y2 ) ] ;61Y4 = [ ( ymax + ymin ) − 4( y1 + y2 ) + 6 y0 ] .12Y0 =Значения y1 и y2 соответствуют значениям аргумента (например, ω0t = π / 3 и ω0t = 2π / 3 ), при которых входной сигнал равенполовине амплитуды.8.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
