Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 9
Текст из файла (страница 9)
О, ! =-: ! ='. Т, [ д»1») д»( ) ш д»Р) и» д. ( ) [ (1.12) являющегося аналогом уравнения Эйлера в ситуации да У дб (!.11). Здесь про»»»водя»ае — н — - — — нахщгят лиф* д»»! ) 4» ди(»1 фсренцированисм па соответствующим переменным и(т), 44 у»А»н»ни» »якг»» — я»»осок» Пргстейшая вариаи»~он»»ая задача обобщается на случай, когда ладьи»тетра..ьная функция садерл нт производные высших порядков и функцпона» и»»ест вид [6[1, и(!), п(;), » (1)....
и'"'(!)[»(!. !! !6) Ф)яьппя 6 прсдполагасгся (и+2) раз лифферспцнруемай по всем аргументам, а граничные условия запань! в фор» с и(1 ) — --и»1 и11») —..и»,...,и" ''(1с) —.ии".'; и(Т) =:=иб и(Т) = — и,..., и '-",(Т)::.=и,"-и Решенне задачи 1===-гп»п ищется в классе й»(и) глалких 2л раз дифферспцируемых функций и(!). Методика получения нсабхолимого условия»пи»иь»у»»а остается пре»иней: находится первая вариация функционала и приравнивается,нул»о, что после ряда преобразовании приводит к урав» нени10 " ...".. Ж.+ " .~+„, й( 1. " '.~..
О, (117) ди Ш до и» до ' д!» ди!~ которое называется дразне исл Здлера — )у!гассана п представляет в общем случае пслпцспнос днфф! рсицпзльнос уравнение 2« гс. порядка Вго рс!щцис (1, с!, сз, .,сзл) содержит 2ч постоя!!нь!х пн!е: рн!н.напив.
Последние находят на основании такого жс количества заданных граничных услоакн. Условия Ле:кандра в ..анно!! тадзчс слслуаицпе. дтя юстпткенин минимума иа нсьотороп э!.с!речали пес бхо ичо выполнение неравенства дгС/(ди л'ди"') «МО, для достижеоия максимума необлодилю вь:п.!пенис неравенства д'бгс(ди " сти'ю) (О Пример 1ж Нан !:гс р *ю фу«ах.нана. а ~ (гсх«гд)щ .рн граю! нмх у.лпв гх «(О; 0 «!й) О, «(!).-О л(1! .1 В рас. сма:рнвас гом луча. л.
2 л уран гине Энвера Пужо:на нмес. вна 2!.--2ис(1! О. Отме..а и ' (1 . г: л пс ле четпрлхкрат лого юоегрнПаа1«а Палела» (г! !П'360 ~ С,! ° Гх! ЛС,! ' Си В Сптесмтж.п С тра~!сенин!г услгвп:ма г .О. сх- 1, с,- — — — 3597120; с,— 179190, по по. ыгсхл кт окюлчательно запя а ~а й(0 и:360 1 17ргс90 — 35967120-1-!. У:.л вне Лежандра д 6,ди". - 2.со н прел; латает, юп на дениса гкстиемалн Лоси!гаетсл максимум.
«гл манам«анели со мноснмн нанзаестнммн В ряде залач кр! тсрпсм оп,имальп. стп излив!ся функционал вида ! .. ~ П (1, , (!), , (! , , «,. Р Ц , Р В '.. (! 1, , ; л, (!)) у, (! 18) завнснщпй от т функций одцо!о ар! умен.а и их про!.!водных, Заданы кооод !паты граничных точек и, (!г), и (7], г.=-1,т Требуется в классе Р (и) наны! функции и,(!), ! — !,т, проходящие через граничные точки и доставляю!лис минимум функционалу, т, е. удовлетворяющие вариационной задаче ! =-пбп и, (!] ш()! (и); !=1, т. (1З9) Прн выводе необходимого условия мп!п!мума варьиру ! л 1 . -,.:Злится одна из неиззесгоьж функций, а остальные счкта!отса „„' '., 1 фиксированными То!да, испо газ!", г,,'..'тгсня, х! .гс :!!ри выводе урашп ноя Зплсра, пряхолпч к уравпе!цио Зп - лера отиосителько варьируемою функции Вели тзкис хыо рассухьпенпя п юторнтг, относительно ьаж пи остал!,нод неизвсстц П функции, получим систему уран:«ни,! Зплсра до д 6 О,г)иг, (1."О) ! де! д! ! -..:.
1 которая формирует сово,у!шос:ь необходимых условии решения задачи (1 19) Зле" рамаз!„с гответствукпцис системе (1 20), с'пер!лат 2т ю гтояииых гштег!шр! ваши, иаходяс !хсн !3 заданн,!х граничных усс овш! Условии Лг ьаилра форнулщтуются сс!еду!о!тцгл! образом С ставляется лгз!(по!а й'6 д-О й«е и и',;,!' ' ' ' д«д дг6 г«6 чо д'С Г ь дг., д, .„.-* йлт „д„сд гм гхо го с зо спо д „,д., д.г,д., с! „д . й;лд Для достижения иа некоторои совокупности экстрсмалей миничу.ча необходямо, чтобы все углпвые миноры атой матрицы бь!лн нсотрнцателшп1, т. е д-о .. дага д«д д,с,д«з О...-, (Г(-:О, (!.21) гмхд г ди. где ( ... ] — снмвол опоедслнтс я. Для кости ~ е !ия макси мума перавспс:ва посо!,иы иметь протнвоположпыч .т;щк Ф)т!коновал (1.!3) может содержать прг;изв:!щые вь!с ших порядков. В этом случае система (!.20) будет содср ксатн в своем составе уравнения Зп.гера Р!уассона, а граничные условия долукны быть заланы в соответс!внн с числом постоянных цнтегриропапня, входящнх в решен!с этой снстсл:ы Прнлмр 1.5.
П с ь в трехмернлч пространстве г, и,, «. валаам авв то па и,(6), «л(6) н гс,(Т), ссг(7). 7Рео!чтсл нанте Упавхен» кРиаок сс,(1), их(1), ко оРаа соединял бы .ии лве топ э в >о>юа. пан. ыекьшую ллину (ии уитив>о ясно, с о получим прячу«э линяю) Ллнна кривой в трехмерном пространстве 11 !-.,:.:,' . аиох ! ошр>г ~ п с одне' выр а, н!с ", сс(!), гх(1) в сстзстсгшш д д д д с! ! 2>) Сисгех!з >ргвненнс* Эсера — — — б -О;, -6 - О сн дцтся к и;>су дб,ди, — пс 1' ! -!.
и,', и,':. с;, дб 'дис.. из 1 ! †, ах: и.„х.. осы гле с. сх пекет рые коскта>ты Ра делив олно урашкине на лругое, выра ич и - с с>ис, по познал* ст ссра с >равнение преобра *оввс к вш.у и)х.=.-гс'Рг>,' с,! — с,'-' -, Аналогично их с„Следователь.
но, экст;ечалп и,(!) с! сх, их(!) .с!. ся, т с зкстреиалн действи тел«,>о являют я прямыыя Пост янные интегрировании сх, г г, сх пах.дятсн кз у ловпа прохождею «экстремалсй через заданные гра- аичиые то ки Эж е>пы матр пс, Г, уча т*с ю;не в ф рыл(с,ашш услошш Ле- жандра, будут д"Г ди,х-- (! ! ид) '1 ! ! с;- ', ссх", .ы-,з дхб.'д»эх -. (! .; сс, ) (1 ! - сс,' ->- схх) * д'6 (ди,дех) д'6'(д, хди,) -- — и,ах, '1 ! ° и,' !. их,' .
В резуль:>ате в соответ твин с (! 2!) устаьавлиеаем дсб г>со. дхГ дхб дх( ! ) и. ди,' д.," дз,с д,ди, дс,ди, (! с-и,' >:. )' Таким образом, иеоблолп>;ые ус.тония Оо«а>ыпзют, по найденные зкстремзлн дс !ствятельио име!от яаиысньшую длину. хсь Зьдлчи с подвижными концами В грглыду,.сх задачах точсш 1„, 'Г. и (1), и (Т) предполагались задан>ыми но в ряде случаев .*ни м !.ут быль ь неювестиычн РасСыатРИМ СаатестетзУЮ>иУЮ С>П а,нш Нз ПРИМгл Е ПсаетсйШЕ О ФУНКшюнала ! —. ~ О(1, ~ (1), а(1)>и, минимум ко просо ашттвется нттсм побора че.ыр х оптичвлсш и вслкшн 1,, Т, (!,), ь Т) к функинн и (!). Оченыдссо, что дл. нкх должен быть получены нять .оо' ношеаий '>~,::хз;,!!!'.
лшаческая процедура миска рсшекия соответствует обшей сжме '-4!"й!',:*)Она>яагсцж>ого и числышя Варь>руется каждая ит пвтн перемсшхых. "';у:,,ч44эхолятся первая ва вация ф нкцсгоаала, представленная суммой пяти слагает их нзл.лое н, кото.,ьх обуслопасно вариацией ол» й нз пе :*,1!(1> гремвнных. Решение ищет"я кх условна равеясгнз нулю первой варваЮсв ф>пхни !зла Тзк кал вариации каждой псргиып!ш! нс аенсс«.*, >слакав равенства нхлю перж и варим!не функционала с ка схвзе~ся зквн:алентныч с я н усгквкчи разыктгж н, тю каясдого ела аеиого яз со гаев перв,*н вар! аин,! По ..с рипа про брвхпвакий прнтюдим ь сч "п с урас»;с"нп дб д дб с)! си ди (!.22) 23) (Со дс! .—.
О, (О:дг)'д ), -О, 1дб'да), г . О, (6 с!>6 дс! .. О 1! 24) В соотвст "внс с эти:к .оотношсиикин реи екпс пцется в следую шсй >ю лез ваг. но н Рс: аст« у!;выл«иве Валера (! 22) В ре з>..ьтасе ашд*п н нить напь и;1, с, сс), сав>стишки от двух, пока нш:*,весткых яшаиетр н с, с В .рацеи к *ко.рехзлн и(1,, с) аодсгаэ .ют в уран енк.. (! 23) и (! 24), из совмегтасхо ржпенвя ко хорь!х он>чдс.'ню! вели шчы !х Т. с., сь что ханс ршает решение вар>жснонноп зал>си В юше зала~ требуется нанси он ни*л!*нее рс,нею>е и>П в прелполо>«сися, ч о начало и ° .не>, ресслш> лежа иа не«с !срыл,>злхи ъх к): вл, т е и(1,) .ср (1П О(Т) ч,(Т) (1 23) гле ед(!), срх(1) — и!хи«си>ые ф>нкцин, а 1з, т — нес.н стиью А>нинки!а>с>ссс функ пк хала осуисе;телке>ш зз счет вьб.
Ра саыой фуншсни и(!) и грани» и» точек 1, Т Пра ссз)денных 1„Т и >шаесткых фукк>них 1,(!) ч-(1) кшр,.инась! н(с,) н и(рс пе выбнраюц анв. хо>ят 1х (12:) Слелсзхтелгя>сс варыр>смыл псреыш ныл сри, н ре Шюат пчцю сюн"! и лю с!«рнок взюапсн ф,нюжизла, об>слов леш и ва! иа > ямн в сх рел переменных приводит л л с пашен'>нм дб д иО ~ дб ( ау ; — '1 дсс > И,)с.т П лсдние два рзвснства при;ято пазывать дсхонихии грансверсаль юсги Ре:.е~ ве валахи нш>т н слелующсв последовательна ти На оспснзгкн рыиения урави юш Эилера нзходнтс ~ экстремю>ь О(1, с, с,), содсржашая две невздестные постоя>*ныа нятегрирования 4 — 5234 49 сь г.
Эта экстрехшль падг;авл;ешя -. (! 25) и в усдояпя травсвср саэьношгз (126). В рсзулшагс пглучаст сшы;е уравнсчия с такнч жс згь: шешвг и неи..зсггнг х 1. 7, сь ст Пз рсш»вня эгон снс сшз взхг нч в.с нсп зе тяыс (а, дг!а.!агьстгц что 1!, 51, дбтгг11 ко- НС ШЫ) Прил~ар 1 6 В«низ н, и,снишш рзс: и, ~ннс з м .у * араоо. я и..г: и пря и и и..г..с Д., ~а к; вг ч с' данг~ ".с. ",,ьп «(1)), (Т и(Т)) в пз «ка т~ 1, и апшг:.шстс выра„псвчсы г ! с)ш. В нашим сл)чае та кв (1и и(1)),,'Т, и(7)1 «1с тн!х п ре буса я нанти мюшмагп пог зпзч п.
г 1 в п! гд,,ояаз шш, по ошш ьа Гшц ШГ П.СЧЬ.Ш иа,! СГ »Е; Г «,ШЬ. П П: Чрпзз а а. 1, а Втараи— по прзчгй и 1--5 Слгл низ~лью, ф,(1) .(г, а Т (г) .1 5 Урзвяшшс д Эй г>а — 'и ) ).г.„-*! '! яэзяе,гц брги гштг о<!г <н тсл»во и, тя* ьан сж) 1 4!: * с; и- с ('1" — -' .с, па птч) и(1) . :«гтсь гш ., с,— пси ва»тны пг„т ян,ыс П дс авьн гк~ ~ргчаль б(0 в (! 25) и (! 26), голу ~!гт! г1п г .1 5 с.,т -( 'гх т (17 х г(1 !) )г(,"'г -0 Рсшач эту;наст|у, ьахолич с,:.
', гх 374, 1 — 112, Т 238. Таьнт! абра он, э„,трсчаяь гш !гьп ш "ся ),з. и пшт! «(1) - --1-! Усъвис Лсжавтра - "дд ' 1 )7(! * и) . 0 пока ывзет, ч о дааная экг.-, с !аль; оотвг гствуе»кннчуму фт пьц опала, г а тш и м,зльчг;т у; а: шоянию пш аг~чаюШему ла ~анне ~ ( 1" и с, аг -- ',)/2 8. Слсдоватилыто, иинимшън с, посто|! не фгч чирусг я так на парабола По!с! я заика прн 1..1,, и» пр ы.и сщ! 1 ? Э.и точки соедин, !От~я п(ямой. Длина аб, азую с:о, .
т, с а и будст »1чниЫалпззчт! ра .-азипотз Гскиу арагпп й И П! ниии Ч! атЕЛЮ Пралпаше-с, амог, я! -!шо пров ши ирг ва.ь э-ат рсзулшат путем тра. фн «.мнх п н ~ р: анин г.г т з«сггеы пи с изломами Р ивс отмечало ь, ч:о егш! вт.рая г;Он!води!я д.Г?дис пожег Обраща ься в нуль, ю жггремзль мамах а«ать !заломы. т е, явл,гьгя «усошоглальоп фупкшей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
