А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.3T t1 θ = t /T171.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯФормулы (1.13) и (1.14) при использовании ФУ в качестве базисных функций примут вид:∞S (θ) = ∑ Bn wal(n, θ) ,(1.21)n =0T11Bn = ∫ S (t )wal(n, T )dt = ∫ S (θ)wal(n, θ) d θ .T00(1.22)Вопросы использования ортогональных функций и, в частностиФУ, в радиотехнике подробно изложены в [14-16].1.3.1.3.1.ЗАДАЧИМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ1. Изобразите графики следующих сигналов:а) S1 (t ) = U ⋅ σ(t − τ1 ) ;б) S2 (t ) = U ⋅ σ(τ1 − t ) ;в) S3 (t ) = U ⋅σ(−t − τ1) ;г) S4 (t ) = U ⋅ σ(t + τ1 ) .2. Как изменится вид сигналов S1 (t ) ÷ S 4 (t ) из задачи 1, есливместо U взять −U ?3. Изобразите графики функций Дирака:а) S1 (t ) = U ⋅ δ(t − τ1 ) ;б)S 2 (t ) = U ⋅ δ( τ1 − t ) ;в) S3 (t ) = U ⋅ δ( −t − τ1 ) ;г) S 4 (t ) = U ⋅ δ(t + τ1 ) .4. Изобразите график сигнала, математическая модель которогоимеет вид:⎧⎪0, t > τu / 2S (t ) = ⎨⎪⎩ 2U m t / τu , t < τu / 2.(1.23)Запишите математическую модель сигнала с помощью суммы ипроизведений функций Хевисайда.5.
Импульсы напряжения изображены на рис. 1.4. Запишите математическую модель сигналов двумя способами: а) на временныхинтервалах аналогично выражению (1.23), б) с помощью комбинаций функций Хевисайда.18ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВS 2 (t )S1 (t )U− τ1S 3 (t )Uτ20аt− τ10Utб0 τ1τ2tвРис.
1.46. Изобразите графически сигналы, полученные дифференцированием видеоимпульсов, изображенных на рис. 1.4. Запишите математические модели.7. Представьте графики радиоимпульсов, образованных произведением соответствующих видеоимпульсов S1 (t ) ÷ S3 (t ) (рис.
1.4)и гармонического колебания 1cos ω0t .8. Запишите математическую модель видеоимпульса рис. 1.4, ав виде суммы четной и нечетной частей (графически и аналитически).9. Составьте математическую модель для описания бесконечнойпоследовательности одинаковых импульсов прямоугольной(рис. 1.4, а) и треугольной (рис. 1.4, б) формы с периодом T = 2τu .10. Изобразите график сигналаS (t ) = U (1 − e−α⋅t ) [ σ(t ) − σ(t − τ1 )] + Ue−α (t −τ1 ) σ(t − τ1 ) ,где α = 1/ t0 , t0 < τ1 / 3 .1.3.2.ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ11. Вычислите∞I1 =∫ [σ(t − τ1 ) − σ(t − τ2 )]dt ;−∞∞I2 =∫ σ(t − τ1 )σ(τ2 − t )dt ;−∞∞I3 =∫ [σ(t − τ1) − σ(t − τ2 )]−∞∞I4 =2dt ;∫ [σ(t − τ1 ) − σ(τ2 − t )] ⋅ σ(τ2 − t )dt .−∞191.3.
ЗАДАЧИ12. Найдите∞I1 =∫ [δ(t − τ1 ) − δ(t − τ2 )] dt ;−∞∞I2 =∫ [δ(t − τ1 )δ(τ2 − t )] dt ;−∞∞I3 =∫e−αt δ(t ) dt ;∞−∞∞∫−αtδ(β t ) dt .−∞13. ВычислитеI1 =∫eI4 =e−αt δ′(t ) dt ;∞I2 =−∞∫t2δ′(t )dt ,−∞где δ′(t ) = d δ(t ) / dt .14. Запишите математическую модель и дайте динамическоепредставление сигнала рис.
1.4, а, воспользовавшись функциямиσ(t ) и δ(t ) .15. Воспользовавшись формулой (1.1), дайте динамическоепредставление экспоненциального видеоимпульса:u (t ) = U exp(−αt )σ(t ) .16. Изобразите графики функций и дайте динамическое представление сигналов, используя функции σ(t ) и δ(t ) :S1 (t ) = σ(t )U m cos ω0t ; S 2 (t ) = σ(t − τ)U m e −αt .1.3.3.ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ17. Множество М образовано сигналами видаS n (t ) = An cos(ωn t + ϕn )– гармоническими колебаниями, отличающимися своими амплитудами An , частотами ωn и начальными фазами ϕn ; при этом амплитуды колебаний не превосходят 20 В. Найдите амплитуду суммарного колебания S (t ) = 15cos ω1t + 10cos ω3t , где ω3 = 3ω1 .
Можно ли считать заданное множество линейным пространством?18. Множество М образовано прямоугольными видеоимпульсами напряжения на интервале времени (0, 50 мкс). Амплитудыимпульсов не превышают 15 В. Покажите, что данное множествоне является линейным пространством сигналов.20ГЛАВА 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ19. Вычислите энергию и норму сигнала с амплитудой U идлительностью τu . Форма импульса (рис. 1.5):а) прямоугольная S1 (t ) = U1 , 0 ≤ t ≤ τu ;б) треугольная S 2 (t ) = (U 2 / τu )t , 0 ≤ t ≤ τu ;в) экспоненциальная S3 (t ) = U 3 exp( −αt ) , t > 0 , α > 0 ;г) синусоидальная S 4 (t ) = U 4 sin( πt / τu ) , 0 ≤ t ≤ τu .S1 (t )S 2 (t )U1U20τut0S 3 (t )S4 ( t )U3U40t0τuτuttРис. 1.520. Определите энергию и норму экспоненциального видеоимпульса5u (t ) = 50e −10 t σ(t ) , В.21.
Определите метрику сигналов: а) S1 (t ) и S 2 (t ) ; б) S1 (t ) иS 4 (t ) . Сигналы S1 (t ) , S 2 (t ) и S 4 (t ) заданы в задаче 19.22. По данным предыдущей задачи вычислите амплитуду U1прямоугольного импульса так, чтобы было минимальным расстояние между ним и: а) треугольным импульсом S 2 (t ) ; б) синусоидальным импульсом S 4 (t ) . Найдите в каждом случае это минимальное расстояние.23. По данным задачи 19 найдите величину параметра α , при которой метрика d ( S1 (t ), S3 (t ) ) минимальна. Параметры U1 = U 3 = U 0 ,τu и α – положительные вещественные числа.
Амплитуда U 0 и длительность τu импульса считаются фиксированными.211.3. ЗАДАЧИ24. Сигнал u1 (t ) = 1t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 аппроксимирован линейнойфункцией u2 (t ) = at + b . Найдите коэффициенты a и b , потребовавнаименьшей метрики d (u1 (t ), u2 (t )) .25. Заданы два экспоненциальных видеоимпульса, смещенныхна величину t0u1 (t ) = Ue −αt σ(t ) , u2 (t ) = Ue −α (t −t0 ) σ(t − t0 ) .Найдите зависимость угла ψ1,2 между векторами от параметра t0 .Найдите значение t0 , при котором ψ1,2 = 89o , т. е. видеоимпульсыпрактически ортогональны.26.
Покажите, что комплексные экспоненциальные функцииϕn (t ) =1⎛ 2π ⎞exp ⎜ j nt ⎟ , n = 0, ± 1, ± 2,...T⎝ T ⎠на интервале −T / 2 ≤ t ≤ T / 2 образуют ортонормированный базис.27. Докажите, что в вещественном гильбертовом пространстве,содержащем сигналы U и V , справедливо равенство параллелограмма:2222U +V + U −V = 2 U + 2 V .28. Докажите, что в комплексном гильбертовом пространстве,содержащем сигналы U и V , имеет место тождество22224(U ,V ) = U + V + U − V + j U + jV − j U − jV .1.3.4.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛША29.
Сформируйте с помощью матриц Адамара функции Уолша(ФУ) при базисе: а) N = 4, б) N = 8, в) N = 16. Упорядочитефункции по Адамару и Уолшу.30. Перемножение двух ФУ дает также ФУ:wal(k , θ) wal(i, θ) = wal(m, θ) .Определите номер m результирующей функции, если: а) k = 3,i = 7 ; б) k = 8, i = 5 ; в) k = 6, i = 12 .31. Дана периодическая последовательность прямоугольныхимпульсов с амплитудой S 0 , длительностью τu и периодом повторения Т22ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВS (t ) = So , 0 ≤ t ≤ τu .Определите спектр в базисе ФУ на интервале [0, T] для следующихзначений скважности ( q = T / τu ): а) 2; б) 4; в) 8.32.
Сигнал S1 (θ) имеет спектр {B1,n } = B0,1 ,...., B1,n . Чем отличается спектр сигнала S 2 (θ) , связанного с сигналом S1 (θ) соотношением: а) S2 (θ) = S0 S1 (θ) ; б) S2 (θ) = S0 + S1 (θ) ; в) S2 (θ) = S0 − S1 (θ) ?33. Как изменится спектр меандра ( τu = T / 2 ) при задержке наτ з = τи / 2 ?34. Один период Т колебания треугольной формы S (θ) = S0 θ ,при 0 ≤ θ = t / T ≤ 1 аппроксимируется пятью членами ряда:SSS% (θ) = 0 wal(0, θ) − 0 wal(1, θ) −24S0SoS− wal(3, θ) − wal(7, θ) − 0 wal(15, θ)81632Определите энергию и среднюю мощность колебания S% (θ) (на сопротивлении 1 Ом) и сравните полученные значения с энергией имощностью исходного колебания S (θ) .
Sо = 1 В, Т = 1 мс.35. По данным предыдущей задачи изобразите аппроксимированный (синтезированный) сигнал S% (θ) и определите относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации μ для случаев,когда S% (θ) содержит: а) два члена ряда ( N = 2), б) три члена( N = 4), в) четыре члена ( N = 8), г) пять членов ( N = 16).
Амплитуду S 0 принять равной 32 В.36. Определите спектр и постройте спектральную диаграммусигнала S (θ) , приведенного в табл. 1.1, в базисе 4 (8 или 16) ФУ.37. По результатам предыдущей задачи синтезируйте сигнал наинтервале [0,1] и постройте на одном графике исходный S (θ) исинтезированный S% (θ) сигналы.38. По данным задач 36 и 37 рассчитайте норму и энергию (приR = 1 Ом) исходного и синтезированного сигналов и определитеотносительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации(синтеза).231.3. ЗАДАЧИТаблица 1.1Номерварианта1Сигнал S (θ)ГрафикАналитическая записьS01 .00 .502S0o/21.003θи0.5S0/2θи04и0.51.0SS0o00.51.0 θи5S0/20.51.0 θи06So007АS0 (и − 0.5), 0 ≤ и ≤ 1⎧2S0θ, 0 ≤ и ≤ 0.5,⎨⎩2S0 (1 − и), 0.5 ≤ и ≤ 1.0⎧ S0 (0.5и − 2θ), 0 ≤ и ≤ 0.5,⎨⎩ S0 (2и − 1.5), 0.5 ≤ и ≤ 1.0⎧ S (1 − 4и), 0 ≤ и ≤ 0.25,⎪⎪ 0⎨0, 0.25 ≤ и ≤ 0.75,⎪⎪⎩4 S0 (и − 0.75), 0.75 ≤ и ≤ 1.0иθ0.51.0 θи0.5и1.0 θ⎧ A sin(2πθ), 0 ≤ θ ≤ 0.5,⎨⎩0, 0.5 ≤ θ ≤ 1.0А0100.5⎧ S0и, 0 ≤ и ≤ 0.5,⎨⎩ S0 (и − 1), 0.5 ≤ и ≤ 1.0A sin(2πθ), 0 ≤ θ ≤ 1А091.0 θи1.0080.5⎧ S0 , 0 ≤ и ≤ 1/ 4,⎨⎩ − S0 , 3/ 4 ≤ и ≤ 1.0А00.5и1.0 θA cos(2πθ), 0 ≤ θ ≤ 1⎧ A cos(2πθ), 0 ≤ θ ≤ 0.25,⎪⎨0, 0.25 ≤ θ ≤ 0.75,⎪ A cos(2πθ), 0.75 ≤ θ ≤ 1.0⎩24ГЛАВА 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВОкончание табл. 1.1Номерварианта11Сигнал S (θ)ГрафикSSo0012θи0.51.0 иθ0.5θ1.0 и0.51.0иθ0.51.0θиSo0191.0S00180.5S00171.0 θиSSo00160.5SSo00151.0 иθS00140.5SS0o013Аналитическая запись0.51.00.51.0S0 ⋅ (1 − и), 0 ≤ и ≤ 1.0⎧0, 0 ≤ и ≤ 0.25,⎨⎩ S0 , 0.25 ≤ и ≤ 1.0⎧ S0 , 0 ≤ и ≤ 0.25,⎪⎨0, 0.25 ≤ и ≤ 0.75,⎪ S , 0.75 ≤ и ≤ 1.0⎩ 0⎧ S0 , 0 ≤ и ≤ 0.125,⎪⎨ 0.25 ≤ и ≤ 0.375,⎪⎩ 0, вне этих интервалов⎧ S0 , 0 ≤ и ≤ 1/ 8, 2 / 8 ≤ и ≤ 3/ 8⎪⎨ 6 / 8 ≤ и ≤ 1/ 0,⎪⎩ 0, вне этих интервалов⎧ S0 , 0 ≤ и ≤ 1/ 4, 5 / 8 ≤ и ≤ 6 / 8⎪⎨ 7 / 8 ≤ и ≤ 1/ 0,⎪⎩ 0, вне этих интерваловθи⎧2S0θ, 0 ≤ и ≤ 0.5,⎨⎩ S0 , 0.5 ≤ и ≤ 1.0θи⎧ S0 (1 − 2и), 0 ≤ и ≤ 0.5,⎨⎩0, 0.5 ≤ и ≤ 1.0So0⎧ 4 S0 ⋅ и, 0 ≤ и ≤ 0.25,⎪⎨ S0 , 0.25 ≤ и ≤ 0.75,⎪ S [1 − 4(и − 0.75)],0.75 ≤ и ≤ 1.0⎩ 0251.3. ЗАДАЧИ20So00.51.0θи⎧ S0 , 0 ≤ и ≤ 1/ 8, 3/ 8 ≤ и ≤ 5 / 8⎪⎨ 7 / 8 ≤ и ≤ 1.0,⎪⎩ 0, вне этих интервалов26ГЛАВА 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
