А.Н. Яковлев - Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания (1266314), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если S k и S n – два вектора из L , то выполняется неравенство треугольника: || S k + S n ||≤|| S k || + || S n || .Для аналоговых вещественных и комплексных сигналов нормусоответственно запишем:∞|| S ||=∫S2∞∫ S (t )S(t ) dt = Эs ; || S ||=−∞*(t )dt = Эs ,(1.5)−∞где * – символ комплекно-сопряженной величины; Эs – энергиясигналаЭs =|| S ||2 =∞∫S2(t ) dt .(1.6)−∞Пространство L , образованное множеством сигналов с конечной нормой (энергией), называется пространством L2 . Если такиесигналы определены на интервале (0, T ) , то используем обозначение L2 (0, T ) или L2 (T ) , если определены на бесконечном интервале – то обозначение L2 ( −∞, ∞ ) или L2 (∞) .Пространство называется метрическим, если введен способ определения метрики – расстояния d ( S k , S n ) (или d k ,n ) между его10ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВдвумя точками, т.
е. между парой элементов S k , S n ∈ L . Метрика –неотрицательное число d k ,n , которое независимо от способа задания должно удовлетворять следующим аксиомам.1. d ( S k , S n ) = d ( S n , S k ) – симметричность метрики.2. d ( S k , S k ) = 0 при любых S k ∈ L .3. Для любого элемента S m ∈ L всегдаd ( Sk , Sn ) ≤ d ( Sk , Sm ) + d ( Sm , Sn ) .Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:d ( S k , S n ) =|| S k − S n || .(1.7)Кроме нормы и метрики вводится скалярное произведение:∞( Sk , Sn ) =∫ Sk (t )Sn (t )dt ,(1.8)−∞позволяющее найти угол между векторамиcos ψ k ,n =( Sk , Sn ).|| Sk || || S n ||(1.9)Скалярное произведение обладает свойствами:1) ( S k , S n ) ≥ 0 ;2) ( S k , S n ) = ( S n , S k ) ;3) (αS k , S n ) = α ( S k , S n ) , где α – вещественное число;4) ( S k + S n , S m ) = ( S k , S m ) + ( S n + S m ) .Линейное пространство со скалярным произведением называютунитарным или предгильбертовым.
Полное пространство с указанными свойствами называется вещественным гильбертовымпространством H .Справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского (иначе неравенство Шварца)| ( S k , S n ) | ≤ || S k || || S n || .(1.10)111.2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯДва сигнала S k (t ) и S n (t ) называются ортогональными, еслиих скалярное произведение, описываемое (1.8), равно нулю.
Приэтом ψ k ,n = 90o .Для комплексных сигналов можно определить комплексноегильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение∞( Sk , Sn ) =∫ Sk (t )Sn (t )dt ,( 1.8' )*−∞*такое, что ( S k , S n ) = ( S n , Sk ) .Некоторые аналогии между элементарными геометрическимипонятиями и соответствующими им понятиями в теории сигналовданы в таблице.В геометрииДлина ( l ) вектора S (модуль, норма):l =| S |=|| S ||=∑ Si2 ,iВ теории сигналовНорма сигнала S (t ) :∞∫S|| S (t ) ||=2(t )dt = Э s ,−∞где Si – координата вектора по i -й осигде Эs – энергия сигналаСкалярное произведение векторов S , Скалярное произведениеS (t ), U (t ) :U:( S ,U ) =| S | | U | cos(ϕs,u ) ,где ϕs ,u – угол между векторамиРасстояние ( d s ,uS, U :=∞( S (t ),U (t )) =∫ S (t )U (t )dt = Э s,u−∞Э s ,u – взаимная энергия сигналов, илиэнергия взаимодействия сигналов) между векторами Метрика (расстояние) между сигналамиS (t ), U (t ) :( ( S − U ), ( S − U ) ) =d s , u = | S − U |=сигналов∞|| S (t ) − U (t ) ||=∫ [ S (t ) − U (t )]2dt−∞∑ ( Si − U i )2iВектор единичной длины (орт) l :l=S|S|Нормированный сигнал:S (t )=|| S ( t ) ||S (t )∞∫S 2 ( t ) dt−∞Ортогональные векторы S , U :( S , U ) = 0 , ϕs ,u = 90oОртогональные сигналы S (t ), U (t ) :∞( S (t ), U (t )) =∫−∞S (t )U (t ) dt = 012ГЛАВА 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВОбобщенный ряд Фурье. Пусть имеется гильбертово пространство сигналов, определенных на отрезке времени (t1 , t2 ) конечном или бесконечном. Пусть также на этом отрезке задана бесконечная система (подмножество) функцийϕ0 (t ), ϕ1 (t ), ...., ϕn (t ), .... ,попарно ортогональныхt2⎧|| ϕn ||2 , k = n,⎪⎩ 0 , k ≠ n,( ϕk (t ), ϕn (t ) ) = ∫ ϕk (t )ϕn (t )dt = ⎪⎨t1t2|| ϕn || = ∫ ϕ2n (t )dt = Эϕ2где(1.11)(1.12)t1– квадрат нормы или энергия базисной функции ϕn (t ) .Говорят, что таким образом в гильбертовом пространстве сигналов задан ортогональный координатный базис, т. е.
система ортогональных базисных функций.Базисная функция ϕn (t ) , для которой квадрат нормы равен единице(ϕ2n)= 1 , называется нормированной, а вся система функ-ций {ϕn (t )} – ортонормированной или ортонормальной. В этомслучае говорят, что задан ортонормированный базис.Проецирование произвольного сигнала S (t ) ∈ H на оси координатного базиса называется разложением в обобщенный ряд Фурье.Это разложение имеет вид∞S (t ) = C0 ϕ0 (t ) + C1ϕ1 (t ) + ....Cn ϕn (t ) + .... = ∑ Cn ϕn (t ) .(1.13)n =0Коэффициенты Сn , представляющие собой проекции сигнала S (t )относительно выбранного базиса, определяются из соотношенияt2Cn = ( S (t ), ϕn (t ) ) = ∫ S (t )ϕn (t ) dtt1– для ортонормированных функций ϕn (t ) , или(1.14)131.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯCn =1|| ϕn ||2⋅ ( S (t ), ϕn (t ) ) =1|| ϕn ||2t2⋅ ∫ S (t )ϕn (t ) dt(1.14')t1– для ортогональных, но ненормированных функций ϕn (t ) .Произведение вида Cn ϕn (t ) , входящее в ряд (1.13), представляет собой спектральную составляющую сигнала S (t ) , а совокупность коэффициентов (проекций сигнала) {C0 ,.., Cn ,..} называетсяспектром сигнала. Графическое изображениеCn{C0 ,.., Cn ,..} в виде вертикальных отрезков,C1 Cназываемое спектральной диаграммой, даетCi2C0наглядное представление о спектре сигналаn (рис. 1.2).i0 1 2Суть спектрального анализа сигнала S (t )Рис. 1.2состоит в определении коэффициентов Cn(экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.14').На основе ряда (1.13) возможен синтез (аппроксимация) сигналов при фиксированном числе N рядаS (t ) = C0 ϕ 0 (t ) + ...
+ C N ϕ N (t ) =N∑ C n ϕ n (t ) .(1.15)n= 0При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важнымсвойством: при заданной системе базисных функций {ϕn (t )} ичисле слагаемых N он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибки ε , подкоторой понимается величинаt2t22N⎡⎤ε = ∫ ⎡⎣ S (t ) − S (t ) ⎤⎦ dt = ∫ ⎢ S (t ) − ∑ Cn ϕn (t ) ⎥ dt .n =0⎦t1t1 ⎣2(1.16)Ортогональная система называется полной, если увеличениемN можно сделать ε сколь угодно малой. Ряд (1.13) называется вэтом случае сходящимся в среднем.Относительная ошибка μ синтеза определяется по формулеμ = ε / Эs ,(1.17)где Э s – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно равная квадрату нормы сигнала [см.
формулу (1.6)].14ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВФормула (1.6) с учетом ряда (1.13) может быть записана:Эs =t2∞t1n =022∫ [ S (t )] dt = ∑ Cnϕn2,(1.18)а при использовании ортонормированной системы функций {ϕn (t )}∞Э s = ∑ Cn2 .n =0Очевидно, что средняя за период T = t2 − t1 мощность сигналаЭ1Pсp = s =Т Тt2∫ [ S (t )]t12dt =1 ∞∑ Cn ϕ nТ n =02.(1.19)Выражение вида (1.18) или (1.19) называется равенством Парсеваля.Выбор рациональной системы ортогональных функций. Онзависит от поставленной задачи.Так при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линейные цепи, наибольшее распространение получила система гармонических функций.
Во-первых, гармонические колебания в отличие от других сохраняют свою форму при прохождении через этицепи; изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Во-вторых,широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Представление сигналов в базисе гармонических функций будет рассмотрено в главе 2.Из множества других задач наиболее важной является задачаприближенного разложения сложных сигналов, при которой требуемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда.
Дляразложения непрерывных сигналов применяются полиномы ифункции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др. Системыэтих функций рассмотрены в [1, 3], а задачи приведены в [5]. Дляпредставления ступенчатых сигналов используются кусочнопостоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера.В последние годы широко применяют базисные функции типавейвлетов [31-34], которым специально посвящена глава 16.Ниже рассмотрены функции Уолша (ФУ), которые также получили широкое применение [14-16].Функции Уолша. Способ аналитического задания и нумерации(упорядочения) ФУ может быть различным [1]. Их можно сформировать, например, с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара1.2.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ15H N порядка N = 2n называется квадратная матрица размераN × N с элементами ±1 такая, чтоH1 = 1 , H 2 =H1 , H1H1 , − H1=HN /2, HN / 21, + 1,…, H N =.1, − 1HN /2, − HN / 2(1.20)ФУ, упорядоченная по Адамару ( had( n, T ) с номером n ), являетсяпоследовательностью прямоугольных импульсов с единичнымиамплитудами и полярностями, соответствующими знакам n -йстроки матрицы. Под длительностью подразумевается ( 1/ N )-я доля интервала ортогональности [0, T ], или при введении безразмерного времени θ = t / T , безразмерного интервала [0,1].Упорядочение по Уолшу характерно тем, что номер k функцииwal(k , θ) равен числу перемен знака на интервале ее существования (рис.
1.3).Основные свойства функций Уолша:• ФУ ортонормированные.• Перемножение двух ФУ дает также ФУwal(k , θ)wal(l , θ) = wal(m, θ) ,где m = k ⊕ l , ⊕ − символ поразрядного суммирования по модулюдва: 1 ⊕ 1 = 0 ⊕ 0 = 0 ; 1 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 = 1 .• Умножение ФУ самой на себя дает (как следует из предыдущего) ФУ с нулевым номером wal(0, θ) .• Умножение ФУ wal(k , θ) на wal(0, θ) не изменяет исходнуюфункцию.• Площадь ФУ на интервале ортогональности1⎧1, k = 0,k ≠ 0.∫ wal(k , θ)d θ = ⎨⎩0,0• Четным относительно середины интервала ( θ = 0.5 ) функциям соответствуют четные значения k и наоборот.• ФУ обладают свойством симметрии, проявляющимся в том,что все выводы относительно k справедливы также относительноθ и др.16ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВwal ( k ,и )had( k ,и)001821344651461072839111015117125131314915010 .5Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
