Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Задавщвсь малым приращением б;.0 и приняв К(Т) = ==Г, по атон форыуле постепенно вычислгггот К(ДП начав с 4==-7. Так как уравнение Риккати яе содержит вектор состояния У(г), то его рожают еще до начала работы системы. Поэтоыу процесс поиска оптгщгального алгоритма работы управ-яющсго устройства не связан с рабочим реукимоч работы системы. Пример ЗЗ. Раг'мотром задачу одноо ной агпимальиой стабилизма;и ь гм чы ал а' ~ рата: „онщ г, ю мах заика при нигегральн;ыг ~ нм ржн и'з кр» гггчг за ~ег' аа [24) !!у ть зн) уз ь откюнгння а,эрата ст за!за ~ного направления; н — нмгряженне, подаваемое на дгнгатель с расположениыы на ег валу маховиком.
Тогла ураеяенне, опн ьзвагощ е поведаны когмн некого аппарата отнасятельна оси ста. гьлиза.,ви, имеет вид з-, '«з=Ьн, где а, Ь вЂ” некоторые величины, опре. дел емье с помощью параметров гигтемы стабилизанин Приняв у,=-з, заи: щсм зто уравнение э форме Кащн у,. Ьы ут= — айвз Ьн. На у р ю. . *нее и о рющ язон не налажены 41еобхгдвмг. смн:и акое уор:пление л(у„уз), при кщором критерий качества у ~ (, у а ,Г„н я г чз),44 о где 4., ч„г — положительные константы, постигает минимума. Из сопоставления обозначений вспользованн ~х в (3 6), (3.7) и За ~гюй задаче, слелует Магрпца веге ~ых коэффиниентов 126 Осуществив перемножение матриц, запи~гзем уравнение (3.33) з " форме 1.
О Ь ['(О Это катри" ное уравнение выполняется, если нулю раасн кажлый Элемент суммарной матрицы в левой части уравнения. В результа-е прихолнм к ~стырен алгебрзаче кнм урззнениям, два нэ которых ока зываются одннаковымн. Опу кая одна из кнх, иолучаем систему из трех уравнений — г 'Ь'Ье тех=о; 2йы .
2йза — г 'Ийтз 4 о,=о; ! ггт — — 'Ь*Ь Ь = О когоран погледовачельно легко разреызетг» относительно трех иска ьк мых величин Ь з, йм, йн Дла обеспечеииа Устойчивости беРУт тощко УУ ~ ( ОУ 'й' Ь Уг Г ~рг "Й р+н р .4 ! ! гг г ,:фх !::.ф '--'ф Рис ЗЛ положягельиые «орик Оптимальное управление что г..ехгуез нз (334) и(у.. у ) —:"-(ЬЬ)(йнг, ~ Ьмуз) Этому алг ритму соответствует замкнутая игтема с отрипз ель пой сора~ной гвязью, на браженная яа рас 3 Н Прн положизельных Ьз, Ьз, имена ущойчивз. Дпффереищальвое уравнение .нс емы [р'+ 'Г" ь(атйгг-'Ьы)Р. Ь'г УЫ )У, ,— О Дла Устойчивости лннезн н системы .!чтч" вторсго порядка необхо има н достаточна положительаог*ь кочффи '-фст"* виснзов хагактернстгжоког: уравяенмя, что в данном случае выпол .'ЗЕР Пример 34.
Ражим методом дннамн~егксго щгграммг~р юзки» за Ьнчу, кесл да'аи ~ую л примере 32 варнащкннычн «гед таама так 'аг[:".*",:0( КаК Э Зтсй ЗаДаЧЕ КРижРнй КаЧЫпеа Зван.ке От З(Г) Кбф -У(Г), тО 027 удащга урчявенне объекта переписать так, *гтобм вмкодам объекте »лумнгз в»лнчннз е(») Врн к(г).-г(г! имеем е(г)=.— у(г) н, следа. гз ег»ьвг *ремне»юс:р»:ннннг> внл еРР - "Ь»»(Г) Пг>еле>гуюшее реп»е пве»ллеч«а >»>гас~вен»н ао схеме (36), (37), (333>, (334), ззменн».
прем.зркгель» . в*к»ср У на ка:нр е н приняв А. О; К== —.Ь; Π— О, к "», К=> С»к>е з (333) вмрожлаетсн в елн:ктвенное снзлнрнос трзчненне Ь'„Ь» ' О.-.О, нз которого,лслует Ь,, = Ь ' 1' О Оптнмю.,н г гпгм,»мше неаосредсгвеюю и лучаетсн нз (334): о =1»о г» чг»»авпздзс«уке н вестнмм нзм результатам. з.з. анлпитичкскои конструирозаниа регуляторов по принципу максимума Рассмотрим решские зачачн (3.1) и (3,5) с помощью принципа максимума Понтря.ина В соотиетстник с обшей идеологнен метала поиск решения начинаем с состзвлення функции Гамильтона Однако структура фуякционала (3.5), яключающего терминальное слагаемое, отличается от структуры функппопала (1.45), подвергавшегося общему нсследоваюпо Пок>жеьг, что функционал (35) можно снести к инте-,рцсьной форме (!.45). С это!! целью введем новую переменную р, (!) - О 5Ъ"' (О Гу (!) + 0 5 ~ [у'(Ь) 0 (г) у(!) + +(Р(Ь))((Г) О(Ь))г(!.
(3.36) удовлетворюощую условиго у, (7) =-.У. Пролифференцируем эту функцшо по Г. Так как (У'Ь)ГУВ)) ЗЬ(!'ГУ(Ь)-[-Уг(Г)ГУ(Г) то получим дифференциальное уравнение !)а(!) =.-0,5(У»ГУ+У ГУ+>"ОТ+О ВО), подчиненное вытекающему из определения функции уе(Г) начальному услонию уь(0) —.-0,5У'(О) ГУ(0), где У(0) предполагающееся взвестным по условиям задачи начальное состсяш:е объекта. Выразив произноднуго У через правую чгсть уравнения (3.1), получим уравнение Рс(!) =-.05 [(АУ Г ВО) 'ГУ-г ' У'Г(АУ 4 ВО) лг У»ОУ !. !!'К!)) . (3.37) Псремеинян уа, определяемая этим уравнением, позвоу уут>г.' лш:т представить 0»У (О) ГУ(О) -[ 05 ~ [ АУ ВО)" ГУ, У Г (ЛУ -, Ви»+ .; У»0>:, О'3 ) пд Постоянное сл>»~ асс»ое справа, не зааискпгсе от управлегия я текущего саста>»»п~н ОУ, ке делает зто аырл.кение принцнпиа ~и>го гпличающпмся ог (145), н задача АКР, таким обрлзот>.
сиошшся к обшеи .»роблемс оптпмал,нгно управлении. Итак, (о +2).мерное урзнненис модифицированного ОУ (1.75) а данном случае вкл»очаег в себя уравнеякя (3.37), (3 1) и (!.70), которым соотнетстну»ог известные начальные зна гсюш пор'чеш»ых у: (О), У(0), 0 соответственно. Функцию Гамм,ь»она (1 85) удобно записать так: 7! (УО) Р'г) О(!!)»-- г> * .Р.Р» >р . 7> р (3 38) г»ш р — (Ре, Р "Р»».»)', Р--(Р., Рь".,Р )' тм '!' мычг правые части ураэпепюг (3.37), (31), (170) соответстаенно Раскрывая солар>к»> г»»е этих правых частей, цсреписываем (3.38): Н - Р, ",5[»АУ-! В!1,"ГУ . Р У'Г'(А У -,'. ВО) ', У'ОУ > - О')( О[ 1- Р" А Г -,- В О! ' ', Г> с 0) гдс А, В, О,  — мл:рицы, являюгцнсся ф»ннг;нами переменноп В», я соответствии со смыслопыч ам»а »сгг>гст> этой переменной Так как на управ.* сине О!!) ограничений не налажен»ь оптимальное >прав.
синг ищем из условия д)(гс>О»: .О, которос з разнерпутоп форне имеет иид Рг(О,ЗВ'Гу+0,5В»ГУ+й1))-', В" Р— О. (340) Магри>И )( пг ю> »тс ыо о> регелшш поз о>у с>шест вуе обр,>тная матрица В', гозноля»ошая таь записать реше»шс уравнения (3.40) О!Г) — )( '(В, е г! В' (р, . >):Р, ' !!) Р(!»)» Г у(Г)! (3 41) Итог>ы иск>»очпт» пз функции В(!) геремсннью Ра(!), 9 3234 >29 Р(1), составляем систему сопряженных уравнений (!.90): ,() О,/(1) В рамках праведсннаи ранее классификации задач оптиччалыижо управления аналитическое конструирование соответглвует задаче с фиксированныч вр; пенсы управления Т и своболпым правым концом траектории, так ьак а (Т) ограничении нет.
Поэтому загисапная спщсма сопря»,сивых уравнений (см 4 1 3) дол,.иа ре:.~а ься при грагчп чных ус. азиях рч(Т)...1; р (7) —.О, ч-=.1,л+! Им пз первого уравнения соотвч -с~вуе рс(1) — - ! Фучч!щня р .„(1) в составе оптпмэлыюго уп!чзплсгчч~я ()(1) ие с,зари» тсяя Так как ч)„,,--1 и дф„., ду.—.й, то р...,(1) нс ичолпт и в правые части сгпря».снных урзв~!сшчи Помаччу какая-лч бо необхопцмость в понскг этап переменной «тпадает п послелксе уравнение в составе сопри:кениой сычемы мо» !кч опустить В результате сопряженная сич чена ограничивается уравнениями /ч, (1) д'ь, дК ~, р д,'~, ОЮ г .1, л.
илн в матрнчио-векторн: ~ фо; ччс Р(1) = (дчА/ду)' - (дч!г.'ду)'Р. В ссчответствни с выра кенпями ччравьч часчеп уравпсщ.й (3 37), (3.!) !дф дуу -А'ГХ ГАХ.; Г В В Р О ты! дЧ" ау — Л, и сопряженная свстеча; р, :иимеет о~ апча ге пиптй опл Р д) .. А' (1Ч Г вЂ” ..'. Г А '!1; 0 гг,') Ъ (г ! Л:К!РО) . ГВ(1!1.111 !ч 42) При рг(1) =-.- — ! опгимзльиччс )вравленис описывается так: ()(1)- В ',1) В П(Р(1) ГХ(11 (3 43) !за ;,'ф~ф~пьег(т)ьчы заменили ар.умеит д„, па 1, так кз~ неабхалп 4=.емч)(рти. в специальной переменной В„; для обозна сипя ',.ч,'вчттономнаго аргумента 1 в пыра копиях (3 5), (3 1) отпз .„:рзгв В.
связи г отсутствием персченна ~ р,, в соочгошенкях „".434!), (3 42). Несчатно пг казать, ~та фун ция (343) со "г„ответствует максим)цу гзмилыапнапа (3 39). Для зтого 'в(анелям вторую производную д"'Н/д()ч 1)з (3 39) при 'ГВ='- ! следует дч/1/д()т=. К. Так как й па. ожитслып 'Определенная мачр~ ца, ча Й, а следовательно, и да///д()з - ачрицательно опрсзелещчзя матрица, полому ...ив (343) функция (3 39) дччст ~гает паиболыпего зпичения Теперь необхочпччо совместно регпитч, уравнения (3 !), (3:42), (3,43) Этз обьслинснпзг сьчсчеч(п содср» ит 2л 'д!чффс!чеппччальныч урзвнщащ .ервого порядка, и лля ее решшчпя пеабхглииа ичип: та~ ае а,е ко..ичество гранич иых условий п псчаг ьпых услов«п Х(О) лля вектора со стояния Х(1) и гч ко~чг и!ых зна ~ен!ш Р(Т): — О вспомога тельяога ве: тора Р(1) Почггчччу вознякаюпц;я дв)хточе иаи краевая задача, снадяпчаяся к решению системы (3.!), (3;42) и (3.43), несмотря нз се с ~ожч!ость, иринччипиальпа разрешима.
Еслчч реп;епис кзк-либо осущсщ вить, то на! дем овтпмащщае управчепис ()(1) ьаь функ шю времени, катароиу соатветств!еч разомкнутая аптпчшльная система Нашей лш щчалпоп пошла было построение оптимальной . вазгииутой системы, паюаму следует поиск вести нижн - цугеы Саччт!ччччпйччгчя (3.1), (3.42), (3.43) являются линейными по шчреиеиныгв Х(1), ()(1), Р(1). Л(о»!но прсгполажпть, что и мсчктьу, перемсншгхш Р(1) н х(1) сущесчв!ет лпнс!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
