Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 65
Текст из файла (страница 65)
6.9, а — г. В ф о р м е в-п р е о б р а з о в а н и я. Для приведения передаточных функций разомкнутых систем ((7 (г) и характеристических уравнений замкнутых систем (г (г) к 10-форме пользуются билинейным преобразованием Хе Хе а) Хе гл Рис. б.у. Раснолохсение нулей и номоеое е нередаточных функциях раншкнуненх имнулго. них сиспим аеоигманиснеского регулиромгнил 6.44. Исследовать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой 0 (з) Ззг +2з' +За + ! О. Решение.
Податавляя соотношение (6.26) 'в последнее уравнение, получим 5 (1 + в)' -1- 2 (1 -1- в)' (1 — в) -1- 3 (1 -1- в) (1 — в)' + (1 — в)' О, или 5во +1Зв' +1!в +11 О. Для анализа устойчивости этого уравнения используем критерий Льенара-Шипара а,пе — а, >О. Подставив аоответствующне числовые значения, найдем 1З.П вЂ” 5 11 ° 88 ) О.
Следовательно, рассматриваемая импульсная система автоматического регулирования устойчива. 6А5. Проанализировать устойчнвоать импульсной системы автоматического регулирования в зависимости от передаточного коэффициента К, если ее передаточная функция в разомкнутом аостоянни имеет внд кх ом -; —,—;и-е-. Решеняе. Применяя билинейное преобразование, найдем ®,( ) К (!+мП1-м! 4 сг откуда нетрудно получить характериотическое уравнение О (в) = 1 + !Р (в) = О, или 0 (в) = 4в + К (1 + в) (1 — в) О. 407 После преобразований, имеем — Кю'+4ш+К =0 4 ч- у)а-)-4лв вк откуда видно, что при любых К > 0 имеются корни с положительными вещественными частями и система регулирования является неустойчивой.
6.46. Исследовать устойчивость импульсных систем автоматического регулирования с помощью критериев Гурвица и Рауса. а) 17 (г) = г' — 1,014456г' + 0,302017г — 0,00506 = 0; б) 1) (г) = га — 2,51037г' — 2,0225г — 0,51197 = 0; в) Е)(г) =г'+г — 0,5=0; г) 17 (г) = г" — 1,03г' — 1,32г -1-0,0044 = 0; д) 17 (г) = аз — 1,5г + 1,5 = О. а) 47 Рис. б.И. Гадоара4а ааракрмраармя а ()о) Олз раэомаармнз раррма ааеааиамэ (ВОФО рярАареазная 6.47.
Иаследовать уетойчивоеть импульеной еиетемы автоматнчеекого регулирования на плоекоети И'(уо) а помощью критерия Михайлова— Найквиета, еели 2аэ Решение. Применяя билинейное преобразование, получим б (1 — абз )б (ар) за ° В поеледнее выражение подставим в )и, тогда найдем (б — 1О)и — бо') ) о Задаваясь различными значениями псевдочастоты о (от 0 до оо), получим годограф В' (1о), изображенный на рис.
6.10, а, Как видно из рисунка, годограф полуохватывает точку ( — 1; 10) в отрицательном направлении Ч, раза, что указывает на неустойчивость импульсной системы автоматического регулирования в замкнутом соетоянии. 6.48. Исследовать на уатойчивость систему автоматичеакого регулирования иа плоекости )Р ()о) в зависимоети от передаточного коэффициента с помощью критерия Михайлова — Найквиста, сели Ке (а-1)(а+О,б) ' Решение. Применив билинейное преобразование, получим К(1+ сг! (! — в) эв (0,33в+ 1! Подставляя в последнее выражение сэ = 10, запишем К (1 + /и)(1 — )г) 3 )сс(0,33!Ь + 1) нлн К 0,33г (1 + эг) .
3 1,12гг + а К гг+1 У (и) 3 1,12гг + г ' (6.27) К(э+076 а) %'(г) (, 1 (, + ) 1 б 97 К(г — О 6) (г — 1) (г + 0,6) ' Кг в) (р(г) = . 1,363г+0,3631 К (1,26гс + 0,643г' — 0,227гг — О, 102г — 0,02) эгг — 3,60гс + 1, 127гг + 0,247гг + О, ! 26г — 0,006 6.60. Исследовать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических характеристик и определить запасы ее устойчивости по фазе н модулю, если передаточная функция системы в разомкнутом состоянии 0,0013 (г — 0,934) (г + 0,922) (г — 1) (г — 1,0067) (г — 0,61) Решение. Используя билинейное преобразование, получим 2,1(293в+1! (004в !! (1 — в) )(7 (сэ)— си (! 196в — 1) (3,03в + 1! 409 С помощью выражений (6.27) можно построить годографы 67(уи) прн различных значеннях передаточных коэффициентов К.
Возьмем сначала К = 0,1 а '. Соответствующий этому значению К годограф 97 ()и) построен на рна. 6.10, б (кривая 1). Из данного построения вндно, что импульсная система регулирования устойчива. Увеличивая значение коэффициента К до 1 с ', получим годограф 2. Как видно нз рис. 6.10, б, годограф проходит через точку ( — 1; !О), что указывает на нахождение импульсной снатемы на грани устойчивости, и прн К = 3 а ' годограф 8 охватывает точки ( — 1; 10) в отрицательном направлении, что соответствует неустойчивости системы. 6.49.
Исследовать на устойчивость импульсные снэтемы автоматического регулирования на плоскости %' (! и) в завися)гости от параметра К с помощью критерия Михайлова — Найквиста, если их разомкнутые передаточные функции имеют следующий вид: Е,дб лье Н(ч) чо 7 Т бге) м -(ч) с~с -)ад )б-г )р г )Р 7Р Рис. б.ы. Логарифмические амнликчеднгм и (Ьггоаии «аракнмрисиими имнрлисноа сисамми амиогимиичеасаго ренелироеании Подставим в последнюю формулу в )О и построим логарифмическую амплитудную характеристику Н (О) (кривая 1 на рис. 6.11). Фазовую характеристику будем вычислять по формуле 8 (О) — -к- и + агс18 1196п+ агс18 29,3р — ага!8 3,08О+ + агс180,04О- агс18п. Задаваясь различными значениями псевдочастоты, получим фазовую характеристику (кривая 2).
Учитывая сомножитель —. в передаточной функ! )о ции системы, необходимо в фазовой кривой добавить дугу бесконечного радиуса, которая показана на риа. 6.!1 штриховой линией. При этом число переходов фазовой характеристики оси — и при Н (р) > 0 будет 1 — —, 1 9 1 -~-. Так как в передаточной функции системы имеется один полюс вне 1 ! окружности единичного радиуса, то -4- из —, и рассматриваемая импульс- 3 ная система устойчива в замкнутом состоянии. Данная система регулирования на псевдочастоте среза и, = 0,022 обладает запасом устойчивости по фазе т, = 76'. Запасы устойчивости системы по модулю показаны на рис.
6.11 и составляют Нм = 28 дБ и Нм — 34 дБ. 8.61. Исследовать устойчивость импульсной системы автоматического регулирования а помощью логарифмических характеристик и определить их запасы устойчивости по фазам и модулю, если передаточные функции систем в разомкнутом состоянии имеют следующий внд: 0,00137 (г — 0,977) (г + О,ВОЗ) . (г — 1) (г — 0,999) (г 0.51) 0,00193 (г — 0,996) (г+ 0,966) .
(г — 1) (г — 1,ООЗЗ) (г — 0,51) О, 159 (г + О, 05) (г + 1,065) (г — 1) (г — 0,135) (г — 0,0186) ' 410 8,5 (г + 1) (г + 0,303)(г — 1,65) ' ) йр( ) 0,0465(г+ 5,83) (г+0,17) (г — '0,66) (г — !)г(г+ 0,35) Определить запасы устойчивости систем по фазам и модулям. 6.52.
Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для импульсной системы автоматического регулирования по параметру К с помощью метода логарифмических характеристик, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии К (! + 0,05г)(г + 1,065) (г — 1) (г — 0,135) (г — 0,0185) ' 6.53. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для импульсной системы автоматического регулирования по параметру К с помощью метода логарифмических характеристик, если ее передаточная функция в разомкнутом состоянии К(г — 0,984) (г+ 0,808) (г 1) (г 1 000 (г 0 5!) 6.54. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний по параметру К для импульсных систем автоматического регулирования, пользуясь методом логарифмических характеристик.
Структурные схемы импульсных систем показаны на рис. 6.7, в и г. 6.55. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний по параметру Т, для импульсной системы автоматическогО регулирования с помощью логарифмических характеристик. Структурная схема импульсной системы изображена на рис. 6.12, а. 6.56. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний по параметру Т, для импульсной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических характеристик. Структурная схема системы изображена на рис. 6.12, б.
6.57. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний по параметрам К и Т, для импульсной системы автоматического регулирования с помощью логарифмических характернстик, выдерживая запасы устойчивости по фазе у, = 30' и модулю Ом ~ — 10 дБ, Структурная схема системы изображена на рис. 6.12, в. 6,58. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний в цифровой системе управления с помощью логарифмических частотных характеристик в зависимости от параметров К и Т. На ЦВМ реализуется программа дифференцирования по методу второй центральной разности. Структурная схема системы изображена на рис. 6.!3, п. Рис.
5.!л Структурные схема замкнутых импульсных систем регулирввинин 411 Рее. б.>б. Струне>урнмв пвенн нлпкнуен>к ци>ррсемх еие>нее> ре- еуепрееенне ) 6.69. Построить области цбн устойчивых и неустойчивых т е.»с е("»~»)("еем») состояний в цифровой системе управления с помощью б) логарифмических частотных »-е "» " Цбе» х. »„, от паРаметРов К н Т,. На б Еууе~» т Едбе ЦВМ реализуется днфференцнрующее звено первого б) рода с передаточной функцией Т,з -1-1 по методупервой центральной разности.
Структурная схема системы изображена на рнс. 6.13, б. 6.60. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний в цифровой системе управления с помощью логарифмических частотных характеристик в зависимости от параметров К н Т, нлн К н Т,. На ЦВМ реализуется динамическое звено с передаточнон функцией 7 + ! по методу Эйлера (см.
.т, +! Тве+ ! приложение ХУ). Структурная схема системы изображена на рнс. 6.13, в. 6.4. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ИМПУЛЬСНЫХ И ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ по соотношению Х (г) = Ф (г) б (г). Прн этом пользуются формулой обратного г-преобразования х (кТ) = —. у Х (г) г"-' е(г. ! е у)у» (6.29) (6.30) На практике применяют четыре способа вычисления обратного г-преобразования: 1-й с п о с о б. По теореме вычетов Коши значение интеграла (6.30) определяют как сумму всех вычетов внутри контура Г, т.
е. х(кТ) = ~~~~ Вез Х (г)г"-'. по всем поев>свм *» 2-й с п о с о б. Функцию — разлагают на простые множителя, чтобы Х (е) обратное г-преобразование каждого члена, умноженного на г, можно было найти нз таблицы обратных г-преобразований [17, 381. З-й с и о с о б. С помощью разложения Ф (г) в ряд по степенял» г-' (» = = О, 1, ...> и), получаемого путем последовательного деления.
412 Показатели качества импульсных н цифровых систем а»»томатнческого регулирования определяют с помощью передаточных функций замкнутых систем Ф()-,,'*' (6.28) 2т з(~~~! ( з!а гонт ) ( з!в кззт ) 11 (6.32) или И(гТ) = — з1 коз [1 — 2оэ, ( ~~'~' ) ( ' )~, (6.33) З-1 и таблиц функций — и — находят значения дискретной весовой функз(а к сок к к к ции И (гТ) замкнутой системы. Реакцию системы регулирования на единичное ступенчатое воздействие вычисляют по формуле к х (кТ) ~~~~~ И (тТ). т=о (6.34) 6.61. Построить переходный процесс в импульсной системе автоматического регулирования, имеющей 0,632г — 1 368г+0 368' при действии управляющего сигнала я(1) = 111 и определить основные показатели качества.
Решение. Определим замкнутую передаточную функцию импульсной системы: В' (г) 0,632г 1+ 37 (г) гз — 0,736г+ 0,368' (6.35) Найдем а-преобразование от управляющего сигнала: 1~ г (6.36) С помощью выражений (6,35) и (6.36) получим 0,632г г гг — 0,736г+0,368 г — ! ' (6.37) Пользуясь выражением (6.37), можно определить переходный процесс в импульсной системе в тактовые моменты времени и основные показатели качества четырьмя способами. 1-й с п о с о б.
Перепишем выражение (6.37) в следующем виде: 0,632г (г — 1) (г — (0,368+ 0,482Я (г — (0,368 — 0,4821)1 ' и вычислим вычеты по всем полюсам выражения (6.36), т. е. Вез Х (г) г -' = 1; г,=1 Вез Х (г) г" — ' = — 0,5 (0,606)' е7'к~; г,=о,мз+! ода Вез Х(г)г" ' — 0,5(0,606)" е — гомо. и о.ззз-! о,ззз 413 4-й с п о с о б. По номограммам приложения ЧП1 определяют вещественную Я*(оз) или мнимую 3* (оз) частотные характеристики замкнутой импульсной системы автоматического регулирования. Эти характеристики разбивают на трапеции и с помощью формул Рие. 6.14. Хараииириетииа лереиоояеаеи е имлаеигиоа еиеимме аееогиииииеааио рееве иро. Пользуясь формулой (6.31), найдем х(кТ) = !в — (0,606)" соз 0,92 к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
