Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В ряде постановок За!Тани ',::;"; вводятся ограничения на допустимые у, равлепия, например в форме ) и, ! О ( ( с„с, = сопз1; Г= — 1,т 3.2. СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ПРИ ЖЕСТКО ЗАДАННОЙ СТРУКТУРЕ В принеденных вариантах задачи АКР мы предполага':, ",.' ли, что синтезу подлежит алгоритм УУ, огределяюший его структуру в параметры Однако встречаются ситуации, в ьоторьх проекоировщпк уже Гплбрал из каких-то сооб рзжений структуру управляющего устрой тва, но некоторые параметры в ее составе может изменять по своему " ' ";: усмотрению.
Задача сводится к выбору таких параметров, прн которых критерий качества дости'ает минимума. Для решения задаче необходимо устзногить зависимость критерия от варьируел ых пзрачстроп и затем нанти опта мальиье значения параметров Рассмотрим соотвстстзугащую процедуру прнменителш<о к о:пюмер!,*ому стационарному ОУ, включеяному в контур сисгемы управления так, как показано па рпс 2.6 Пусть объект описывается уравнениями У(!)=АУ(Г)+Ви(Т)! 2(!)=С'У(!), (38) где В н С -. и-мерные векторы (;:~о ", Управляющее устройство описывается передаточнои функцией йтт(з, Д), в составе которой Д вЂ” вектор варьн руемых параметров Критерий качества — ~ (Со !!)+ г л !!)1Й! о (!) — х(!) з [!) д ш О! г ) 0 ! 2,~ о (3.9) Ншбхолпмо так вь!брать параметры Д, смобы выполня лось ус ~овне 7 = ш)п.
(330) о При зт1 м мы предполагаем, ч:о ззллкпутзя система устойчива, а интеграл (3.9) сходится Зо !!5 'г л'.(] ., ) М(5] 1 — з (. )счгЬ !'-" (з) е' дз /к Т гда в соответствии с определениеы прямого преоб. Лапласа ~ с(!) е-'!!(!.=--з( — з), то приходим к з Так как разования 11б Установим прел!де всего зависимость критерия / от параьщтра Д. С этой целью введем в расслютренпе переда то щу!о функцию ОУ, для чего (38) преобразуем ю Л к лас', прп ну.
евых начальных условиях. В конплексиоп облас!н уравн!.ннс прнобретаст вид (зЕ--А) у(з) ---Вп(з), з(з): —.С'у(з), 1., е Е гдппп !нзя мгтр!ща р:!српостя л; У(з), и(з), а(з) соо*встстнуюсцие н ображсиня. Выркзпв н.!;ерво;о уравяенпя У(т) == (зŠ— А) 'Ви(з) и ! оде!авив зту фупкцн1о во втор е уравнение, запишем передаточную функцию объскза йт (з) =г(з)/и(з)— С (.Е А) В Передаточные ф]нкции управля:ощего 'угтройства !Ут,(з,Д) и объекта !Ут„(з) позволяют связать из бра кения е(з), и(з) с изображенном входного сшъз !а х(з) В с пяетствин го структурноп схемой систек" ы (рпс.
2.6) инеем р (т) х( ) (! + Л! (3, Д) (Рр(5)]: а (5)— = х,( ) !!' (з, Д), ]1 ! йх, (з, Д) й','(з)]. (3.11) Таз как х(з), ]Р, (з, Д), !Р', (з) —. известные дробно-ра- цнонасьные функции то е(з), и(з) также известные дробно рацнональиь е функция, и пх можно выразить соот- пош:пнямь ! (з) --й!,(з)/М(з), п(з)-:=.]У (з)/М(з), в соста- ве которых !т,.(з), хг„(з], Л((з) некоторые полинол1ы по з, зависяпз.ю от коч опснтов вектора Д На основании обрат- ного преобра.!оп:! ня Лапа,!са прп нулевой абсцнссе абсо спом1ой сходит ости имеем ' „,„, 1. следующей форлуле Ларсеааля з" (!)!й - ~ е(з).. ( — )дз 1 2-,.! з 'О ,ч к()ч( ] ;й ~ л!(,]лц-:] '' ('1 12!) По аналогии 1, и,(:)Ч ( —..] (3 !3] М( ]М( — ) Интегралы (3.12) и (3. !3) вычисляются с помощью методов теории функции комплексного переменного и выра жаются через коэффициенты полиномов д!,(ч), Ф.
(з) и М(з). Покажем это на примере интеграла (312). Пусть М(5) =юччзз+гп!3' !-1- ... л!р! !У;(з)/т, .( — -3) — -йгз'г* " 1 фа!з р — "+ ... +Ер ., тогда ( 1]Р"! .. ' ((] д! в тде ! "и Зы б.=. (,...,,', ,'; б,, т,, !п О(!!(О; д> р! 1Зы Щ...З, (3.14) определитель и его элементы Определитель !!' получается из определителя б заменой элементов пеРвого стг лбЦа вели шнал1н йм 8,, йр Аналогично берется интеграл (3,13). Заметим, что длн р~7 соотношения (3!4) в раскрытой форме приводятск в большинстве книг по теории управления Использование соотношения (3.14) позволяет вы ис"зю лить критерий (3,9) как функцию параметров Д„т.
е установить зависимость У(Д) Оптнмальнь1с параметры Д, на которых выполняется условие (3.10], прн отсутст вин ограничений на Д находятся из уравнения чт д/(Д)/дД=.О. Соответствующие методы поил.а обсу!кда ются в гл. 6 Следует в*мнить, что опю!мг !ьные параметры. найденные изложенным выше снос бом, в р~де случаев могут привести к нарушению услов:1й ус.о!шив!.стп, т с соотает етвовать неустойчивоп системс. Разумеется. ас1пзльзовать йр такие зна !ения параметров ье.щш сйнл;1сски пм сватает ~у';!;.'- ствует бесконечно большое ю!ач янь критерия качества.
117 То обстоятельство, что по результатам расчета параметрам, не обеспечнваюцьим устойчивость, соответствует мннима, шп.е знл !ение критерия начсствл. объясняется слг дуюгппм: при выводе соотношения (3.14) предполагаетсн, нло особые точки полннома М(с) левые, т. е. система устоюнвн Если жс система неустойчива, то знс чсннг критерия качества, формально найденное из соотношения (3!4), окажется недействительным. В подобных ситуациях гптпмлльные значения параметр:в еле.уст искать тгри до полнитсльном агрппп пни!и, вытекающем из условия при наплсжпостп параметр: в г бзастн усг нчивостп ПРимеР 81. ПУ«ть Втт(з)-:Д:Т, (Тзч-1)! !Р,(з! Ддз! з(т) ..!Рн врвтернн неч:.
вв представлен н ф~р~е (3 9). Требуетсп «взтн опте. ыльное знзсмннс гзрвме:рв Т В деевом ыугве з(Ф:.! 'з н в со о внн с (Э ! !) изводим е(з) — (Тз ! !)1(уезд-з Ьззд Т); п(з) :тгтг, (Тзг з 1-«Л,Т! Следовательно, М(з) тзз-Ьзфз«атгг У„(з)= :Тз., 1; Дг,.(з) -!ЭТ С помон!во (314) вычвслнем ~ з,!)ш — 1! 4. В„д т )!(Весе 71; ~ н(цш=.л т (йд,) о е зто позволгет т.гмовгпь У(Т) (ггпт г дГПТ ! д (!«,ТП '(дд). И*УРвв.
нег нв дт (Тг дТ (гд, дзв — д (Зтг ) )т(44 ) О нвзоднм оптнмвльное ЗГГВ«ЕПМ гвРВМЕтРВ Т Т -(д Дт(Г!Мз-де ))Ю Вс.н уп ввлнюшге устройство вмбрвть в форме безынерцнонвого внснв (В'(з) -. с ( ( , '„1 н ванги оптнмвльнов шенине возффнцнентв увале ннн, то нь знал зныноа схеме несложно уствновнть д =!Тдсг з з. смнтиз пыуляторов матоддмн вапидциоииого мсчнслвиия П).сть в условиях предыдущей задачи передаточяая функция УУ ве задана.
Требуется ее найти так, чтобы критерий качества (3.9) постиг наименьшего значения, а система управления в целом оказалась г[пгзически осуществимой При решении задачи будем полагать, что объект упрангенпя оказывается м" пимально фазовым, т е.
передаточная функция 1Г (з) имеет нули и полюсы в:!своп полуплоскостн (левые полюсы). а изображение х(з) входного сягнала нс имеет полюсов в правой полуплоскости (правые полюсы) План решения задачи таков. Сначала свяжем критерий качества с передаточной функцией замкнутой системы Ф„(з).
Затем в соответствии с вариа- 118 ';: циоиными принципами найдем такую физически осуществимую функцию Ф„(з), на которой критерий 7 достигает т"*.1"*;,.':;: 'минимума. Наконец, воспользовавшись связью мсткду 11! ° (5) н (б г (3), Уйг, (з) „Вычвстгнм ф) п киню (з у (3) Передаточная функция замкнутой системы Ф.„(з) —.(угт(з) (уг,.(з)/[! ! (Рз(з) йт (з)).
(3 15) С учком этого определении перепишем соотноше япя (3 11) е(з) =х(з) [1 цг,„(з)) ! и(з) =-х(з) Ф, (з)тг(«',(з) (3 16) "'.::', и в соответствии с формулой Парсеваля представим !- — ()х( )[д(! -4.„(«))(! — Ф,„( — В+ г — г о +ТФ,„'(з)Ф,„( — з),,(йт.(з))р.( -з))[ою (3 !7) Это соотяошение связывает критернй качества 7 с пере- дато шой функцией Фзз(з), подлежащен определению. Функция Фзз(з) должка минимизировать величину 7 и соответствовать условиям физическов осуществцмости тз Е, НМДТЬ. Дйййдй„ЛфВ(дй ПОЛЮСЫ.
СООтВЕтетВУЮЩИй ПОИСК осуществляется" варнацйоййймй средствами, подобными изложенным в гл. !. Там показано, что необходимое условие минимума функционала своднтся к равенству нулю его первой вариации. Реализован это условие применительно к функционалу (3.17), получим аналог уравнения Эилера для исследуемой ситуации. ,Так.квк фуикцианэт(Ы со структурой (3.17) достатйчно типичны для мдогих задач 'управлеггия, СаответствУюший.РЦзУльтат 'удобцо обабщ(тт~ ' 'в 'форме творблты.алтимизацццй длн того чтобы функцио.
нал (317) на функции г)з,н[з), удовлетворяющег( условя ям" физггческой!' осуществимости, достигал экстремалы!огб значения, необходимо и достаточно, чтобы частная произ водная от подьцпегральной функции по Ф,,( з) имеяа талька правые подюйя. Воспользовавшись этой теоремой„ й)ЙМИффзрейцнруем подынтегральное выражение по Фм( з) и занишем х(з]х(--з) [ -д(1 Ф„(з))+гф,зХ Х(1)/йт (з) йз,(--з))[ -.
6( — з), (313) где 0( з) — некоторая произвольная функция, имегащая цраные гголюсы ! 19 '1тобы (3.13) выполнялось, та часть слева, которнй ггмеет правые пол1осы, должна равняться В( — 3), а остав шаяся часть, имеющая левые полюсы, должна равняться нулю Вылелим соответствующие части, предстанив выра. жение слева в форме суммы двух слагаемых с указанными свонстнами, С атон це: ью (3 18) сволим к нилу (х( ) 97. (11] (Ф„(л)(2 )У/о($) йт,(-.
з)+г)— — дйго (з) )р„( — я)] = 6( — з) Ит„( — з) х( — з), )(алас, воспользовавшись свойством четности, прел- ставим ЕЦ:.(3?)У.( 3)+,=Ч/(,)Чг( Б), (3.19) где 'р(т) — сомно китель, зависящий от (+з) п имеющяй зевь:е особьое точки (нули н пол1осы); 'Р(- -з) —. сомножитель, зависящий от ( —.3) и имеющий правые особые точки. 1!слобо ое представление, выполняемое относительно четЙйк дробно рациональных функций, называют 4акторооза- 1!асп. В результате, факторизации получаем - я.,.!)вткуда следует нскомое решение 1Я,(о) )Ч ( )1Я,(--о)] х(о)Ч() ] т( — о) 1,' (;1 о2) нмеоопгее только левые по.11асы, т е.
соответствуюптне ус ц ловиям физической осугцестнпмости системы Прн использовании теоремы оптимизации следует иметь а виду, что в ряде случаев функции х(з), (Р',,(з) могут иметь полюсы на мнимой оси При выполнении операций факторизации и расщепления зтн полосы ус. овно приоооо маются за левые, а ана.,оончные полюсы функций х( з), й";о( з] формально относятся к правым Вычисляя пере.гаточную функцию зямк.оутой системы, приступаем к завершз:ощему агапу решения зада ш, т е на основании (315) находим передаточную функцию управляющего устройства : (У„(з) —.
Фо, (з),'(Ух (з) [! — Фо,гт)]. Функция дх(з) йг,( -л)гг'!г(.-з) имеет как левые, так н щшаь.е по: юсы. Ее мон но црелставгмь в форме суммы двух слагаемых. тх(')я ( ° — ) )ох(о)1яо( -.о)! 1 !ох(о)Ю 1 —.)] ч"( — 4 ] ч'(- .о) )о ] ч"(- о) 1-. Эту„одерацию называют расц!йл талиям. Практически она сводцтсн к разложению функции (321) па злементарные слагаемые с последу1ощим групппрованием слагаемых с леяьоми п правыми полюсами. После ее проведения вырви епис (3 20) прпнилоает вид "И ф (з)ор(~) )ч'(')м (='1] !ех( )Р„' — о)] 3( — )ш,( —.«) Ч'(-:) (. х(- л)Т(- о) ' Так кзк функция справа имеет толы,о правые полюсы, зо пос.,еднее равенство справедливо, если та часть слева, котораи имеет левые полюсы, равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
