Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 14
Текст из файла (страница 14)
н пм голос э*лс ин функний (199) в (1,94). если у сс ь, що,лзгасмге Р.(Аз!)А(!)У(А) в со тзве П 99) сну~стене нзч щ авнснпюе от и Длн прож во. ьпого сл ччя дн; кр свого упрэвлепия и!иннин чзк:ямт ~в нс являет я н нещ:хслитгым, )пг дсс;эл:ным условием о.гтимв ..«г гн Од~ э о щн*ззеллино лгдукмпее у:зе;:кзение, полюнае при есс, довгщви .щй .св:поо . н' льных нэ о~ стаж„ость учрзвленви '«)Ьх П .ь я<А) ..~ пч.:. нее !ср;гщснп 1".';е и!ч зтсх А 6 Н<Р(т 1) У<А), и(!))— ::.стгг<!)д!<(Р<6 ьП. У(:), п(с)щдг (А)(О, (1102) пе Ьг<') н щ ! ч. н т "щнк (псрн гсю ', ощпмзльнщо управл. .<. лп», че вьводюпее ус!вел .ае н. ооласт» п(гг)! Р(А ' !) — сопряжен нс„,г э втор, оп«юля.кы н (<с<) тря Р(Д) . (- 1, ! !', О) и я(г) .гг(е), У( ) .
ьсюгр со "гяня; опрщпл гтп и е (! 91) п <! 93) прн ~ шалыя ч о госнии У(О) и п<т)- г (с!. Сч.тол у-.ояпя (! 102) зное Пусть кэгпч то о!разом найдены оптнмзльеог управление и(А! и ос~вес ~вуюинс ему векторы У(г), Р(А-, 1). Далее, с ° тит~злыпч у зелен ~е н чюп.ло ь щ величину Ьг(!) То;дз фупкпия Г. гзгльгопа спрсд. чы нз, в,щпве«внн с (194), текле ютггнвт я, примы таь, по ян.геп.ые член "гго нз ~енсщгя 6 д не суттез и:и: нт ~ьныьс Вс и и(л) ° ~)трсгщя , 'очка аблаши П(гг), то о <У вЂ” О, ссьн же 6..!!..
О, тс и(!г) является граничном очной области Й(я) Вы гп девив о лямзлып.ж ди врезных управяе.*нй в соответствие с ирющня м т:а *имтмз в случзе еы. применима тя рспко является звали нпскн разрешим й зллз~ев Пример 1.!5. Воспользуемся дискрешыи прняпипом максимума лля реплшпщ и ичера 113 в прсдположгянв, что зта задача всследует.я г дн щетнчт~ вр испи Пр:»,ле всего гюзб щм дгюкрстный аналог зздачн С гссй кглькт прею лагзем, чтс отрезок !ш[0, 7[ разбит из йг учао,каь л,втсльн«.ью каждого т=.угу Нн о~дельном участке про:сесть. К.(!) и и(!) нензмвюп и рав"ы ях л а енитм в начале уча сг а Обсзяа им щ<!) = З,(Атю- р,(С), и(П и(!с ) .
м(тг)! у.,(!) :[р ()г -1) р,(!!)*т Тнлэ урэчн * е объ ктв приобретает вид уз(А- 1) — (1. гг<щ(А) - тгг<А) у,(0) р -. Криггьвй качо.тва Х ! =(т,'2) ~ [96(А)+п" (ь)[ Оп нчальное упрщле яе ищем по с (191) — (1!00! Для данной задз.«и А(А)-:1-.та; В(й)=:"с; У(А)— 93 !2асстютрпм частную задачу управ к*пня олиачсрным обьскто2 аГорого порядка, лопус..зюГцую зГГа?тттглтчьское решение Пусть уравцшшя ОУ имею, вид .-Т?,(!) ул — "д т?) Гт, ) |-тс |2.13) ш т е в со:остаГтлснин с (26) П.=2; П.,--О, а;2 — 1, О,Г.=-О; ат2 —.О; ш — -1; ЗГГ==О; !22 =-.!.
Нз обтпс;о вГ рзженпя (2 11) следует структура оп пмасьиого управ Гения п с'.'8п ! 7'<У!! <2 1'!) ) дд, прп этом уравнение Гамильтона 5<то бп (212) запи. *ем д - 'Т(У) с . -7'<У)) —.. 1. ' дт, дд, РеьГ ГГГ, (2.15) аналпткчесьп пе у.тается, поэтому ПГтступзют гледуГащпт образам Нз (2,!4) сселуст, чта оптпь ильное упрагтленпе ма!кот рашГятсся пап | с, илн --с, Ггюда уравнение (2 15) представим так: <2.! ) ,.Г'...Т(ут ! щш и, . '. Т(у))0, дп, <2.16| ! п,пг -, ск — Т(у)<0 дд, (..!'?) Эти уравнения можно решить анаТГиюшесьи (43). При с - ! получим решения д..я с.учаев (2.16) и (2 17) соат- з тслвснно: Т(у) 2) 0,5д„г Г тт, ',-ГГ„Т<у) д).уд ! <2.18| КаТГГдос пз с.
отпошшГкн (2 18) в юле п,ности нг являет- шГ решением уравнения (2 15) Одиаьс к цз)мсрнГ:и пространстве состояния с, временными уГ н у2 сущес вуют такы области зна цпня этих переме»иых, в к.ждой из ка». рых алло из выраа.енпи (2,18) будет представлять рс|ос лвпь качественная структура оптимального упрааленпя, а кснкретвые его показатели опрсделнГогся резулстатамн численного реГлення уравкення (2 12) ГГЛ ЭВст( 2 2 2 ОПТИМЕЛЬНОЕ УПРЕВЛЕНИЕ ОЕЬЕКТОМ ВТОРОГО ПОРЯПКЬ 1 Так как нторое с:агаемоа в (2 !9) всегда нсстрицатель..
иа„ соотношение (2.19) выполняется прн тех у, и уь кото, рые соатветствуГот условию (дь?)?02)др у,? 1.-0 плп ) 0,5д,' дт-мд,. (2."О) Рассьтотрттьт это условие для двух случаев де)О н у2( ~0. В первом, возвела обе часТи (2,20) в ~твалрат, прядем к нераненству ' — .ут +д,:ЦО, (2 2!) 2 ч Во втором случае (2.20) выполняется, если только выражение пол корнем неотрицатсльно, т. е ! — д"-- ТТ,~О. 2 (2.22) Этим двум неравенствам легко придать следуктщую ' форму: уГ+0,5уе' з!йп у2 (О, (2 23) и'в этом случае й=-)-1. Прн у| и уз, не удовлетворяющих (2.23), и=-.1; следовательно, и= — 1, если ус+0,5уее зтйп уЕ= 0 (2.24) Очевидно, обе области значений ут и уе разделены границей, уравнение которой описынается соотцошеТшем ус+0,5уте з!йн у,=О. (2.25) Неравенства (2.23) и (2 24) формируют окончательный алгоРитм рабаты оптттьГальной по йыстрозепствпю замкнутой системы," измеряют воличины у, и д2| вычисля!от функцию, у!+0 5уезз<йп уе; если она положите:ц,на, та принимают и=.— 1, если отрицательна, та и=+1 Затеи тттому алгоритму придают более компактную форму и (У) =- — сййп (уГ +0,бутс юйп у2) (2.26) !о! з '' ',;~' ~щ))йтийье уравнения (2.15), Найдем эти области.
Для апре дйлвнностн этот вопрос исследуем на второи функции (2';.18). Подставим эту функцшо з (2.15) и проанализируем, прн каких у; н у2 она удовльтворяст уравпетппо (2 15) Теперь уравнение (2 !5) можно переписать так Структура оптимальной системы приведена на рис. 2.4, где РЭ вЂ” релейпый элемент с указаннои характерно>икон, причем этот элемент является техвическои формой вычпс,.:ения функции юйп в соответствии с алгоритмом (2 26). Для более глубокого пони:сания протекаюсдпх в оптимальной системе процессов целесообразно изучить ее поведение в фавовой плоскости Разлелив егор!,е уравнение системы (2.13) на первое и проинтегрировав полученное соотношение, наидем уравнения фазовых траектория — у,> 2+2, .
Э>,2+в„(п .-.., '!); (2.27) у.,' 2+у, Ээ>,2-'-уи (и 1). (2.28) Рчс 2> где уш, у>с — па сальное положеннс пзобра>кающей точки в фазовой плес.' ости Введем в расслютренис фазовую плоскг сть уг, уэ (рпс. 2.5). Выделам в нси две облас.и, соотиегствующне и=л 1, и.= — — !. Граница между об,,астими, называемзя линэеи лереклгочеэил, задается соотношением т (2 25), которое можно переписать так: у, ф ро2=0 при у,ш0; д у", 2=0 при у, -О. (229) Уравнениям (2 29) в фазовой плоскостя соответствуют две парабольг, проходягцие через нача о к. орлццат, Слезя от границы, как следует пз (2 22), располагается область и. †.- ! 1, справа и -.
— 1 Пусть в начальный момент изображюощая точка находится, наприлсер, в области и=-с-1. Из начально о поло, кения 61, опа пон»ет по траектории (2,27) н в ..очке д попадет *, а линию переключения Здесь управление и=+1 меняется на упрзвлепг>еи.-.-- 1, иизображающзя точка должна двигаться по траектории (2.28), в урав- !02 1',::,"';;.,"*!*:щнйн которой под величинами уш, уэе следует понимать э>(.г::"„~!.'~>йпординаты точки А. Но координаты точки д, как то гки, .;; Ршналлежашей лпн> я переключения, удовлетворяют пер ному из условий (229) Следовательно, изображающая точка при и=- — 1 движется по траектории у,з>>2+у>=-.0.
Из сопоставления с (2.29) след!ет, по это есть уравнение 'линии переключения и, знач>п, нзображшощая точка па;:, 'чннает двигаться по линна переклю ге>сг>я, ! аг: по фазовои ; траектории, в начало ноординат. 1'.сли изобрагкающая точ.:-' ка в начальный момент на- А . >шдится в области и=.— 1, то анализ указывзет, что ова тоже перемещается в начало координат по двум траекториям, одной нз которых является линия переключения.
Таким образом, в ка. кую бы область фазовой Рис. 26 плоскости изображающая точка и начальный мол>еит пе попала, она вначале движется па фазовой траектории, соответствующей области, доходит по ней до линни перскл>очения, нз которой управление изменяет свой знак, и по линии переключения, как по фазовой траектория, движется в на!ало координат. Оптимальное управление состоит из двух участков (+ 1 и — 1 или †! и +!); при уь у>=0 оно должно быть отключено, чтобы не привести к выходу изображшощей точки нз начала координат, Решение зада. чн Средствами динамического программирования приводит к определению управления в фуякчсси гостояная, т. е.
со"' ответствует задаче синтеза оптимальной системы с обрат- ной связью. 2.2. ПРИНЦИП МАИСИМЭМА В ЗАДАЧВ О мАксимАльнОм выстРОдеиствии >.>л. оптямхльяоэ элмвлеяи«и ггоелмх ол и лнмлвхлхх Рассмотрим роше>ше задачи маг сима чг ного быстр: лей. сталя с помощью принципа максимума П: птрягииз применительно к >шнсйному объ*кту с уравпшисч (26) ьли (2.7) н с ограничш иямн (28). Огневой решения являются ранее установленные общи> ззкономерэостя грнпципа (1.86)г (1.85) и (1.90). В соотвгтстшш с (! 85) п (27) ' '.. составим функцию Гамилы;>на Предварительно заметим, !Оз что в силу стациопарнасти уравненпл (2.7) необходимость во ввеленип переменной у„+, со свойствачи (1 70) отпадает Нет также причин для введения переменной у со свойствами (1 71), тзк как в данном случае функцля О= и не зависит от управления О. Поэтому гамяльтапиап Р" (г) д У (П - Р'(г) ВО (П - Е рлг) и и (1)+ +~ ~ Р (1) Ь из (!).
(2.30) ! !. Так кзк от управлений и, (1), й = 1,л!, зависит только вторая группа слагаемых в состапе (2 30), принцчп максимума (186) приобретает следуюпгую ф!.рму. "1" ~~~ Р,(()Ьми„(Г) - пгзх, А .1, т. ! ! ь-.! (2.3! ) Это условие выполняется, если макснлгума достигает кагкдое из слагаемых па индексу Ь, вследствие чего (231) принимает зид па модул!о максимальна, а знак таков, что вся левая часть (2.32) палоигптельпз Отсюда слсдуе! (2.33) и (е) сиы!ип ~' р,(г)ь,г, й= 1, т. г;-! Снова пришли к уже известному результату о!,тималь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
