Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Вычетй в этих полюсах обозначим (а +1Ь). 6.9. Вычислить г-преобразованне функции Т, = 1 3 с; $ = 0,832, при Т = 0 1 с. Указание. Использовать результат задачи 6.8. 6.10. Вычислить г-преобразование передаточной функции йг (з) = — при Т =0,5 с. Решейне. Искомое г-преобразование находим по формуле (6,4), где вычеты полюсов данной функции з, = 0 и з, = — 1. Определим по соотношениям (6.4) и (6.6) 1 1" е' 1 ) - х'Л-о +(е 'Г-~ото. 1 (1 — г зео,зх) + Хео,зхО 5г з ) 1 1 — г ! (1 — з ео,х)зх !х -1 1 — гз (1 — 0 6!ог з) — 0,305г з 0 60гзг"з — 0 544г з (1 — 0,610г з)з (1 — г з) (1 — 0,610г з)з 6.И. Вычислить г-преобразование передаточной функции 62 (3) 12,5 гз (1,3 Ф + 2 1,3 0,832з + Н 6.12. Вычислить г-преобразование передаточной функции %' (3) (о+0,1) (4+ 0,4) (зз+0,024з+ 0,4) 6.13.
Найти г-преобразование для системы автоматического регулирования (рнс. 6.1, а) при Т = 0,1 с. 6.14. Определить г-преобразование функции 20 (зз + 2з + 2) (з + 1)з (з + 0,5)(зз + 4з + 5) 6.15. Вычислить г-преобразование передаточной функции К(т,з+ !) зз (Т,з+ 1) (Т з ~- 1) (Тзы + 2Тз5 з+ 1) ' где К=1,98510'! Т,=0,2с; Т,=0,6с; Т, = 0,12 с; Т, = 0,09 с; $ = 0,655, при Т = 0,05 с.
6.16. Найти г-преобразование для системы автоматического регулирования, изображенной на рис. 6.1, б, при Т = 0,8 с. 6.17. Найти г-преобразование для системы автоматического регулирования с ЦВМ, структурная схема которой изображена на рис. 6.2, а. На ЦВМ реализуется программа дифференцирования по методу второй центральной разности. Параметры системы: К=2; Т,=01с; Т,=005с; Т=02с. 396 а) (3 Рис. 6.1, Структурные схемы разомкнутых имнульснесх сисоым аетомотиеымого регула.
роеонии По таблице г-преобразований найдем [17, 381 К(1 — е ') ) КТаг ~О(г) — 3~ге(;,Е+1)(т +!) -( т ГК(Т,+Т,)— + КТ) (1 — а-') Кт, П вЂ” г-х) или после подстановки параметров 0,4г с 0,4 (1 — гт) о,и -, -о,з.~-,- —,—,и=, 0,1(1 — а г) 1 — 0,0135г х 0,152г х(1+ 0,05г х) (1+ 1,0%г х)'. (1 — х ) (1 — 0,135г х) (1 — 0,0 35г г) Передаточная функция всей системы (р (й 2 23г-' (1+ г-') (1+ 0 05г"') (1+ 1,055а-х) (1 — 0,135г Х) (1 — 0,0135г ) (1+4г +г е) 8.18.
Найти г-преобразование для системы автоматического регулирования с ЦВМ, структурная схема которой изображена на рис. 6.2, б. На ЦВМ реализуется программа интегрирования по методу трапеций. Указание. См, задачу 1.106. 6.19. Найти г-преобразование для системы автоматического регулирования с ЦВМ, структурная схема которой изображена на рис. 6.2, в.
На ЦВМ реализуется программа дифференцирования по методу третьей центральной разности. Указание. См. задачу 1.114. мейй а) г) 6) Рис. 6.2. Структурные схемы рогомкнутых цифровых систем аотомотинеского рееулиро- 397 Решение. Программу дифференцирования по методу второй централь'- ной разности запишем с помощью формулы (1.318) в виде 3 1 — а х "о ( ) Т 1 + 4г-х + а-' ' 8.20. Найти г-преобразование для системы автоматического пегулиповання 'с ЦВМ, структурная схема которой изображена на рис.
ь.2, г. г(а ЦВМ реализуется программа интегрирования по методу Рунге — Кутта 3-го порядка. Указание. См. задачу 1,108. 6.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТЫХ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 6.21. Для импульсной системы автоматического регулирования, изображенной на рис. 6.3, а, определить преобразование Лапласа выходной величины Х (з), а также передаточные функции Ф (з); Ф' (з) и Ф (г). Решение.
Рассмотрим вначале внутренний контур, выделенный штриховой линией на рис. 6.3, а. Для него справедливо соотношение Хз(з) = Е1(з)%'з(з)%,'з(з). (6.7) С учетом выражения Ез (з) = (Е! (з)1, где Е, (з) = Х, (з) — Х, (з), имеем Ее (з) = Хз (з) — Хз (з). Подставляя выражение (6.8) в (6.7), получим Хз (з) =~ [Ею (з) % з(з) (Рз (3)) (Хф (3) — Хз (з)19тзВз (3), откуда (6.8) У У'(1 (6.9) Так как Х (з) = [Х1 (з) — Хз (з)1 (Рз (з), то с учетом соотношения (6.9) получим вези Риа ь.г. Структурные схемы замкнутых импульсных сиспым рееулироеание при различном мслючении импульсноео элемента 398 Таким образом, передаточная функция внутреннего контура (6,10) Теперь запишем выражение для изображения ошибки системы Е (я) = 6(в) — Е (в) ]]у~ (я) Г»(в) В'» (в); тогда Е*(я) 6 (я) — Е (в)(]71 (в)яг»йг4 (я), откуда, Е' (я) = .
. 6* (я). (6.1 1) 1 + Иг» (в) н'»ж'» (в) Так как изображение выходной величины Х (я) Е (я) йг1 (я) йг» (в), то с учетом выражений (6.10) и (6.11) окончательно имеем Яг( (8) М '» (5) Х(я),+,, + (6.12) Соответствующая дискретная передаточная функция замкнутой системы Х' (в) Яг( бб и'В (3) Применяя к полученному выражению г-преобразование, найдем Ф(в) '(в) ' в) . (6.14) 1+ Яг»аг» (в)+ 1Г»(г) Мг»аг» (в) где 6, (в) = 6 (в)!%'» (я), откуда Хв (я) — ЯГд((гв (я) — Хв (в) ЩГяйув (в), или оагЖ м) Хв (я) 1+и 1я Мг," 09 (6.16) Подставляя выражение (6.16) в соотношение (6.15), найдем ( в ) 6 ( в ) ] 1 ( в ) ] р ( ) о а 1 и» ( в ) а 1 ( в ) а» (» ) в» ( в ) 1+ у1аг»аг» (в) Так как Х(в) « — Х,(в), 1 н»(в) окончательно получим Х (в) 6 (я) 97 (в) бж!(к» (в) 371 ( ) агз (в) 1+ ~',аг ю1 (в) (6.17) 399 6.22.
Для импульсной системы автоматического регулирования, изображенной на рис. 6.3, б, определить выходные сигналы Х (я) и Х (г), а также передаточные функции разомкнутой системы (Р* (я) и Яг (г). Решение. Для удобства нахождения передаточных функций преобразуем исходную структурную схему системы к виду, показанному на рис. 6.3, в. В соответствии со схемой запишем Хя (я) 16» (в) — Хв (я)] йГ» (в) Я7я (в) Ягв(я), (6.16) Ркс. 6ив Структуртее озими измккутик имиуезскзт аз стем ртузирооакии обизиоаз и комбикироеаккоео отти а) г) Согласно выражению (6.17) имеем Х*(з) ~„.(з) ~,~~()~,~4() 1+ (г,багз(у; (е) поэтому Х(г) щт ( ) б»рз(уз (е) (Узагз (е» 1+»Уз)(ез»рз (е) Передаточные функции разомкнутой системы 1е'(з) = »ГЛМ'з(з) (6.18) (6.19) ((Г (г) = ))7з((рзВ'з (г). (6.20) 6.23.
Определить передаточные функции»»Р (г) и Ф (г) для импульсной системы автоматического регулирования, етруктурная схема которой нзображсна на рис. 6.3, г. 6.24. Для импульсной сиатемы автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на риа. 6.4, а, определить выходной сигнал Х (з) и передаточные функции йз (г), Ф (г). 6.25. Для импульсной системы автоматического регулирования, структурная схема которой показана на риа.
6.4, б, определить изображение выходного сигнала Х (з), а также передаточные функции разомкнутой анстемы Игз (з) и В'(г). 6.26. Определить передаточную функцию Ф' (з) относительно управляющего воздействия для импульсной системы автоматического регулнро- 400 вання, структурная схема которой изображена на рнс. 6.4, в. Найти изображение выходной величины Х (з).
6.27. Определить выходной сигнал Х (г) в импульсной системе автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на рна, 6.4, в. 6.3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Аач.О для нечетных й; А,>0 для четных й, где А, — определитель Шур-Кона вида (6.22) а„О 0 ... 0 1 а1, а аа ! а„О ... 0 О 1 а1 а, „... О О О аа„! а, О О О 0 а„а„,,а„з... а ~+! а„а„!... а „+з О О О а„... а„ав3 аа-а+1 аа-в+а ав-а+в о о а, 1 О а2 а! 1 (6.23) Ф ал аа ! а з а„' з ... 1 0 0 0 где й 1, 2, 3, ..., и; а!, аз, ...
а; — сопряженные значения коэффициентов уравнения (6.21). Для характеристического уравнення 2-го порядка 0 (г) = га + аг + Ь = 0 (6.24) условия устойчивости Шур-Кона будут: а) 1 0 (0)! < 1; б) 0(1) ) 0; (6.25) в) О( — 1) >О. Геометрический критерий устойчивости Михайлова — Найквнста по расположению годографа функции (Р (г) относительно точки с координатами ( — 1; 10) позволяет судить об устойчивости н неустойчивости импульсных илн цифровых систем регулирования П7, 381. Прн определении устойчивости импульсных н цифровых систем автоматического регулирования применяют алгебраические н геометрические критерии устойчивости, которые используют в зависимости от формы представления уравнений динамики или передаточной функции разомкнутой системы.
В фо р ме г- п р е об р а во в а н и я. Алгебраический критерий Шур-Кона по характеристическому уравнению замкнутой системы 0 (г) = 0 позволяет судить о расположения корней на плоскости г. Корни характеристического уравнения 0(г) г" + а1г"-'+ааг"-'+ *+а„!г+аа = 0 (6.21) будут лежать внутри единичной окружности (что указывает на устойчивость системы), если коэффициенты уравнения (6.21) удовлетворяют следующим условиям: — 0,00506 0 1 — 1,014456 0,302017 — 0,00506 0 1 1 0 0,00506 0,302017 — 1,014456 1 0 — 0,00506 аз 0 1 а, ао ав 0 1 0 аг а, а, 1 0 а, =* 0,970; — 7,0)вввв ! о О.Э02017 — о.апов о о о о.ооап 0 о ! о,зов!77 — 7,0!Овм ! — !.070)М о,зомп -о,ооап — о,аап О.ЗОЮ77 - !.Оивм 1 — 7, 070)66 о,зоз)п о — о,ооап о,зомп о 1 — !.оьим 1 о о -о,епсв о о 1 о, а, 0 ! а, о о о о а. г~ 0 а, аз а, о о а, аз а, г, о о г, а, ! 0 гг гю О,В < О, рассматривая которые делаем вывод — импульсная система устойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
