Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 64
Текст из файла (страница 64)
8.29. Исследовать устойчивость импульсных систем автоматического регулирования с помощью критерия Шур- Кона, если их характернстичеакие уравнения имеют следующий вид: а) г' — 1,03г' — 1,32г -)- 0,0044 = О; б) гв ~- го -(- г +'1 = 0; в) г' — 2,8г' )- 3,4г' — 2,24г )- 0,64 = 0; г) гг — 1,545г' -1-0,607г — 0,0613 = 0; д) го + 2г + 3 = О; е) г' — 2,221г' ~- 1,695г — 0,474 О. 8.30. Исследовать устойчивость импульсных систем автоматического регулирования с помощью критерия Шур-Кона, если их разомкнутые передаточные функции имеют вид: 0,636г(г — 0,0!85) (г — О,!35) .
(гг — 1) (г+0,05) (г+ 0,516) ' 0,0013 (г — 0,983) (г + 0,861) . (г — 1) (г — 0,997) (г — 0,51) ' 0,15г(г+ 0,05) (г+ 1,065) (г — 1) (г — 0,135) (г — 0,0185) ' 6.31. Определить, при каких значениях коэффициента К импульсная система автоматического регулирования с передаточной функцией 0,632Кг (р(г) *- ),З680+0.366 устойчива в замкнутом состоянии. Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы 0,632Кг 0(г) 1+ гг ! 368,+0368 О, откуда 0 (г) = г' -1- (0,632К вЂ” 1,368) г -1- 0,366 О.
8.28. Исследовать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой имеет внд гв — 1 01 4456го + О 302017г — 0 00506 О используя критерий Шур-Кона. Решение. С помощью определителя (6.23) найдем нечетные и четные определители Шур- Кона: Запишем условие устойчивости Шур-Кона в виде неравенств (6.25); тогда ( Р (0)1 = 0,368 < 1; Р (1) 0,632К > 0; Р ( — 1) = 2,736 — 0,632К > О. Первые два условия удовлетворяются для любых положительных значений К, третье же условие выполняется лишь при К < 4,32. Поэтому рассматриваемая импульсная система автоматического регулирования является устойчивой лишь при К < 4,32. 6.32.
Построить области устойчивых и неустойчивых состояний на К плоскости параметров аТ; — для импульсной системы автоматического регулирования, если ее передаточная фуикпия в разомкнутом состоянии ~~ (з) а к Ге (е ет+ат — 1)+ 1 — е ат — ате (е-Ц(а-е ' ) Решение. Из полученного выражения найдем характеристическое уравнение Р (з) = (з — 1) (з — е-'т) + — (е-'т + и Т вЂ” 1) г + а + — (1 — е-'т — аТе- т) =*О, откуда зэ+ ~ — (е 'т+аТ вЂ” 1) — 1 — е '1')з+е-ат+ + — (1 — е" т — аТе- г)' О.
а Условие Шур-Кона для этого уравнения представим в виде: а) ~е т + — (1 — е 'т — аТе- т)1<1; К б) — аТ(1 — е-'т) > 0; К в) 2 (1 + е 'г) — — (е-'т + аТ вЂ” 1) + — (1 — е-'т — аТе ") > О. К К а а Условие б) выполняется для всех аТ > О, поэтому перейдем к рассмо.трению лишь условий а) и в), т. е. ( — 1 — е-'т)< — (1-е 'т — аТе 'т)<(1 — е — 'т); (2 аТ 2е-ет — аТе — ет) > — (2е- т + 2) К а или е~ — 1 0« — а е "т — 1~-аге ет К 1 аТ е~т — 1 + 2 е — ет+1 С помошью последнего неравенства иа рис. 6.5 построены гранины области устойчивости.
6.33. Определить, при каких значениях передаточного коэффициента К импульсная система автоматического регулирования, имеющая передаточную функцию К (г + 0,05) (г + 1,065) (г — 1) (г - О,!35) (г — 0,0185) ' устойчива в замкнутом состоянии. 6.34. Определить, при каких значениях передаточного коэффициента К импульсная система автоматического регулирования, имеющая передаточную функцию К (г — 0,983) (г + 0,861) (г — 1) (г — 0,997) (г — 0,5!) ' устойчива в замкнутом состоянии. 6.33. Определить, при каких значениях передаточного коэффициента К импульсная система автоматического регулирования, имеющая передаточную функцию К (г — 0,934) (г + 0,922) (г — 1) (г — 1,0067) (г — 0,51) ' Рас. б.б. Области устойчивых и неустойчивых оестоиний импульсной системы регулировании в еависимо- К сти от нараметров — и аТ а устойчива в замкнутом состоянии.
6.36. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний на плоскости параметров аТ, — для импульсной системы автоматического К регулирования, структурная схема которой показана на рис. 6.6, а. 6.37. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний на плоскости параметров аТ, — для импульсной системы автоматического К а регулирования, структурная схема которой приведена на рие. 6.6, б.
Ге ом ет р и чеа к и й к р и те р н й Ми ха й л она- Н а йк в и с т а для импульсных систем автоматического регулирования позволяет судить об их устойчивости по расположению годографа на плоскости Яг (3). Применяемая при этом функция г = е'г отображает мнимую ось плоскости в в единичную окружность на плоскости г. Следовательно, если при анализе устойчивости непрерывных систем годограф йг ()со) получается путем замены в на )со (мнимая ось), то для импульсных систем годограф Яг (г) находится путем подстановки г = а + Ь!' (где а и Ь вЂ” абсциссы и ординаты точек, расположенных на единичной окружности) в передаточную функцию разомкнутой системы ()7 (г).
Импульсная система автоматического регулирования будет устойчива в замкнутом состоянии, если разность между положительными и отрицательными переходами годографа разомкнутой системы через отрезок оси ( — оо, — ), )О) равна — о (где ио — число полюсов в передаточной функции разомкнутой системы). Рис. б.б. Структурные схемы вамкнутьае иатульсных систем рееулиро- ванин: а — к аадача б.ве; о к аадаче Е.гг Рис. 6.7, Структурныв схемы замкнутых импульсных сиаеым регулирования 6.88. Построить годограф ((г (г) и проанализировать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования по критерию Михайлова— Найквиста, имеющей структурную схему, показанную на рис.
6.7, а. Решение. На основании структурной схемы определим передаточную функцию разомкнутой системы: %'(г) =д( 1 д~ — — — '+ — ' — — ) =. 2(1 — е 'г) ) г — 1 (2 0,3 0,4 0,1 еь(0,1е+1)(0,05е+1) ) г ( вь е в+10 в+20 0,4 0,4(г — 1) 0,1(г — 1) 0,15г(в+0,05)(в+1,065) г — 1 г - О, 135 г - 0,0185 ' (г — 1) (г - О, 135) (г — 0,0185) Из полученной передаточной функции следует, что полюсы вне единичной окружности отсутствуют, т.
е. пьь = О (рис. 6.8, а). Поэтому годограф )а (г), изображенный на рис. 6.8, б кривс)й 1, не будет пересекать отрезок оси ( — оо, — 1, )0), что указывает на устойчивость импульсной системы в замкнутом состоянии. При увеличении коэффициента усиления системы с 2 с ' до 267 с ' передаточная функция разомкнутой системы примет вид 68г (г+ 0,05) (г+ 1,065) ~ (') ( — 1) ( - 0,135)( — 0,0!85) ' а) Рис.
6,8. Годоерафы харакаыристик Ф' (г) а расположение нулей и поленове равомкнутых импульсных сиапемах авптмаатьвского регулиро. тенин а ее годограф изображен кривой 2 (рнс. 6,8, а). Прн гп 0 годограф полуохватвшает точку (нлн полупересекает отрезок осн в отрицательном направлении), что указывает на неустойчивость импульсной системы.
6.39. По передаточной функции разомкнутой импульсной системы 0,0013 (г — 0,934) (г+ 0,922) (г — 1) (г — 1,00167) (г — 0,31) построить годограф и проанализировать ее устойчивость с помощью критерия Михайлова — Найквнста. Решение. Из приведенной передаточной функции %' (г) видно, что в ней имеется один полюс вне единичной окружности гп = ! (рнс. 6.8, в). На рнс.
6.8, г построен годограф (Р (г) (кривая 1), который пересекает отрезок осн ( — оо, — 1, 10) г(г раза в отрицательном н один раз в положительном на- 1 1 правления. Отсюда следует — — -(- 1 —. Последнее указывает на устой- 2 2 ' чнвость рассматриваемой системы в замкнутом состояннн. Изменив числовое значение передаточного коэффициента, получим новую функцию 0,0002 (г — 0,934) (г + 0,922) (г — 1)(г — 1,00167) (г — 0,61) 1+и я=в 1 — м (6.26) Билинейное преобразование отображает единичный круг плоскостн г в левую полуплоскость 1п. Поэтому методы анализа устойчивости непрерывных систем можно применять для импульсных и цифровых систем регулирования на плоскостях 10 и Яг(и) (где 10 = 10, 0 — псевдочастота) [171. 406 В этом случае годограф (крнвая 2 на рнс.
6.8, г) пересекает отрезок осн 1 1 ( — оо, — 1, )0) '/г раза в отрицательном направлении, т. е. — — + —, что указывает на неустойчнвость рассматриваемой системы в замкнутом состоянии. 6.40. Построить годограф 67 (г) и проанализировать устг)йчнвость импульсной системы автоматического регулирования с помощЬю критерия Михайлова — Найквнста, если структурная схема системы имеет внд, покааанный на рис. 6,7, б. 6.41. Построить годог(эафы (Р (г) при трех значениях передаточного коэффициента: К, = 1,5 с, К, 2 с ' и К, = 10 с ' н проанализировать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования с помощью критерия Михайлова — Найквиста.
Структурная схема системы показана на рнс. 6.7, а; Т = 0,2 с. 6.42. Построить годограф 67 (г) прн двух значениях передаточного коэффициента: К, = 0,5 с ' н К, = 10 с ' н проанализировать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования с помощью критерия устойчивости Михайлова — Найквиста. Структурная схема системы изображена на рнс. 6.7, г. 6.43. Проанализировать устойчивость импульсных систем автоматического регулирования с помощью критерия Михайлова — Найквнста в зависимости от коэффициента уснлення К, если расположение нулей н полюсов в разомкнутых передаточных функциях показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
