А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ1.4.1.4.1.КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛАВ табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсногосигнала.Требуется:Записать математическую модель сигнала S (t ) через временныеинтервалы и на непрерывной оси времени с помощью комбинаций(суммы и произведений) функций Хевисайда.Вариант0Таблица 1.2Сигнал S (t )Вариант5Сигнал S (t )UUф/ 2− ф/ 212ф/ 2 t− ф/ 2UU− ф/ 2ф/ 2ф/ 2 t− ф/ 2-UПодвариантtU− ф/ 20ф/ 20-U9Uф/ 2 t08ф/ 2 t0ф/ 2 tU− ф/ 2ф/ 2 t03407U− ф/ 2U− ф/ 2-Ut06U− ф/ 2− ф/ 2ф/ 2 t0t0-UТаблица 1.38921U, B010182432415106874τ,мс1234554321Т , мс369121520161284271.4.
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ1.4.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА В БАЗИСЕ ФУНКЦИЙ УОЛШААппроксимируйте сигнал S (θ) в базисе 8 ФУ wal (n, θ) , n =0,...,7. Форма сигнала задана в табл.1.4, а параметры приведены втабл.1.5.Требуется:а) определить спектр и построить спектральную диаграмму длязаданного θo и θo = 0 ;б) синтезировать сигнал на интервале [0, 1] и построить на одномграфике заданную и аппроксимированную функцию для θo = 0 ;в) рассчитать норму и энергию (на сопротивлении 1 Ом) исходного и аппроксимированного сигнала;г) определить относительную среднеквадратическую ошибкуаппроксимации.Таблица 1.4Сигнал S (θ)Вариант0ГрафикА0 и01А0.5и0и01.0 и0.5и1.00.51.0иS00 и05иS0041.0S0030.5и002Аналитическая запись0.51.0 иS00 и00.51.0 иA cos[2π(θ − θ0 )]A sin[2π(θ − θ0 )]⎧ S0 (θ + 1 − θ0 ), 0 ≤ θ ≤ θ0 ,⎨⎩ S0 (θ − θ0 ), θ0 ≤ θ ≤ 1.0⎧ S0 (θ0 − θ), 0 ≤ θ ≤ θ0 ,⎨⎩ S0[1 − (θ − θ0 )], θ0 ≤ θ ≤ 1.0⎧2 S0 (θ0 − θ), 0 ≤ θ ≤ θ0 ,⎪⎨2 S0 (θ − θ0 ), θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 0.5,⎪2 S [1 − (θ − θ )], 0.5 + θ ≤ θ ≤ 1.000⎩ 0⎧ S0 (1 − 2(θ0 − θ)], 0 ≤ θ ≤ θ0 ,⎪⎨ S0 (1 − 2(θ − θ0 )], θ0 ≤ θ ≤ θ0 + 0.5,⎪ S [2(θ − θ ) − 1], 0.5 + θ ≤ θ ≤ 1.000⎩ 0Окончание табл.
1.428ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВСигнал S (θ)Вариант6ГрафикАналитическая записьS00 и07⎧ S0 , θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи , θи = 1/ 4,⎨⎩0, вне этого интервала1.0 и0.5S00 и08⎧0, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи , θи = 1/ 4,⎨⎩ S0 , вне этого интервала1.0 и0.5S00 и090.51.0⎧ S0 , θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи , θи = 1/ 8,⎪⎨ S0 , θ0 + 2θu ≤ θ ≤ θ0 + 3θи ,⎪0, вне этих интервалов⎩иS0/200.51.0⎧ − S0 / 2, θ0 ≤ θ ≤ θ0 + θи , θи = 1/ 8,⎪⎨ − S0 / 2, θ0 + 2θu ≤ θ ≤ θ0 + 3θи ,⎪ S / 2, вне этих интервалов⎩ 0ии0Таблица 1.5Подвариант01234567θ01/162/163/164/165/166/167/168/16А илиS0 , В109876543899/16 10/1621О сколько нам открытий чудныхГотовят просвещенья духИ опыт, сын ошибок трудных,И гений парадоксов друг …Александр ПушкинГЛАВА 2СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ2.1.
ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫГармонический анализ периодических колебаний. Тригонометрическая и комплексная форма ряда Фурье. Спектр периодическогоколебания. Амплитудные и фазовые спектральные диаграммы.Связь тригонометрических и комплексных коэффициентов рядаФурье. Энергетические характеристики периодических сигналов.Распределение энергии и мощности в спектре периодического сигнала [1, 2.3…2.5; 2, 2.1; 3, 1.1, 1.2, 2.1].Спектральное представление непериодических колебаний. Преобразование Фурье.
Спектральная плотность. Связь между спектральной плотностью непериодического колебания и спектральными коэффициентами периодического колебания. Теоремы о спектрах. Энергетические характеристики непериодического колебания. Энергетический спектр. Равенство Парсеваля. Обобщеннаяформула Релея. Понятие активной (эффективной) длительности иширины спектра непериодического сигнала; соотношение междуними [1, 2.6…2.14; 2, 2.2-2.5; 3, 2.1…2.6].Корреляционные функции детерминированных сигналов.
Автокорреляционная функция (АКФ). Свойства АКФ, связь с энергетическим спектром сигнала. Взаимная корреляционная функция(ВКФ) и ее связь со взаимным энергетическим спектром [1, 2.18,2.19; 2, 3.2; 3, 1.3, 2.2…2.4].Представление сигналов рядом Котельникова. Теорема Котельникова. Дискретизация непрерывных сигналов. Интервал Найквиста. База сигнала.
Спектр дискретизированного сигнала [1,2.15…2.17; 3, 2.7; 2, 5.2].302.2.ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВКРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯПредставление периодического сигнала S (t ) = S (t + nT0 ) илисигнала с ограниченной областью определения ( t1 < Tonp < t2 )обобщенным рядом Фурье (1.13) в базисе основных тригонометрических функций ( sin 2πnt / T ; cos 2 πnt / T ) называется гармоническим. Такое представление возможно, если T = T0 или T = Tonp иимеет вид:∞S (t ) = a0 + ∑ (an cos nω0t + bn sin nω0t ) =n =1(2.1)∞= A0 + ∑ An cos(nω0t − ϕn ),n =1где ω0 = 2π / T ; n = 1,2,3,... ;Ta0 =T12S (t )dt ; an = ∫ S (t ) cos(nω0t )dt ;∫T0T0Tbn =2S (t )sin(nω0t )dt ;T ∫0(2.2)Ao = ao ; An = an2 + bn2 ; ϕn = arctg (bn / an ) .Совокупность коэффициентов An и ϕn образуeт дискретныйспектр периодического колебания.
Изображение коэффициентов вкоординатах амплитуда – частота и фаза – частота называется соответственно амплитудными и фазовыми спектральными диаграммами или амплитудным и фазовым спектром (рис. 2.1, а).Кроме тригонометрической формы записи ряда Фурье часто используют комплексную форму. Она соответствует разложениюсигнала S (t ) в обобщенный ряд Фурье (1.13) по системе ортогональных функцийe jnωot = cos nωo t + j sin nωo t ; n = 0, ±1, ±2,...и имеет видS (t ) =∞& jnωot ,∑ Cen =−∞где(2.3)312.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯT1C& n = ∫ S (t )e− jnωot dt = C& n e jφn .T0(2.4)Между коэффициентами C& n и An , а также ϕn и Φ n существует простая связьC0 = A0 ; Cn = C& n = An / 2 , ( n ≠ 0 );(2.5)Φ n = ϕn ( n > 0 ); Φ n = −ϕn ( n < 0 ).На рис. 2.1, б приведен пример спектральных диаграмм комплексного ряда Фурье.AnA1A00ϕn0щ0A2C −1C −3 C −2A32щ0 3щ0 щϕ1щ0Cn−3щ0ϕ −2ϕ3ϕ23щ0 щϕ −3−щ0−щ0C1 C2 C3щ00ϕn−2ω0ϕ −1аC03щ0 щ0ϕ1щ0ϕ3ϕ23ω0 щбРис.2.1Важно! Коэффициенты An и C& n могут быть вычислены двумяспособами:• непосредственно по (2.2) и (2.4);• с использованием спектральной плотности (2.10).Для периодических сигналов, а также для сигналов с ограниченной областью определения в качестве энергетической характеристики используется средняя мощность, которую можно вычислить по формулам:• для временной областиT1P = ∫ S 2 (t )dt ;T0(2.6)32ГЛАВА 2.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ• для частотной области∞P = A02 + ∑ An2 / 2 =n =1∞∑n =−∞2C& n .(2.7)Совокупность коэффициентов An2 / 2 и Cn2 = C& n2образует дис-кретный спектр мощности периодического сигнала (рис. 2.2).An2 / 2A12 / 2A020щ0Cn2A22 / 2A32 / 22C−21 C0C−232щ0 3щ0 щ−3щ0−щ00C12 C 22 C23щ0 2щ0 3щ0 щРис.2.2Важно! При переходе к спектру мощности теряется информация о фазе спектральных составляющих.В отличие от периодического сигнала, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени ( T0 → ∞ ), включающейобласть определения сигнала ( Tопp ), не может быть записан как рядФурье. Логическим распространением спектральных представлений на одиночные импульсы является интегральное преобразование.Прямое преобразование Фурье – это переход от описания сигнала во времени S (t ) к описанию в частотной области S& (ω)S& (ω) = S ( jω) =∞∫ S (t )e− jωtdt = S& (ω) e jϕ(ω) .(2.8)−∞Обратное преобразование Фурье – это восстановление временной модели сигнала по его спектральной плотности∞S (t ) =1jωt∫ S& (ω)e d ω .2π −∞(2.9)Таким образом, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени, имеет сплошной спектр в виде непрерывнойфункции частоты S& (ω) , которая называется спектральной плотностью.
Размерность спектральной плотности [Ампл / Гц].332.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯНа рис. 2.3 приведен пример спектральных диаграмм модуля (б)и фазы (в) спектральной плотности для одиночного прямоугольного импульса (а).S (t )S( f )UфU− ф/ 2 0 ф/ 2 t−2 / фа0 1/ф 2/ф 3/ τfбϕ( f )2рр−2 / ф − р−2р2/ф 3/фfвРис.2.3Спектральная плотность связана простым соотношением с ком∞плексными амплитудами периодического сигнала∑Sn =0(t + nT0 ) ,полученного повторением с периодом T0 одиночного импульса S(t)..Cn =1 .S (nω0 ) , ω0 = 2π / T0 .T0(2.10)Соотношение (2.10) позволяет легко перейти от сплошногоспектра одиночного импульса к дискретному спектру периодической последовательности импульсов.
Расчет С& n по соотношению(2.10) рекомендуется проводить еще и потому, что• спектральная плотность большинства простейших одиночныхимпульсов широко представлена [1-3];• при расчете спектра сложных импульсных последовательностей можно воспользоваться основными теоремами о спектре(прил. П.4).Полная энергия одиночного импульса может быть вычисленалибо во временной области, либо в частотной в соответствии с равенством Парсеваля:34ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ∞Эс =∫S 2 (t ) dt =−∞∞21 &S (ω) d ω .∫π0(2.11).Спектральная диаграмма | S (ω) |2 , как функция частоты, называетсяэнергетическим спектром одиночного импульса.Для оценки эффективной (практической или активной) длительности сигнала ( τэф ), имеющего бесконечно протяженную вовремени математическую модель, можно воспользоваться энергетическим критерием:τэфЭс ( τэф ) =∫S 2 (t ) dt = kэ Эс .(2.12)0В частотной области аналогичным способом определяют эффективную ширину спектра сигнала ( ωэф )1Эс (ωэф ) =πωэф∫.| S (ω) |2 d ω = kэ Эс .(2.13)0Таким образом, эффективная длительность τэф (и ширина спектра ωэф ) – это такой временной (и частотный) интервал, в которомсосредоточена подавляющая часть ( kэ ) полной энергии сигнала.Обычно kэ = 0.9 (90%) или 0.95 (95 %).Между эффективной длительностью и шириной спектра простейших видеоимпульсов имеется связь, которая называется соотношением неопределенности для сигналовτэф f эф = μ ,(2.14)где f эф = ωэф / 2π ; μ – небольшое число (см.
прил. П.5).Одной из важных временных характеристик детерминированных сигналов, устанавливающих энергетическую связь сигналаS (t ) с его сдвинутой на величину τ копией S (t − τ) , является автокорреляционная функция (АКФ). Для сигналов с ограниченнойобластью определения АКФ вычисляется по формуле∞K s (τ) =∫ S (t )S (t − τ)dt .−∞(2.15)352.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯДля периодических сигналов ST (t + nT0 ) АКФ вычисляется:ks (τ) =1T0T0 / 2∫ST (t ) ST (t − τ)dt .(2.16)−T0 / 2В теории сигналов доказывается, что АКФ и энергетическийспектр связаны парой преобразований Фурье.K s (τ) ⇔| S (ω) |2 .Основные свойства АКФ:1) K s ( τ) = K s ( −τ)– четность;2) K s (0) = Э с(2.17)– полная энергия сигнала;k s (0) = P– средняя за период мощность сигнала;3) K s (0) ≥ K s ( τ)– максимум в начале координат;4) k s ( τ) = k s ( τ + nT0 ) – АКФ периодического сигнала –периодическая функция с периодом T0 ;5) K s ( τ) и k s ( τ)– не несут информации о начальном положении сигнала.Энергетическую связь двух различных сигналов, сдвинутыхдруг относительно друга на величину τ, характеризует взаимнаякорреляционная функция (ВКФ):∞K s ,u (τ) =∫ S (t )U (t − τ)dt .(2.18)−∞ВКФ отображается в частотную область как взаимный энергетический спектр:.K s ,u (τ) ⇔ S& (ω)U& ∗ (ω) = S& ∗ (ω)U (ω) ,(2.19)где “*” – знак комплексного сопряжения.ВКФ связана с интегралом свертки следующим соотношением:∞K s ,u (τ) = S (τ) ⊗ U (−τ) =∫ S (ξ)U (ξ + τ)d ξ .(2.20)−∞Дискретные сигналы могут быть получены из аналоговых (непрерывных) дискретизацией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
