А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Простейшая математическая модель36ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВдискретного сигнала Sд (t ) – это счетное множество точек {ti }(i = 0,1, 2,...,) на оси времени, в каждой из которых известно значение Si сигнала S (t ) .На основании теоремы Котельникова непрерывный сигнал S (t ) ,спектр которого не содержит частот выше f max , полностью определяется дискретной последовательностью своих мгновенных значений, отсчитываемых через интервалы времени T :T=1π=,2 f max ωmax(2.21)где T – интервал дискретизации (интервал Найквиста).Такой ограниченный по частоте сигнал можно выразить обобщенным рядом Фурье в базисе функций (sin x) / x :S (t ) =∞∑k =−∞S (kT )ϕk (t ) ,(2.22)sin[ω max (t − kT )]– при k = 0, 1, 2, … система ортогоω max (t − kT )нальных базисных функций; S (kT ) – значения функции S (t ) в моменты времени kT .Для представления сигналов конечной длительности ( Tопр ) вдискретной форме потребуется N отсчетовгде ϕ k (t ) =N = Tопр / T = 2 f maxToпp ,(2.23)где N – база сигнала.
Обратим внимание, что при этом частотаf max определяется приближенно, так как сигналы, ограниченныево времени, имеют бесконечно протяженный спектр.Спектр дискретизированного сигнала отличается от спектра непрерывного сигнала тем, что он периодичен по частоте. Если задискретизирующую последовательность принята система дельтафункцийϕk (t ) =∞∑δ(t − kT ) ,k =−∞то спектр дискретизированного сигнала имеет вид:372.3. ЗАДАЧИ.S д (ω) =1 ∞ .∑ S (ω − k ωд ) ,T k =−∞(2.24).где S (ω) – спектр непрерывного сигнала; ωд = 2π / T = 2ωmax – частота дискретизации, являющаяся “периодом” повторения по частоте.Для дискретизированного сигнала можно ввести дискретнуюфункцию автокорреляцииK S (n) =∞∑k =−∞Sk Sk − n ,(2.25)где S k = S ( kT ) , n =0, ±1, ±2, … .2.3.2.3.1.ЗАДАЧИГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ1.
Вычислите спектр сигналов S1 (t ) ÷ S 4 (t ) , используя тригонометрическую форму ряда Фурье. Постройте графики сигналов вовремени и соответствующие им спектральные диаграммы в частотной областиS1 (t ) = U 0 + U m cos(ωн t + ϕ0 ) ;S 2 (t ) = U 0 + U m sin(ωн t + ϕ0 ) ;S3 (t ) = U 0 + U m1 cos(ωн t ) + U m 2 sin(2ωн t ) ;S 4 (t ) = U 0 + U m cos(ωн t ) cos(2ωн t ) .2. Рассчитайте спектр сигналов S1 (t ) ÷ S 4 (t ) из задачи 1 и постройте спектральные диаграммы, используя комплексную формуряда Фурье.3.
Изобразите спектры мощности сигналов S1 (t ) ÷ S 4 (t ) из задания задачи 1. Определите среднюю за период мощность, используявременное и спектральное представление сигналов. Сравните результаты.4. Как изменится спектр сигнала S1 (t ) из задачи 1, если сигналсдвинуть по оси времени на величину τ , - τ ? Как изменится егоспектр мощности?38ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ5. Чем отличается спектр сигнала αS1 (t ) от спектра сигналаS1 (t ) , если α = const?6. Рассчитайте спектр и изобразите спектральную диаграммусигналаS (t ) = αdS 2 (t ) / dt ,где S 2 (t ) – сигнал из задачи 1.7. Вычислите спектр и изобразите спектральные диаграммысигналаtS(t)= ∫ S1 (t )dt , при U0=0, ϕ0=0,0где S1 (t ) – сигнал из задачи 1.8.
Изобразите спектр сигналаS (t ) = S1 (β t ) ; β = const.9. Запишите аналитическое выражение математической моделисигнала (рис. 2.4). Определите период сигнала. Вычислите среднюю за период мощность.AnU00UϕnU /2U /3р/2щ0 2щ0 3щ0 щ0щ0р3р/22щ0 3щ0ωРис.2.410. Математическая модель сигнала имеет видS (t ) =3U m j ( nω0t + nπ / 2)e.n =−3 2n∑Изобразите амплитудный спектр и спектр мощности сигнала.
Поясните разницу.11. Выведете выражение для расчета постоянной составляющейи амплитуды n-й гармоники последовательности однополярныхимпульсов S1 (t ) (рис. 2.5, а).12. Какие гармоники будут отсутствовать в спектре сигналаS1 (t ) (рис. 2.5, а), если его скважность ( q = T / τ ) равна 10?392.3. ЗАДАЧИ13. Решите задачу 11 для частного случая, когда сигнал S1 (t )представляет собой периодическую последовательность знакопеременных прямоугольных импульсов S 2 (t ) (см. рис.2.5, б) с амплитудой U m = S0 / 2 и со скважностью 2 (так называемый меандр).14.
По данным предыдущей задачи запишите ряд Фурье в тригонометрической форме и изобразите сумму первых трех составляющих (с частотами Ω, 2Ω и 3Ω ). Определите относительнуюсреднеквадратическую ошибку μ (см. (1.10)) такой аппроксимации.15. Как изменятся спектры амплитуд и фаз меандра (рис. 2.5, б),если S 2 (t ) переместить: а) по оси ординат вверх на U m ; по осиабсцисс (времени) вправо на τ / 2 ?16. Для периодической последовательности импульсов S1 (t )(рис. 2.5, а), скважность которых равна 2, определите долю мощности, которая заключена в постоянной составляющей и первой гармонике (т. е. в первом “лепестке” огибающей спектра сигнала), отсредней за период мощности сигнала.
Какова доля мощности сигнала в двух “лепестках” его спектра?S1 (t )S2 (t )S0− ф/ 2 0 ф/ 2UmTt− ф/ 2ф/ 2TtРис.2.517. Найдите постоянную составляющую и амплитуду первойгармоники периодического сигнала S1 (t ) , изображенного нарис.2.6, а.S1 (t ) = U m cos ω0t , −τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2 , τ = T / 2 = π / ω0 .18. Рассчитайте постоянную составляющую и амплитуду первойгармоники последовательности импульсов S 2 (t ) , представленной нарис. 2.6, б и образованной гармоническим колебанием U m cos ωo t ,ограниченным на уровне U o :S 2 (t ) = U m cos ω0t − U 0 , − τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2 или −θ ≤ ω0t ≤ θ ,где θ – так называемый угол отсечки, определяемый из соотношения40ГЛАВА 2.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВU m cos θ = U 0 ,откуда θ = arccos(U 0 / U m ) ; при этом ω0 τ / 2 = θ или τ = 2θ / ωo .Найдите ao и A1 для частного случая, когда U 0 = 0 ( θ = π / 2 ) исопоставьте с результатом задачи 17.− ф/ 2−и и р− ф/ 2 ф/ 2ф/ 2U02ращ0tбРис. 2.619. Выведите выражение для расчета амплитуды n-й гармоникипериодического колебания пилообразной формы S1 (t ) (рис. 2.7, а).S1 (t )S2 (t )UmS00−U mTt−T / 2 0аT /2TtбРис.2.720.
По данным предыдущей задачи запишите ряд Фурье в тригонометрической форме. Вычислите амплитуды первых трех гармоник и относительную среднеквадратическую ошибку μ аппроксимации для этого случая, т. е. когда S 1 (t ) равно сумме трех составляющих.21. Определите постоянную составляющую и амплитуду n-йгармоники последовательности униполярных треугольных импульсов S 2 (t ) (рис. 2.7, б).22.
По результату решения предыдущей задачи определите относительную среднеквадратическую ошибку μ аппроксимацииS 2 (t ) суммой постоянной составляющей и трех первых гармоник.412.3. ЗАДАЧИ2.3.2.СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ23. Вычислите спектр дельта-функцииS (t ) = δ(t − τзад ) .Постройте диаграмму спектральной плотности. Запишите одно изопределений дельта-функции, используя обратное преобразованиеФурье.24. Вычислите спектр сигналов, не являющихся абсолютно интегрируемымиS1 (t ) = U m cos ωн t ; S 2 (t ) = U m sin ωн t .Постройте спектральные диаграммыУказание.
Воспользуйтесь определением дельта-функции из задачи 23.25. Получите аналитическое выражение и постройте спектральнуюдиаграмму S3 ( jω) сигнала постоянного уровня S3 (t ) = U 0 = const .Указание. Воспользуйтесь спектром сигнала S1 (t ) из задачи 24.26. Вычислите спектр функции Хевисайда S 4 (t ) = σ(t ) . Постройте спектральные диаграммы.Указание. Представьте σ(t ) как сумму сигнала постоянногоуровня и двух сигма-функций; воспользуйтесь связью σ(t ) и δ(t ) .27. Получите спектр произвольной периодической последовательности∞S5 (t ) = ∑ S (t + nT0 ) , n = 0, ± 1, ± 2, ... .−∞28. Вычислите спектр и постройте спектральную диаграммусигнала∞S6 (t ) = ∑ δ(t + nT0 ) , n = 0, ± 1, ± 2, ...
.−∞29. Рассчитайте спектр сигнала, изображенного на рис.2.8. Постройте спектральные диаграммы.Указание. 1. Преобразуйте сигнал в сумму δ(t ) . 2. Воспользуйтесь основными теоремами о спектрах (прил. П.4).30. Вычислите энергетический спектр сигнала рис. 2.8. Постройте диаграмму энергетического спектра. Как изменится спектри энергетический спектр сигнала:42ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВа) если домножить U m на (–2);б) если изменить масштаб времени ( t ′ = 2t ; t ′′ = t / 2 );в) если инвертировать ось времени ( t = −t );г) если сместить сигнал во времени на ( ±τи / 2 );д) если изменить длительность импульса ( τ′и = 2τи ; τ′′и = τи / 2 )?31. Вычислите эффективную ширину спектра сигнала рис. 2.8по энергетическому критерию kэ =0.9. Определите μ из соотношения неопределенности, если τ′и = 2τи ; τ′′и = τи / 2 .32.
Вычислите спектр и постройте спектральную диаграмму радиоимпульсаS7 (t ) = e−α tcos ωнt .33. Вычислите спектральную плотность и постройте спектральные диаграммы S& (ω) и ϕ(ω) экспоненциального импульса:S (t ) = So e −αt , при t > 0, α > 0 .34. Вычислите спектральную плотность S& (ω) и постройте график S& (ω) пары экспоненциальных импульсов S (t ) , представленных на рис. 2.9. Штриховой линией на рисунке показан одиночныйимпульсSод (t ) = S0e−αt , t > 0, α > 0 .Воспользуйтесь теоремами о свойствах спектров.S (t )S0S (t )S0 / 2− ф/ 20 ф/ 2t−t00t0− S0− S0 / 2Рис.2.8tРис.2.935. Показанный на рис. 2.10 треугольный импульс определяетсявыражением:432.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
