Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы (1987) (1249286), страница 15
Текст из файла (страница 15)
нае в смысле быстродействия у !разлепив принадлежит ериничам области допусмыгыч у* равленни н нсрехо,.нт с одной границы иа другую одновременно со смепоп знака функции ~г р,. (Г! Ь„. ! Для отыскания канкрепюго управления необходима знать функции р,(г), ! — -1,и. с этой целью составчясм са!О4 и 2' р,(1)Ьы- !пах Ь - 1, ж (2.32) г:. ! Легка видеть, что (2 32) уданлетв!,репо при существующих ограни гениях на иь и условш! ~„р,(1)Ь„ь=АО, если из '~Т;,*-фрягкениуга систему (1.00), которая в случае (26) приоб' ' ',',.', ретает вид г1Р, Я,'г(1 -- ~~ аиР1(1), ! - 1, л, (2 3 1) г--! ,„.
т, е. является системой одаородпых линейных уравнений, ие зависящих от управления и состояния ОУ. Однако ре: шить ее нельзя, так как не известны ни началыиге Р(0), ли 'конечное Р(Т) значения вектора Р(1). Можно задатгел !грйизваг)ы(гс началыгым значением Р(0) н нанти Р(1) и. (2,33). Полставни этот вектор и (2 33), вычислим управ ление Щ), которое после подстановки в (2.6) позволяет найти траекторию У(1), обусловленную управлением О (Г) н йййальным состоянием у(0), Если можно указать та..кое Т, когда т'(Т) =О, то мы правильно задались началь'.:; .. лым значением Р(0), тогда О(() — огтимальное управле..
лйе. Однако надежда па такой скорый успех совершенно иллюзорна. Наверняка случится так, что ни прн каких Т условие 4(Т) =-0 пе выполняется, т. е. траектория не про.:: ходит через граничнуга точку. Тогда надо измевить Р(О) так, чтобы приблизиться к достижению граничного условия. На этом'принципе основаны схемы !юследовательного поиска оптима!юных управлении, реализуемые на ЭВМ.
Однако ряд важных свойств оптилгального управления можно' выявить И без решения системы (234) С этап целью сопоставнм (2.34) с уравнениями ОУ (2 6) при ' отеутствип управления, т. е. с уравнсниимн -- — у,(Г) ----~~)~ гй уг(1), !'=-. 1, л. (2 35) г=-! . Б всктарзой форме уравнения (234) и (235) примут вид "и.— Р(() .. Д'Р(1); --Л- У(!) —.АУ(().
Им соатветстнуют характеристические уравнения (БЕ+А') =О; (зŠ— А(.= —. О, где (Х) — символ определителя матрицы Х; Š— едииич иая матрица, з -- комплексная перемсвнзя Корни подобных уравнений отличаются только знака ,1':, !ми (теарема Перрона) [7[. Пусть объект устойчив и корни соответствующего ему характеристического уравнения !05 вещественны и отрицательны. Тогда р ко нн хзрактеристяческого уравнения, соотнетствующ р и' сто соп яженнои сист« , б. т всщестпеиными н положительны, р л>и, а сшеппс.
системы (2 34) можно представить а ф 1 ».(1) ~ сое;, 1 1, и, ,2мб) !=> — положительные остоянные внтегрирования; з, соп яжевнои корни характеристического уравнения р системы. Попставив (2.36) в (2.33), получим и, (1) с„ызп 4', г(>,е'1', й (2.37) —. > о, -- н;которая пг>стоянная величина. Функ3лесь с> — ~ с< бом —.
=> оь мон,ет цяя е па Х г( ,'Г полубсс>с нсчиом интервале 0 л > ть че ез н ль не более (и — 1 ) рзз и имеет, следезн чьне о — ., опроходить через нуль не о "лов постояно>вз знаков пустнмых управлении на Лру ую. й (1) имеет ие более и пн мальное управление йз( ) люченнй управ, сле овательно, число переключ н — 1) Д ний о под названием теорема> ) не п евышает а— оптимальных управлений ний известно под Л. А. Фельдбаумом, об и интервалах в впервые д оказано й степени кото ого оказались в некоторой ранние рабо"ы интор оаювополагающями р в тео ии оптималь Соотношение (2.33) справедливо и при к.рньх хар ктернстичес о ур гло инте валов оптимального упр этом случае чигло инт р т " ' пг может быть больше и и з. и зависит от началь объекта управления (более др . [,[ .
по обно см [,[ . ииос в те минах принципа максимум мальнае управление является улици мальиаго программно р го угравлеиия ветствует задаче оптималь .ме с обратной хо а от этого решения к системе с Для перехода от ть к дополнительному анализу, связью приходится прибегать к полол 1ОВ с > .'Доследив>3 основан яа утверждении о существовании 'флункции переключения, с, омощью которой нсе простран ',, атно состояния разбивз>о~ на области, отлеленпь е друг от )' >':.,'>:друга поверхносгямн переключения и хара>шсризующнс СЯ опРепепеппып посгоа шыи УпРавлеппеч (4 сь и>ш — с й.=-!, ш). Отыскание функции переключения являет. я .: -"-сложной и ипливилуальной лля кажной задачи операцией.
Проилл>острируем се прнмером системы упрзвлсння объ: '«ктом в~орого порядка. хх> снима чптимляьячя слхяяжхя чие>змм з\чечгч пч>ялиь Синтезируем слелящу>о систему со структурой, пред:ставленной на рис 2 6 Объект управления грспставляет собой устройство с урапнсив: и г(-'у(1),*Ж>:==-п(Г) и: н жс в норма> ьяой форме Коп~п .— — р,(1) >0 1); - . у (1) и(Г). р, .у. (2,38) н На вход системы в момент Гч=0 падается сигнал Х(().=-1(1), до приложения вхолного сигнала система находилась в покое Требуется найти такой алгоритм работы УУ н форме и'==и(г), при котором светел>а зз минимальное время отрзботаег вхолпой си.из>ь На управ>си .. налагается типовое ограничение [и[ «=с, с †-сопз(.
Формализуем задачу Так как система прелназна>н>а " Лля воспроизведения единичного вхолного сигнала, то з идЕале ВектоР со«>нинин У,„.(() =- (Уп„, У, )г... (1.0)' Между: вдеальнымн и реальными састояниямк су цествует рассогласовзюге з(1)=(з>(1), сх(1)П=(1 — у>(1),— у>(1))'. (239) ' Так как цо вхолного воздействия система находилась я покое, то зР.) =- (1,0)т (2.40) После окопчапня переходного про.,есса входной сип>зл пол>к«в быть отработан бе,ошибочно, поэтому е(Т) = (0,0) ' (2 41) Полз'.ая в (238) на основании (239) 4>,:.=-1 — е, и уз=.=--е>, по.
учзем уравнения г~бъсктз отн, сите..ьно отклонения его координат от их идеальных значений — — з, (1) з,(Г); ч>(1) . — а (1). (2.42) ш ' сл Переменные е„ег, как ха! ыс~ «1В г 1) отмеча;ось при формулировке общей задачи апти. мального быстродействия, можно обозначить символарнс ми у, и уъ но в данном случае этого делать не будем, а заменим в обппы соотгсошеппях предыдущего разде,ау пае, Игах, в попых обозначениях талана такова. необходимо па!пи такое допустимое у~ равлепие, которое переводит объект (2.42) из состояния (240) в с~ стояние (241) . а минимальное время Па оснояаиав (2.33) при Ь ==-О; Ь.=. --1 получаем и=сыдп( — р:) или а(1) = сз1йп(р,(1)). (243) Сопряженная система (2.34) приобретает вид ар (а!=О; арус(1 —...— рь (2 44) Здесь на основании сопоставления (2 6) и (2.42) учтено ап ==О; ам=.-1; аг~ =-О; ах,=О, следовательно„ р~(1) =А=сопя(; рг(1) == — А14 г(с, (245) что позволяет записать и(1) — -- — -с з1яп(--й~1юс(с).
(2.43) Так как график функции — с(,1+с(с ьсонсет проходить через я>ль не более ! раза, оптимальное управление состоит не более чем из двух участков, на каждом пз которых опо равно илн ч-с, илн -.с Этот результат можно было бы предсказать и на основании теоремы об п интервалах Для нахож.щиия постоянных иитщ рнривааня с( н сгг мщкем поступить так. Считая й(1) известным, прони тегрируслс уравнеивя двизкеяия объекта.
Затем, используя г!зандчные условия для вектора состояния, запипгелг сиссему алгебраических уравнений н неравенств, которая обеспечивает прохождение траектории через заданные граничные точки и позволяет однозначно ос~редедича оптимальное управление. 7 Часто алгоритмы ' опсима. ьно~ упранлення по приицяпу максил1ума находят прп анализе повеления системы в пространстве состояния, что позволяет синтезировать оптимальное 'управление ьо принципу обратной связи.
В даняом случае целесообразно пойти по этому пути. !06 Оптимальное управление в даппщ1 задаче прннима,т .*--",: †;:яе(его два значения (.! с или -с), запишем длв пих )рав г",'::;").'.Некиа фазовых траектория На основании (2 42) прп й(1] =--с имеем с(е, Фе~ — — — — с(ем а при и== с устанавляваем сге,гае, = — с 1 е; :. 'После интегрирования приходим к следугощич уран с . '. киям фазовых траекторий соответсгвеиио .,'с) 2 с (с, -,,); (2.47) .,'Д 2 с (:, „,).
- (2. 43) Рассмотрим фазовую плоскость (рис. 2.7) с взнесенны ми иа пеи фазовыми траекториями, соответсызуюши сн различным начальным условиям для ураввсппп !247) (пунктирные:срнвые) и (248) (сягопп ые крпвыс) Пусть ггзобрагкающагг точка в момент 1, юпгиает, на рнмср, положение Мс Прп неизменном управлении легко видеть, что изображагошая точка в начало координат нс попа,ст Следоватслгпго, управление лолжпо бьггь зьюкою.реюпным. Чтобы изобрахсающая точка оказалась а начале А Мс координат врп однократном переключсвнк управления с одной границы иа другую (с +с.
на. — с илн наоборот), оиа,'„опасна двигаться Э 'г г гсг по дзум фазовым траекто- г г г ривм, соответствуюсггим возмспкныьс значениям управления. Вторая траектория обязательно должна про- Рнс. 27 ходить через начало ко' 'ординат Попасть в начало координат мс жно лшпь по траектории .10 во втором квадрююе с по траектории ВО в четвертом Движение по остал. ным траекторк ям, проходящим через начало координат, уво„ят изо бражающую точку от начала координат. Отседа слсдуе, что изображающая точка из полоэкепия й(с попадает в ,начало коорлинат при однократном переклго пшии управ ления прн следующих предпосылках: вначале опа должка дзцгаться по траектории, соответствующей управлеюпо !99 и=-+с, до встречи с траекторией ВО; в точке встречи должно прокзойти изменение управления с ! с на --с, после чего изображающая точка пойдет по траектории, соотвстствугощсн и=--.с| так как такой траекториеи является кривая ВО, то изобража!ощаи точка по ней доствгас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
