А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 17
Текст из файла (страница 17)
6.18) воздействует модулированное колебание, параметры которого указаны в табл. 6.4 и 6.5.Контур имеет следующие параметры: Q = 100 , Z p = 10 кОм,ωp = ω0 , R = 100 Ом.LI(t)LZPCuвых(t)E(t)аC∼RбРис. 6.18uвых(t)1276.4. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕТаблица 6.4НомервариантаСхемаВидмодуляции0Рис.
6.18, аЧМI (t ) = I m sin [ ω0t + mx(t )]1Рис. 6.18, бЧМE (t ) = U m sin [ ω0t + mx(t )]2Рис. 6.18, аФМI (t ) = I m sin [ ω0t + mx(t )]3Рис. 6.18, бФМE (t ) = U m sin [ ω0t + mx(t )]4Рис. 6.18, аАМI (t ) = I m [1 + Mx(t )] cos ω0t5Рис. 6.18, бАМE (t ) = U m [1 + Mx(t )] cos ω0t6Рис. 6.18, аАМI (t ) = I m [1 + Mx(t )] cos ω0t7Рис. 6.18, бАМE (t ) = U m [1 + Mx(t )] cos ω0tРежимнесущейРежимнесущейI (t ) = I m σ(t ) cos ω0t8Рис. 6.18, а9Рис. 6.18, бВходной сигналE (t ) = U m σ(t ) cos ω0tТаблица 6.5Вариант0–34–7НомерподвариантаIm ,Um ,f0 ,мАBMГцF,кГц00.101.01.01.010.00.50sin Ωt10.99.01.02.05.00.25cos Ωt20.88.00.753.02.50.75sin Ωt30.77.00.84.02.00.50cos Ωt40.66.00.55.01.00.75sin Ωt50.55.01.26.02.00.50cos Ωt60.44.00.77.01.00.25sin Ωt70.33.01.68.02.00.50cos Ωt80.22.00.99.01.00.75sin Ωt92.01.02.010.02.00.25cos Ωtm , радMМодулирующаяфункцияТребуется:а) получить выражение для напряжения на контуре;б) построить временную диаграмму огибающей напряжения наконтуре и временную диаграмму огибающей входного сигнала;128ГЛАВА 6.
ПРОХОЖДЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВв) для АМ колебания определить величину демодуляции, рассчитать спектр колебания на контуре и построить спектральныедиаграммы амплитуд и фаз.МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯПри выполнении вариантов 0–3 целесообразно воспользоватьсяметодом “мгновенной” частоты, а при выполнении вариантов 4–9 –спектральным методом или методом комплексной огибающей.В действительности все не так,как на самом деле.Станислав Ежи ЛецГЛАВА 7ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЦЕПИ7.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫСпектральная плотность мощности (СПМ) и корреляционнаяфункция стационарного случайного процесса на выходе линейнойцепи.
Средняя мощность колебаний на выходе. Корреляция междувходным и выходным процессами в установившемся режиме. Воздействие белого шума на линейные цепи. Нормализация случайного процесса в линейной цепи. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов. Распределение огибающей гауссовапроцесса и смеси гармонического сигнала с гауссовым шумом [1,гл.7, 4.6; 2, гл.10, 7.3; 3, гл.19].Указания. Вопросы анализа случайных процессов (СП) в линейных цепях подробно рассмотрены в [1, 3,11].
Руководства [5…9] содержат большое количество задач с комментариями и решениями.Большинство встречающихся на практике задач можно разделить на два класса. К первому относят задачи, связанные с определением динамических характеристик выходного процесса (его автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности),а также взаимной корреляции случайных процессов (на входе ивыходе цепи, на выходах различных цепей при общем входномвоздействии и т. п.).
Задачи второго класса посвящаются определению плотностей распределения вероятностей мгновенных значенийвыходного процесса.В настоящей главе будут рассмотрены задачи, связанные с анализом случайных процессов на выходах линейных стационарных130ГЛАВА 7.
ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗцепей, когда на входы цепей воздействуют стационарные в широком смысле случайные процессы. При этом обычно предполагается, что переходные процессы в цепи закончились (или, что эквивалентно, случайный процесс присутствует на входе цепи с моментавремени t = −∞ ).Задачи, связанные с плотностью распределения вероятностеймгновенных значений СП, будут рассматриваться лишь для частного, хотя и важного, случая гауссова процесса.7.2.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯЕсли нестационарность СП X (t ) выражается лишь в непостоянстве математического ожидания mx (t ) , то можно, имея в видупринцип суперпозиции, анализировать отдельно прохождение через линейную цепь детерминированной функции mx (t ) и флюктуационной составляющей случайного процесса. При этом∞m y (t ) =∫ mx (τ) g (t − τ)d τ,−∞где m y (t ) – математическое ожидание выходного процесса Y (t ) ;g (t ) – импульсная характеристика цепи.Если процесс X (t ) на входе цепи стационарен в широкомсмысле с автокорреляционной функцией K x ( τ) , то автокорреляционная функция выходного процесса Y (t )K y ( τ) =∞∞∞−∞ −∞−∞∫ ∫ g ( u )g ( v ) K x ( u − v + τ ) dudv = ∫ K x ( t ) K g ( τ − t )dt,∞где K g (t ) =∫ g (τ) g (τ + t )d τ– автокорреляционная функция им-−∞пульсной характеристики цепи.Взаимная корреляционная функция входного и выходного процессовK xy ( τ ) =∞∫ g ( t )K x ( τ − t ) dt.−∞7.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ131Если один и тот же СП X (t ) воздействует на входы цепей с импульсными характеристиками g1 (t ) и g 2 (t ) , то для процессов Y1 (t )и Y2 (t ) на их выходах взаимная корреляционная функцияK y1 y2 ( τ ) =∞∞∫ ∫ g1 ( u ) g2 ( v ) K x ( u − v + τ ) dudv,−∞ −∞Учитывая, что динамические свойства стационарного в широком смысле процесса могут быть описаны как корреляционнойфункцией, так и спектральной плотностью мощности, можно анализ прохождения таких процессов через линейные цепи проводитьв частотной области.
Так, СПМ процесса Y (t )2G y ( ω ) = K ( j ω ) Gx ( ω ) ,где Gx (ω) – СПМ процесса X (t ) ; K ( jω) – передаточная функцияцепи.Целесообразный метод расчёта спектрально-корреляционныххарактеристик СП в линейной цепи с минимальным числом интегральных преобразований можно выбрать при помощи схемы (графа), показанной на рис.
7.1.Рис. 7.1Взаимная СПМ входного и выходного процессовGxy ( ω) = K ( jω) Gx ( ω) ,а взаимная СПМ процессов Y1 (t ) и Y2 (t ) на выходах двух цепей,возбуждаемых одним и тем же процессом X (t ) ,132ГЛАВА 7. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗG y1 y2 ( ω) = K1 ( jω) K 2 ( jω) Gx ( ω) .Напомним, что СПМ стационарного в широком смысле СП связана с его автокорреляционной функцией парой преобразованийФурье (теорема Винера-Хинчина). То же справедливо для взаимных корреляционных функций и взаимных СПМ.Числовыми характеристиками, дающими некоторое представление о динамике случайного процесса, являются эффективная ширина спектра и интервал корреляции.Иногда употребляют числовую характеристику цепи, называемую шумовой полосой.
По определению шумовая полоса линейнойцепи с передаточной функцией K ( jω) – это полоса пропусканиятакого идеального ФНЧ (с прямоугольной АЧХ), который при воздействии белого шума обеспечивает такую же дисперсию выходного процесса, как и данная цепьΔωш =1∞∫ K ( j ω)2K max02dω ,где K max – максимальное значение АЧХ цепи.Анализ распределения вероятностей выходного СП в общемслучае весьма сложен. Достаточно просто эта задача решается вслучае узкополосной цепи. Тогда при любом распределении входного СП распределение вероятностей выходного процесса сходитсяк нормальному и гауссово приближение тем точнее, чем болеесправедливо допущение о некоррелированности значений входногоСП (или чем ближе СПМ входного процесса к константе в полосепропускания цепи). Если же входной процесс гауссов, то и СП навыходе линейной цепи гауссов независимо от формы СПМ и характеристик цепи.
В указанных случаях для нахождения полноговероятностного описания СП на выходе цепи достаточно найти математическое ожидание и автокорреляционную функцию выходного процесса.Практическое значение имеет нахождение распределения огибающей узкополосного гауссова процесса. Эта задача возникает,например, при анализе вероятности превышения некоторого порогапроцессом на выходе амплитудного детектора (нелинейного устройства!), когда на его вход поступает процесс с выхода полосового фильтра.Если гауссов процесс является чисто шумовым, т.
е. его квадратурные компоненты представляют собой некоррелированные гауссовы СП с нулевыми средними и одинаковыми СКО σ, то огибающая А имеет рэлеевскую плотность распределения вероятностей1337.3. ЗАДАЧИ() ()w ( A ) = A σ2 exp − A 2σ 2 , A ≥ 0,а если рассматриваемый процесс есть сумма гармонического сигнала амплитуды U m c гауссовым шумом, то огибающая имеетобобщённую рэлеевскую плотность (плотность Рэлея-Райса)(⎛ A2 + U m2⎜w ( A ) = A σ exp −⎜⎜2σ2⎝(2)) ⎟⎞ I⎟⎟⎠⎛ Um A ⎞⎟,⎝ σ2 ⎠0⎜где I 0 (⋅) – бесселева функция мнимого аргумента нулевого порядка. При больших отношениях сигнал/шум (ОСШ) q = U m σ распределение Рэлея-Райса сходится к нормальному распределению сматематическим ожиданием U m [1 + 1/(2q 2 )] и дисперсиейσ2 [1 − 1/(2q 2 )] .7.3.ЗАДАЧИ1.
На вход цепи с импульсной характеристикойK ω0 sin ω0tg (t ) =πω0tдействует шум с АКФK x ( τ) =G0 ω1 sin ω1τ.πω1τДокажите, что АКФ процесса на выходе цепиG ω sin ω2 τK y ( τ) = 1 2,πω2 τгде ω2 = min ( ω1 , ω0 ) , а G1 = k 2G0 .2. Транзисторный усилитель с резонансной нагрузкой в видепараллельного контура ( Q >> 1) имеет АЧХK (ω) ≈K0⎛ω − ω0 ⎞1 + ⎜ 2Q⎟ω0 ⎠⎝.2134ГЛАВА 7.
ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗНайдите СПМ, АКФ, дисперсию выходного процесса, если навходе действует белый шум с СПМ N 0 2 .3. Найдите в общем виде выражение для взаимной корреляционной функции процессов на выходах двух цепей с импульснымихарактеристиками g1 ( t ) и g 2 ( t ) , когда на их входы воздействуетодин и тот же белый шум с СПМ N 0 2 .4.
Найдите взаимную корреляционную функцию процессов навыходах интегрирующих RC-цепей с постоянными времени τ1 иτ2 , на входы которых воздействует белый шум с СПМ N 0 2 .5. Найдите значение взаимной корреляционной функции процессов на входе и выходе идеального дифференциатора, соответствующее нулевому аргументу.6. Предложите критерий дифференцируемости СП, учитывая,что процесс на выходе идеального дифференциатора при воздействии на его вход дифференцируемого процесса должен иметь ограниченную мощность.7. Найдите значение взаимной корреляционной функции процессов на входе и выходе идеального интегратора, соответствующее нулевому аргументу.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
