Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 13
Текст из файла (страница 13)
!) фун~ цня Н, опредечяемая с отношением (!.85), достнгала максимума по и; 2) вьшолня, ось условие р,(1] =-сопя!.='О, а также в конечный момент времени бьшо справс глино шах Н(Р(Т), У(Т), и(Т)) ==О. Последнее условие, утверждающее, что махснмагщное значение гамнльтг пинна, соответствующее оптимальным управленшо н функциям у(1), Р(1), в конечный момент времени долисыо равня~ься ьулю, является своеобразным условием для отыскг|ния ггс~ звестного мс.чснта Т, Тскушсс максимальное значение гампльтониапа па оптнмальнон ~раекторни изменяется по закону шах Н (РО О У(1), п(1)) ч ;:.
~ У [д~,, (У (1), (1), 1),ч)1] и, 11) сг1. г Неавтономный объект со свободным правым концом траектории и иефнисироааиным временем упраилення Чтобы уппанленне и(1) было оптимальным для ген[!к Т), необх~димо существование такой ненулевой непрерывной вектор функции Р(1), соответствующей функциям и(1), У(1) н сопрязкенной системс (!.89), жобы !) прн любом 1= [1с, Т] функ..ия Н, определяемая соотношением (! 85), достигала максимума по и; 2) в конечный момент времени вынос нялпсь условия Р(Т) ( .
1, О, О, ..., 0)', шах Н(Р(Т), у(Т), и(Т)) О Последнее условие служит для отыскакия неизвестного момента Т. В4 5'";;,;~.,' Оптимальное управление автономными обьектами Уравнения объекта и критерии качества не содержат в У, нанон виде аргумент 1. Формулировка необходимых усло !::!=: .'.; вяй оптнмальносчп полностью совпадает с рассмотренными случаяын управления неавтономными объектами [От личпе прояв.сяется только в поведении максимального значе~пчя гамильтоннана на оптима анной траектории прн нефиксированном времени ! правления ) В авддхдх управ ленпя автономнылш абъеьтамн нанболгипее значение гам.иьтониапа а любой момевт времени гостояпно н равно нулю. Необходимость введения переменных р:,, и р,, ~ н 'зтггх 'задачах отпадает, по приводит к понизкеншо порядков уравнений (! 75) и (! 90) Принцип максимума с использованием уел азий гринь.
версильности обобщается на с-.учаи полвнжных концов :",": траектории. Резулызты соотггечствующих обобщений систематизированы, например, в [3, 26, 48] Остановимся на отличиях формулировок принципа максимума в зависимости от особенностей запани оптимального управление Осгювное содержание принципа максимума сводится ь ус.,ошно (! 86), утверждающему, что оптнмаль.
нос >правиюьне в .иоб и момент времени долзкно достав '.пять напбольц~ее зна ~ение гаинльтаниану Н Из зтого ус. ловня прпнципна,1ьно мох.но найти опгичал,нос угйщвление и как функцию пока неизвестных геременных Р(1), У(1). Если оптимальное управление подставить в (! 75), (!.89) или (!.90), то получим систему из (2п-1-4) уравнений с таким же количеством неизвестных у., (1), у,(1), .'у ы(1), ро(1], р~(1),,рю~(1) Йля решения системы формальвй нужно иметь (2п с4) условий. Имеем (я+2) условий в начальной точке У(0], а остальные (п+2) условий формируются раз..пчным образом в зависимости от конкретных особенностеи задачи; а) если п)чавый конец травите!шп свободен, то получаем (и 52) услошш в виде вели шны Р(Т); если прп атом Т фиксировано, зо всегда будем иметь (2п+4] условии.
аеобходпмых для решения задачи; если же Т неизвестно, то используем гюполнггельное ограничение ва максимальное значение гаыильтониана, что снова устанавливает со отвештвне мех.ду кошшествоч неизвестных п граничных условий, б) если .равып конец траектории захреп.,сн, то вместо (п.1-2) значе~ нй Р(Т) исполг,зуем (и 4 1; заданных уело впй в виде У(Т), у„„ (Т) ="-Т. Так ьзк фун цпя Тамнльтона (!.85) зависит ат вектора Р линешю, то зтот вектор может 65 Задавшись произвольным начальным условием ры, решаем второй урййненне: р|(!> = р,сеы — с,(е' -1).
Так как рассматрнвнемая задача ха. рак ерн-]ется сноб:, ным правым ксацам н фик ир ванным 7. |о выпалннет| я грани и ое условие рИТ] — 1; р, (Т) =О. Следовательно, 1, а нз«альная величина р,е.—.сэ(! -е ': | нах с|и; я, | усл вия р (Т) =.О. Поэтому р,(!).=.е "|г " 1, а оптимальное управление принимает окон |ательиый внд й(!) =-э|йп(Ье и™ь> =1, что совпадает ". наи.нм начата, п»и предположением Е л» предположи|ь что вела"шна Т ие захава, необходимо использовать дополаительаое условие шах Н(У, Р, и) .О, в соответствии с коюрым вычисляют гамалыониан па оптимальной траектории в какой либо моме|т времени Проще все«| это сделать для 1=:О. Имеем и=.|. 9.(О]-.0, рь(0) — — 1; р,(0) -е "г — 1. Подставив эти значения в Н, нахш|ич о|ах .Ье 'г =-О, «жуда Т.=:, Следовательно, если Т яе задав., вельчиаа у,(Т) достигает ваиболыпего значения пра Т вЂ” :- Эт,т резуашат очовиден.
еы|н на ра|сматрива|мьй объект подать едннипие управлс: ие, то аык|дной процесс нзчанает возрштзть по эксвовеациаль ому закону. Мак имальное значение достигается на бескои|чности |за зычислитепьиыз аспекты пэниципь мьксимэмь Рзссыоц е:шыс примерм отно|ят|я к ве|ьма учкому классу задач аптимиза|шж ьо«|рые позволяю| в ааалитическон форме получить ре жение. Подобные задачи яэл»ются спорю исключени|*м, нежели прз. „|л |м бс.лн;пнство и; ннх реш с||я «, ьк шглшшо на ЭВМ Для швышснья эффек нанос|и чв.ленных процедур поиска опгичагшных реп|спин разгзб аны определенные рекомендации, помо аюшие организовать оациональный процесс последовательного приближения к оптимальному решению.
Рассмотрим одно из распространенных правил по слецовательного поиска оптимального управления (схелп Н. А. Крыаоаа и |! Л Чари. ьсьх ) Дл| оирсаелгинс, и будеи ооиентпрова |ься ва олномерн]к задачу с фипсировзнным временен управления н свободным правым концом траектории. Логика метода последовательных при|лижении осяована аа там, что выбирается некоторое допустимое управлеяне н па ледовательнп улуш а|тгя до тех пар, пока не окажется подьодя|цик допустимых вариаций управления, уменьшающих крн.
торий как тва Суше|тво метода изножии в форме следующей по следовательншти операций В облашо лопустнммк управлений П(и) задаются некоторым ажугичыч упракеггг|си и (1| —.дгггггг гор кил Ллв "рш|оты мохи. пол жить гл(!>=О, ели г(!) -О лспус имое управлеии|, 2 управление и„(!) подставляют в урзвнеьне объекта управления (1 75) н интегрируют последнее при начальных условиях (1 76).
Соответ|твуюшее решение обозначим Уэ(!). 88 3. На процессах иэ(!), Рг(!> вычисляют критерий качества 7.=. г — 7(гг,(!)1 у,(!» .. ~ Эг(гг,(!]. У,(!>)Ш |,: о 4 Составляю| систему сапр|женных уравнений (190). Входяцше в э и ур|ваенпя фтю.п|и У(!), и(1) *вменяют аа У (!>, и. !|, за|с| сопряженную са э|му интегрируют справа налево от 1 Т до ! — -1ь при краевых условиях (181) (техника этой аьерапин частнч|ю отражена в примере 1 11) Соответствующее решены» обозна;нм символом Р„(!] 5 В соответствии с (1 85> сос гавл:ют вь ражение гамильтоннана, в котором функции У(1), Р(!) заменя|от на У,(!), Рс(!), В результате полтавец Н(У (!), Р,(!), и(1|) -Р'„(!)|Р(уэ(!) и, (1).
Заметим, чю управление и(!) не заменяется ди|штчер ким управлением к.(!) 6 Так кзк в оставе гзмвльтаннана неизвестным является только управление а(!) решается аадача поиска такого допустимого управ пения, на котором функция Н достигает ваибогьц его значенип При испо::ь овяипн ЭВМ в|с п]о,:е сы можае;роьааь«ваы ш в;е ш и для каждого дискрепюго момента вычислать максиыизируюшее управление в саответ|твии с каким-либо алгоритмом поиска зкстрему- :Ъ!'* ма функции Соответствую|,ие алгоритмь. нзлага|атся в гл.
б Обоз|сачам полученное а результате управление символом и (!] 7 Управление п,(!) приннмапгся эа перное приблвжеаие к опти мальнаму уяравленша, н отногжгельно аего проводятся операции 2, 3 Результат операции 2 обозначим символом У,(!). 8 Если ока|кется !(и,(!>, У,(!)) <7(и (!) Уь(!)) то проводятсн операции 4 — 6, вслед|таис чего ггоявльется втощю приближение апти]|" мальяого уьрявления и,(!] 9 Если окажется 7(и|(!) У|(!>))7(ис(!), Ус(!)). то первое приблии|енне корреатир]е ся путем перехода к функции п*,=.пе(1) + й(и|(!) — -и.
|!)) гяе з . ч пяр че ки подбнраемый коэффици вт, обес печиваюший неравенство 7(п*,(1) У*,(!))<!(и,,(!) У,(!)), в составе которого У* (!) является результатом операции 2 | рн управле ша иП(!), От|го|пчально и',(!) проволятся последующие операции 4 — 6, вследствие чсга и| является второе приближение пт(!) !О. С ущавленнем и,(!) проводятся же операция по схеме 2 — 9, что | риз,.дит к третьему приближению п,(1) В Вы пиления продолжают до тех пор, п ка не будет постигну |о у панне п,(!)--и|.|(!), при котором управлении иа двух со|ел |их :4",'.!.",циклах обраш|пня к операциям 2 1О совпадают н кара те| изуются одним н |еч же апачснием критерия качества Это управление прина мается за ок|нчательное решение задачи 5(!) ченн», щ,х !<(У(А), Р(!г; !), в(А)) !<(У(А), Р(А ° 1), (А)), ( 7) г:(й)* 9(п) глс вектор Р(А4-1) гзахолгысч нз (196) при заданном граничном условия Р(Д); вектор У(А) нахозит я нз (1.91) и (193) при заданном ншяльн»и условии 2<01, а фувкння 1'змильтоня опрелеляется в аютесггтвнв с П 94) Сссгщ ~евне (! 97) являгтгг~ необходимым тсловнем мннвмума ф юс икая ! Д:я еы г«пслгюззьнг н жн,* убслп":я в нюуклс многие твэ д«"ю нчостп в изпрзвлеющ "рнпс елыюв оси рх ~ о ~ .коверными сре.,с ваш не в езда удостоя с,телэть Очвакс ст пщтвует лз сс лис;регных си тем для козорых привннп максичума оказывается неабходьчы; до.~зточным условием о тимвльности без прнвлсчс ия вонюв множе.
гва,юсюяжпмо;тя Тэк, й кла:с состав л *юг дв к!юные;гктемы, лп ггрмг отпосятетгьно переменных состоящн Пус ь ОУ описывзется разно:тным мзт, я~но векторным уран. кепием (1 96) У(й ° 1) .- А(А)У(!) ! В<А) п(А). гг(А)сьП(гг), г„г Д(!г) — кввдрзтнзя л чвт!и:а с танис щеми в общем случае ог дг«кретэого вргмегн эл.ч*втвчн, В(') ггмешщй вектор сголбеп тв. же зази.ястнй; т времени Крптернв кзгествз овредещв в форме (1.92). Задано начвхьггое ~ссюя"ие ОУ Пусть фуикння б в составе срищрня качества явдяет я вываял н вверх эо У н я, мнажегтоо П(и) . таьже вьяткло Тогда сг ! зясд. ««; с.,елующее утверждение [32[ чтобы в рассматриваемой зада~с уъпваленяе я было,пгиыальным, необходимо в логтагочно, ~тобы фу.кник Гачпзсжонз Н вЂ” б(У(А), п(А)); Р <А.
' ИВОВ <А) (1 991 дс лгала някы мзлв«го зпатсннн по и(А)е-П(и) при й —.О. 1, 2, В 1 на зюе тс<,авл нпч 'се изнипх л ме:игг, вгн сра Р(А) ~рг слепы нэ ся темы (1.100) Р(А)..—..дб(УС<с), и(!)) 6У(А) !.А'(А)Р(А+1) лри у лов п Р(Л') - О, а У<А) являет~я решением системы (! 03) при заданном взча. ьп, м условии У(О) Это же утвегждевне справелливо и лзя усаюппнй вн..а (1.101) У(!..г<) -.А(!)У(!), Ф(п(А)), естся мю же тво Ф(ят прн яг.П(п) нвляется вы !клым Заметим, что к (! 100) вектор Р является л мерным, в то время как в (1.97) Р вэ- 92 ',:„"1' -' ляется (л4.1)-мерным векюрг ~ Саоюннпение (1 ГОО) является шст )71'*',-, иыы слугзсм вмрэз шип !195) п сукиным учстои моделя (196) н очеяидн,гс из (196) резулызгн р„!1)=-р,,(А., 1) — — 1 Это же замечаю« с:раведонвг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
