А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 9
Текст из файла (страница 9)
МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯТаблица 3.9ПараметрF , кГцψmf д , кГц120π/310031260o4-53045o1507*200π/640Номер варианта911*1015030oπ/8545131590o751560120o3-17*100π/42019*18120o1.8Таблица 3.10ПараметрНомер подварианта3456200 400 350 300fo , МГц010015002250ϕ0 , град1503060012018090Um , B2510121582016715085094500456014227БЗадано ЧМК с модуляцией одним гармоническим сигналом.Аналитическую запись ЧМК возьмите из табл.
3.11 в соответствиисо своим номером варианта, а значение средней частоты f 0 и амплитуды колебания U m – из табл. 3.12 в соответствии с номеромподварианта.Требуется:а) определить недостающие параметры ЧМК: F – частоту модулирующего сигнала;б) f max – максимальную мгновенную частоту; f min – минимальную мгновенную частоту;в) Δf – девиацию частоты;г) записать аналитическое выражение для мгновенной частотыЧМК ( f (t ) );д) определить практическую ширину спектра ( 2Δf пр );е) построить спектральную диаграмму ЧМК;ж) для вариантов, отмеченных *, построить векторную диаграмму (по спектральной) в момент времени t = 0 .Таблица 3.11НомервариантаАналитическое выражение2u (t ) = U m cos[ωot + 5sin(3 ⋅ 105 t ) + π / 3]4u (t ) = U m cos[ωot − 3cos(2π ⋅ 103 t ) + π / 6]673.4.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕОкончание табл. 3.11НомервариантаАналитическое выражение6*u (t ) = U m cos[ωot + 0.1cos(2π ⋅ 105 t ) + 3π / 4]8u (t ) = U m cos[ωot + 4sin(π ⋅ 105 t ) − π / 4]10u (t ) = U m cos[ωot − 2sin(105 t ) + π / 6]12*u (t ) = U m cos[ωot + 0.15sin(π ⋅ 105 t ) − 5π / 6]14u (t ) = U m cos[ωot − 3cos(2π ⋅ 104 t ) − π / 2]16u (t ) = U m cos[ωot + 4sin(2π ⋅ 3 ⋅ 105 t ) − π / 4]18*u (t ) = U m cos[ωot + 0.1sin(3π ⋅ 105 t ) + π / 6]20u (t ) = U m cos[ωot − 5cos(105 t ) + π / 8]Таблица 3.12ПараметрНомер подварианта3456012f o , МГц450250150300400200Um , B820167221478950010025060025101215Объясню, как смогу: не буду говорить ничего окончательного и определенного, подобно оракулу Аполлона, а, будучи всеголишь слабым смертным, укажу толькоправдоподобные предположения.ЦицеронГЛАВА 4ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИСЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ4.1.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫСлучайные колебания как сигнал и как помеха.
Одномерный имногомерный законы распределения вероятностей. Характеристические и моментные функции. Стационарные и эргодические процессы; определение характеристик и параметров процесса усреднением по времени [3, гл.17; 2, 6.3; 1, 4.1, 4.2].Корреляционное представление случайных процессов. Корреляционные функции и их свойства. Спектральное представление.Спектральная плотность мощности. Теорема Винера-Хинчина [3,17.9 и 18; 1, 4.3…4.5; 2, 7.1, 7.2].Узкополосные случайные процессы. Статистические характеристики огибающей и фазы [1, 4.6; 2, 7.3].Указания.
Следует обратить внимание на радиотехническуюинтерпретацию таких понятий, как математическое ожидание,средний квадрат, дисперсия, корреляционная функция и другие, насвойства спектрально-корреляционных характеристик случайногопроцесса. Основные характеристики полезно рассматривать напримерах наиболее часто встречающихся в природе и технике связи нормальных (гауссовых) процессов. При анализе радиоцепейвесьма продуктивны модели процессов в виде белого шума и узкополосного сигнала.Наиболее полно вопросы темы изложены в работах [10, 11]. Руководства и учебные пособия [8, 9, 5, 6] содержат большое числопримеров задач с решениями, указаниями и комментариями.694.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ4.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯСлучайный процесс X (t ) может быть охарактеризован во временной области совокупностью (ансамблем) реализаций xi (t ) , т. е.X (t ) = {xi (t )}, i = 1, N .(4.1)Если зафиксировать произвольный момент времени t1 , т.
е. получить сечение процесса – случайную величину X1 = X (t1 ) , то этувеличину (как следует из курса теории вероятностей) можно статистически полностью охарактеризовать функцией распреF ( x, t1 ) = P( X1 < x)илиплотностьювероятностиделенияw( x, t1 ) = dF ( x, t1 ) / dx . Обе функции выражают одномерный законраспределения случайной величины X1 . Если момент t1 выбратьпроизвольно, то одномерный закон распределения является функцией двух аргументов: x и t .Характеристическая функцияθ(v, t1 ) = M (e jvx ) = e jvx =∞∫ w( x, t1 )ejvxdx(4.2)−∞– преобразование Фурье от плотности вероятности, в равной степени описывает сечение процесса.Наиболее полно процесс X (t ) может быть представлен многомерной (n-мерной) плотностью вероятности wn ( x1 ,.., xn ; t1 ,.., tn ) илимногомерной характеристической функцией∞ ∞θ(v1 ,..vn ; t1 ,..tn ) =∫ ∫ w( x1,.., xn ; t1,.., tn ) ×−∞ −∞× exp[j (v1 x1 + ....
+ vn xn )]dx1..dxn .(4.3)Получение и исследование многомерных плотностей и характеристических функций представляет серьёзные трудности.Во многих случаях оказывается возможным ограничиться болеепростыми характеристиками случайных процессов – их моментными функциями: начальными и центральными.Начальные, или просто моментные функции k -го порядкаm(t ) = M {x k (t )} = x k (t ) =∞∫x−∞kw( x, t )dt .(4.4)70ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВЦентральные моментные функции k -го порядкаoμ k (t ) = [ x(t ) − m1 (t ) ] = [ x(t )]k =k∞ o k∫ ( x)w( x, t ) dx ,(4.5)-∞ooгде X (t ) = X (t ) − m1 (t ) , x = x − m1 .Наиболее важными для практического использования являютсямоментные функции первых двух порядков: математическое ожидание m1 (t ) = m(t ) , среднее значение квадрата m2 (t ) и дисперсияD (t ) = μ 2 (t ) , при этомD (t ) = μ 2 ( t ) = m2 ( t ) − m 2 ( t ) .(4.6)Количественной характеристикой скорости изменения случайных процессов служат корреляционные моментные функции, устанавливающие статистическую взаимосвязь значений процессов вразличных сечениях (в моменты t1 и t2 = t1 + τ ):B ( t1 , t2 ) = X ( t1 ) X ( t2 ) =∞ ∞∫ ∫ x1x2 w2 ( x1, x2 ; t1, t2 ) dx1dx2 ,(4.7)−∞ −∞ooK (t1 , t2 ) = X (t1 ) X (t2 ) = B(t1 , t2 ) − mx (t1 )mx (t2 ) ,(4.8)называемые соответственно (авто) ковариационной и (авто) корреляционной функциями.В практических приложениях часто рассматриваются так называемые стационарные процессы.
Если n -мерный закон распределения не изменяется при любом сдвиге τ всей группы сеченийвдоль оси времени, т. е. если он инвариантен относительно времениwn ( x1 ,..., xn ; t1 ,..., tn ) = wn ( x1 ,..., xn ; t1 + τ,..., tn + τ) ,(4.9)то случайный процесс называется стационарным в строгом илиузком смысле. Следовательно, двумерный и одномерный законыинвариантны относительно времени. Моментные функции превращаются в моменты – числовые характеристики закона распределения, т.
е. m1 (t ) = m1 = m , m2 (t ) = m2 , D(t ) = μ 2 (t ) = μ 2 и т. д.Для определения моментов можно использовать также характеристическую функцию θ(v ) :714.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯmn = j − n d n θ(v = 0) / dv n , μ 2 = D = −d 2ψ (v = 0) / dv 2 ,μ3 = − j 3 d 3ψ (0) / dv3 ,μ 4 = j 4 d 4 ψ(0) / dv 4 + 3μ 22 ,(4.10)где ψ (v) = ln[θ(v)] – так называемая кумулянтная функция.Имеется ещё числовая характеристика законов распределения –так называемая энтропия, выражающая их неопределённость:∞H = − ∫ ln[ w( x)]w( x)dx .(4.11)−∞В рамках корреляционной теории (для моментов не выше второго порядка) стационарность процесса определяется в широкомсмысле.
Ограничиваются требованием, чтобы математическоеожидание и дисперсия не зависели от времени, а корреляционнаяфункция определялась бы только интервалом τ = t2 − t1 , т. е.K (t1 , t2 ) = K (τ) .Для нормальных (гауссовых) процессов понятия стационарности в широком и узком смысле совпадают. Такие процессы исчерпывающим образом описываются указанием математическогоожидания и АКФ.Среди стационарных выделяют так называемые эргодическиепроцессы.
Стационарный в узком смысле процесс называется эргодическим, если любая вероятностная характеристика такого процесса, полученная путём усреднения по ансамблю реализаций, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточнобольшой промежуток времени наблюдения T из одной реализации. Для случайного процесса, стационарного в широком смысле,условие эргодичности формулируется относительно математического ожидания, дисперсии и корреляционной функции. Следовательно,∞m = X (t ) =∫−∞T1∫ X (t )dt = X (t ) ,T →∞ T0xw( x)dx = limT оо1222∫ X (t )dt (t )dt = X (t ) ,T →∞ T0μ 2 = X 2 (t ) − m 2 = lim(4.12)(4.13)T1∫ X (t ) X (t − τ)dt = X (t ) X (t − τ) ,T →∞ T0B(τ) = X (t ) X (t − τ) = lim(4.14)72ГЛАВА 4.
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВK ( τ) = B ( τ ) − m 2 .(4.15)Прямая черта означает усреднение по ансамблю реализаций, аволнистая черта – усреднение по времени.Корреляционные функции обладают следующими основнымисвойствами:1. B (τ) = B (−τ) и K (τ) = K ( −τ) , т.
е. они чётные.B(0) = m2 ,τ=02. Приэти функции максимальны:K (0) = μ 2 = D = m2 − m 2 .3. С ростом τ они убывают: B (τ) < B (0) и K (τ) < K (0) .4. При τ → ∞ , B (∞) = m 2 и K (∞) = 0 .Типичные кривые B (τ) и K (τ) , иллюстрирующие перечисленные свойства, показаны на рис. 4.1, а, б. На рис. 4.1, в дана нормированная корреляционная функцияR (τ) = K (τ) / K (0) ,(4.16)обладающая теми же свойствами.авB ( τ)1σ2 = DK (∞ ) = m12−τR ( τ)P = m2β0−ττR ( τ)K ( τ)гбфв0τ1D = σ2−τ0τ−τ0фkτРис.
4.15. Рассмотренные функции убывают не обязательно монотонно.Немонотонность имеет место, например, для процесса, содержащего детерминированную периодическую составляющую.6. Для случайного процесса, не содержащего детерминированных составляющих, можно указать такой временной интервал, на-734.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯзываемый интервалом корреляции τ к , что при τ > τ к значенияX (t ) и X (t + τ) практически некоррелированы, т. е. K ( τ = τ к ) ≈ 0 .Интервал корреляции определяют либо долей β от R (0) = 1 , либо полушириной основания прямоугольника единичной высоты,площадь которого равна площади под кривой R (τ) . В первом случае для определения τβ (рис. 4.1, в) нужно решить уравнениеR( τβ ) = β ,(4.17)а во втором для определения τ к (рис.
4.1, г) необходимо вычислитьинтеграл∞τк =∞1∫ R(τ)d τ = ∫ R(τ)d τ .2 −∞0(4.18)При колебательном характере изменения R (τ) интервал корреляции определяется координатой τ0 прохождения R (τ) через нуль.Заметим, что равенство K (τ) или R (τ) нулю ещё не означаетнезависимость случайных величин X1 = X (t1 ) и X 2 = X (t2 ) , в товремя как независимые случайные величины всегда некоррелированы и для них K (τ) = 0 . Однако для нормального случайного процесса отсутствие корреляции равносильно независимости.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
