Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, — ' — Ф,„(з) Ч'(т) .. гк — '" — ' — ' о О. х(, ) . о,;х(л)Я'о( — )1 120 Пример 32. Пусп дзот мо со томюорт уолозяо ~ дяюм1о 3! но структура УУ ио оядоиз я яеобхедяма язаои оятямозьилю пере '.*",:::,.
лотюиую фуикцяю нго(о) Ддя формирования (322) осузгехтодяом фякоори ацию яо яряипипу (3,19) Яо' (. ') "- (1)хя °: Р ")1]](!Уод.— ! ) ( - )( еплсиие до принципу (3.21) я расщ оло ]о (1~чью- ! го)].=-А о+В!( огло — Рго), А — - !УЧ; В= Тоо кок со ооиолитеоь ! оо;тя сигея к аянряяеиив х(о) и поопм у о=-Π— яме я. юг,т: (.) =Ргчто я оо (3.22) с о:уст Ф (о) Ьо)гя, (Р Зго -, '! гг, Ц Н ~ сяозсвии (3.23) ок и'юге:ляо иах .дом йгл(о) =!'и,* . Т, оям ебр оом, ос..и пр екоирод*;як з прим ро 3.1 прз )!Л 'яияьиа «угадало структуру УУ, та пришол бм к ея ямодьоому ремо инЮ оодзчи В заключение отметим, что решено.е задачи синтеза оптилоальпон системы расслоатрпвали в частотпзи области гдто решение можно осущестзпть п во времгшшп обдаст~ используя изложепяь;й в $1 1 полхоо, Оцепить особенно 'стн применения 'вариационного метода во врелгеппйо об Ласти мозоно по примерам 1.9 п ! 10.
Более годробно со ,';"!,"'!!':,гл)зветствующие вопросы изложены, например, в 1!3, 22, 27] 121 хз, лнлпитичкскоя констпуияовлнив вигупятояов мгтодом динлмичяского пзогядммияовлния Рассмотрим решение задачи ЛКР в том виде, в котором ока была сформулнрована в 6 3 1. Из всех вариантов задачи остановимся на случае регулятора состояния (3.5). так как исследование остальных случаев мох(ст быть проведено аналогичными средствами н в значительной сте(,енп нспользует демонстрируемую ниже метолологию Рсшшше будем искать в терыннах динамического програьхмнрования, (, Основой рсшсг кя задач оптимального управления методом динамического программировання (сы.
6 1.2) является уравнсияе Бсллмзнай(1 67). Наличие пените;ратшнога члена в составе функционала (3 5) пс влияет иа структуру уравнения Гтслс(мана, если в составе (167) принять г яо(( ((. ' (Олг(~(~х(г(-';(ч т((. ч ((ю~, (324( где Π— полынтегральная функция из (35) Уравнение Беллмана (167) применительно к функционалу (3.5) и уравнению объекта (3.1) запишем так: — — =гшп ! --У'(Г) 0(!) У (!)+ — б' Г) йд)()(Г)+ д( !) 12 2 + — '5(У(Г) Г)(Л(!)У(Г)+В(1)и(Г)))(. (3.25) Техника поиска оптимального управления на основании (3.25) сохраняется а той же форме, что и при работе с (1 67). !Так как нз $/(Г) ограничении не наложена, оптима.
ьпое управление ищем нз условия равенства (Оч((а производной по ()(Г) от выражения, находящегося в фвгурнь(х скобках уравнения (3.25]: и (г)к(г)+ д 5(ук), г)В(!)...о ду Бла адара положительной определенности х(зтрица К(г) )не вырождена, пазтому оптимальное управление () (Г) .. (( ' (Г) В (!) ~ -- — 5 (У (Г), Г) 1 . (3.26) ".~~~!~'*;.!' Чтобы на?ыя функцию 5(у(1); 7), подставим (3.26) в г ,:.'~,,Кхт.:::"0(3,25) и по -учим уравнение типа Гамильтона якоби 'дд(У00 О ( д! 2 — 5)УО), Г) ВК) К '!7) В'(Г) ( — 5(У(!), Г) ( + 2 дт 1 дт +--- 5(у(г), г) л(!) у(г). (3.27) Решение зтого уравнения 5(У(Г), Г) при 1= — Т должно удовлетворять условию, следующему из (3.24)( 5(У(Т),т)- 05УПТ)РУ(тр ОВ2к) х Будем искать его в виде квалрзюшной формь( перемен г(йх состояния 5(У К), 1) = 0,5 Ут О) К (!) У (Г), (3 29) где К(1) — неизвестная симиетрнчная нестационзрная пдхп-матрица Бслв можно найти такую матрицу К(Г), при когорон функция (3.29) обращает (3.2?) в тождество, то структур гй решения задались удачно.
Покажем, что такая матрица существует. так ьак д5г(дг= — (1/2)У'(г) К(г)У(г), д5?дУ=У'(Г) К((), то, подставив (3.29) в (327) и опустив для упрощения аргумент 1, получим 05У'КУ==-05У" Г)У вЂ” 05У'КВК 'В" КУ 1 У'КАУ Последнее слагаемое кзк скалярную величину предстаним следующей суммой: у'КАу=0,5у(КАу4 +0,5У(А'КУ. Тогда полученное соотношение преобразует ся к виду 05 У" (К + 0 — К В Р( ' В" К вЂ”, .К А -! . Л' К)У = О Прп шабых состояниях у(!) зто соотношение выполняется, если то.(,ько нулю равняется выражсннс в скобках, .(;(".:: 'т, е. если К-.= КЛ Л К+КВГ( 'В К- О.
(330) В результа~е мы получили нелинейное квадратичное , отяосительно матрицы К(!) дифферещсиальное уран:(ение, '",",'" решением которого является искомая матрица К(1) Из 122 сопостазлспия (3.29) с (326) видно, что решение следуаг искать при грани шон услг~впи К(Т! — Г (ЗхВ ) Уравнении (3 30) известно под назаанием нигричного уравненнгг Рак«ага.:.«1етрудно убедиться, ~то решснис этого уравнения прп грани шом условия (3 3!) действительно является спммстричной матрнпей С атой целью транспонируем обе ча,пн уравнения (3 ЗО) К"-- .Л'К' К'Л: К'ВК'В'К' .
0'. Последнее ураииенис и силу симметричности матрицы Г должно решаться при аытека|ощем из (3,31) граничном ус юиии К'(Т) -Г. Отсюда пиано, что уравнения и тра. шшпые ус, опия для матриц К и К" ири симметричнои ма;ринг О по; косм ю совпалают. Поэтому К(1)=-К:(1), т. с. К(г) - симметричная чатрпца. Матричгп е уравнение (3.30) по существу предо авлист систему из 0,5л(л+!) гкалярных не..писаных лифференциальных уравнений пер аого порядка с псоеменными коэфгЬициеитами.
Заш:шем окопчательаый алгг ритм работы оптичально~о управ ~нюше~о устройства и услопнях изучаемой задача: 11(У) == К (7) В'(г) к(1) У(!). (3.32) Этолгу алгоритму соотиетстауеч заман)и ая система с отрицазелыгои образиной связью Оптимальная спстсма относительно вектора состояния является линейной. Перемеииыи во иремспа коэффициент передачи определнется наряду с известиымп матрицами К(1), В(1) решснием матркчного ураиненкя Риккати (330) при условии (З.З!). Г!олучегшое решение задачи распространяется на ситуаишо (3 7), которои соответствует линейныи стациопарныи объект с ураиишиюм (3.6). Котла Г =-О, уравнение Риккати репи .: я при грашгчно«г условии К(Т) = — 0 В работах Калмань до«азыпаетсн, что и этом случае д:я стационара ах объектна роше:и с уравнения Ри««ати К(1) при 7' са имеет предел 1|ш К(7') —..-К прп Т вЂ” «оо, гле К вЂ”.
постоянная симметричная по: ожпте. ьно опрслеленная матрица. Эта матрица опреде;нет«я из ураанснпн Риккати, в котором следует но,южш:ь К.==О, зогда нелинейное ма рп пюе алгебраическое уравнеш1е принимает вид (3.33) КЛ -!. Л' К КВ)7 'В!К О - О Т)о аналогии с (3 32) оптималы ое упразлсияе будит ъ ь н О(у) -- )1 'В'Ку(1). (З.З !) Следовательно, в эточ случае оптимальная с:ютеыа ; «1,,оказыаастся стационарной, ликсаиой и в замкнутом состо янин опись:вается иытекак~шцьг из (3 6) н (3.31) уравнс нпем (3.35) ХК)- (А ВК В К)УК) котг,рому с: атвсгствует асимпташчески устойчивая сиота ма, удоилеаворяющая услоиво у(!) — «О прн à — «со.
денствя тельна, чтобы снс~ема би а усгойчяна, собственн с числа матрицы А — ВК 'В'К дол>англ иметь отриггатсльг~ыс вещс стиенные частя. Гслн олго ь н более собг твен гых зпачс пий эзоп матрицы ямсют пшожптс.,ьные вещественные части, то некоторые из ко«п онент ае«тора состояния у(Г) не будут стрем;пъся « пу.по, пследстпие чсго критерии качества (3 7) пря Г-«оо стремится к бес«она ности П~ этому матрица К аолжна быть такой, чтобы собственные числа матрицы А-.ВК. 'В К оказались отрпцательныма Пря этом некоторые нз собственных чисел магри гы А мо:ут быть и положнтельнымн, т. е. объект упраилсния можит бв..ь неустоичня, 1!о о:тимальная зам«путая сттсма тем не менее обязательно и ажется устои ~иаоп Определяемое общим соотношением (329) минимать.
пое зпачание критерия качества 3,«„:,! У" (О) КУ;(О), где у(0) — начальное состояние объекта управления Пр ~ постаповкс и рсшенип залача (3.6) я (3.7) ван ио иметь и инду, что обьскт управления, описываемый уравпеппсч (3 6), должен бы;ь полносзью упрзилясм (см виедешгс), жо гарантирует коне шость крит.рня качества Есш: объект неуправляем, то из-за бесконечности пптсрва ха управлении критсрп,'» ачсства мо:кет обратиться а „,«з.",".-:, бсскоиечиосзь прп . гоб:и управлении (осогецно при исус «у",:;' 'тоичииых обье«тзл) и оптнчальное управление невозмож "".-;,';;"::::по отан ппь от иг«п нтшлыюго В то же время для задач г коночным прсыспетг Т управлясмость пе япляется обяза :~~,'",:„.'тольпюгц так ьш вклад неуправляемых компсвепт ясктора М«~!«;.'.,':, сос~аяшия У(1) гг критсршг ьачсстаа (3 5) при ьоиечнол1 Т (2з Остановимся на метолпке рещеиня уравнения Рнккатп (3.30).
Так кнк последнее нелинейно, то аналитически ре щается в редких случаях Обычно .зто делщоз Оа 31)М в :обращщм временна, на щная с момента Т и полагая К(Т) ==Г Для этого прнб ~пженгзо ггрпггимаюг К(()— СН (КГ!М Д) К(())/б, ПО ПОЗВО яЕт ПРЕдотсзнн~о К П . Д) .. К (()+ б ( К(4) Д 0) - - Д 0) К ))- К(4) В(4)[( (() В (П К(() ) О(()).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
