Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Будем считать, что управляющий сигнал представляет собой последовательность б-функций, а включение исполнительного устройства происходит с определенным тактом Т. Пользуясь г-преобразованием, передаточную функцию системы агав Р() (т +1) представим в виде ~„~ г ~ж,(~ — ') Р)- (,„,+1) ~3 ! т ) (е — 1) ~в — е На управляющее устройство действует единичный скачкообразный сигнал У (1), поэтому т, (1 в т,/гв (г — 1)в(в — е ' ) (7.28) Параметры экстремальной системы: Т, 2 с; й = 0,5; У = 0,1 рад7с; вона нечувствительности измерительных средств С * 0,5 кг(смв( начальное состояние системы х, = 2 рад, 7.12.
Определить амплитуду, частоту предельного цикла, время выхода к экстремуму и величину зоны потерь на поиск с помощью фазового портрета шаговой экстремальной системы автоматического регулирования о запоминающим устройством (рис. 7.7), когда объект регулирования описывается уравнениями аг 7в — +х йх,; ит (7.24) у = — )в,хь т ы+и а,о е ' а,о,е т (7.29) х(кТ) — ''(кТ) т 1 — о т ! — е откуда определим первую разность выходного сигнала в виде т ~"+ ~~ т Ьх„=. к,к,(1 — е (7.30) Для нахождения уравнений фазовых траекторий необходимо из формулы (7.29) исключить параметр кТ.
Для этого составим из выражения (7.30) следующее соотношение: т 7 к аде — ахе (7.31) ФФФ 'l'ю ' откуда кт= Т,!и '~' Т. Ф~ое — Ьее (7;32) Подставляя выражение (7.32) в формулу (7.29) и принимая + ы+и~1 Лх„й,йе 11 — е " 3 у', (7.33) найдем (7.34) Пусть начальные условия х = х„у' = уо, тогда С=х '+ — "1п ~ ! — — !+ Мет ~ уе Уо т ~ . о,о, ~ -т~т, (7.35) Подставляя соотношение (7.35) -в выражение (7.34), запишем х х, — — -о-т-"- !и ~ 1 — — 1+ д' — до аз т.
д т ! а,о, (7.36) При выбранных начальных условиях и числовых значениях параметров выражение (7.36) примет вид х 2 — 1,2у'+ хо !п!1+ 10„'!. - (7.37) Для определения уравнения линии переключения подставим в соотношение (7.26) следующие выражения: у, е,хе; ул-т~ — й1хо ь' (7.38) Уо — — з!йп (й,х„' — Й,хо 1 — 2С) У (7.39) С помощью обратного г-преобразования (см. 117, 38!) из выражения (7.28) найдем Имея в виду, что х„х„, + Ьх„х, + у", получим й!(4 — 4 !)-й!(хл !+У')' — й!4 1=:~2й!хну'+э!У . Положив У„= О, из соотношения (7.39) найдем 2й,х,у' + л,у'а — 2С = О, (7.40) (7.41) отнуда х 1У 2с — а а-т (7.42) Пользуясь выражением (7 42), запишем уравнение линии переключения в виде о ! (7.43) и для У„) 0 цо уравнению х = 2 + 1,2у' — -~- 1п ! 1 — 10у' ~.(7.45) На рис.
7.8 по уравнениям (7.44) и нас. У.а. Фоэпвма юрерпэ эиачмлав- (7.45) строим фазовые траектории — чэа ээ®"~ээмаэ" ~асанам !м~жчуээь них а виоминакицим уаэууаеаюа кривые 2 и 3. Затем находим участки фазового портрета 4 и б. В результате получают замкнутую кривую (предельный цикл). Для нанесения соответствующих отметок времени на фазовую траекторию необходимо определить величину разности входного сигнала. Воспользуемся формулой (7.30); тогда Лх. 1 0,111-е ' 1 0,0985 рад. Разобъем ось абсцисс на отрезки Лх, начиная от точки х,= 2 (точка А на рис. 7.8). Окончание 1-го шага (точка В) совпадает с точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из конца отрезка Ьх до пересечения с фазовой траекторией (точка 1'), н т.
д. Пересечение фазовой траектории с линией переключения происходит на 26-м шаге в точке С. Поэтому время выхода системы в точку экстремума будет 1 =26Т=26 4=104 с. Амплитуду автоколебаний А. на выходе также определим по рис. 7.8. Пользуясь цифровой разметкой шагов, нанесенной внутри замкнутой кривой, находим количество шагов, соответствующее амплитуде автоколебаннй. Количество шагов равно 6. Следовательно, 0,1 !2 А, — '' 0,6 рад. Задаваясь различными значениями х по выражению(7.43), построим кривые 1, 6 (рис. 7.8), которые и представляют собой линии переключения.
фазовые траектории можно пост- роить по участкам для У„<0 с помощью уравнения х 2 — 1,2у'+ — 1п ~ 1+ 10у'( (7А4) При малой величине шага (примерно равной 0,1 рад) вону потерь на поиск можно определить по формуле р= 3,4,= 3 -0.2 рад. ! О,б 7.13. Определить амплитуду, частоту предельного цикла, время выхода к экстремуму и величину зоны потерь на поиск в экстремальной системе автоматического регулирования с запоминающим устройством (рис. 7.9), когда уравнения статики и динамики имеют следующий вид: йх' Т,— +х =йох,; йг 7ь ~ +" = йьхэ' йх" р = А,'х'+ й,х~; — ~-- й,и, йх Рш. т.у.
Структурная схема экстремальной деухканаль- аой еиеаемм регулирования с эаламинающим уетройетеом где Т, = !00 с: йь = 1; й; = 0,1; й", = 0,4; й, = 0,4 рад/с; У = 1 рад/с. Точность поиска С = 2ь4, Т = 50 с; начальные условия х,' = 10 рад; х", 50 рад. 7.14.
Определить амплитуду, частоту предельного цикла, время выхода к экстремуму и величину зоны потерь на поиск в экстремальной системе автоматического регулирования температуры с запоминающим устройством (рис. 7.7), когда уравнения статики и динамики имеют следующий вид: Т,— „+ р,-йд; йуе 636+ 4,6х э ээ *уоэ~ Р *кьее э~ 3366+ 4,бх р= (О. + О, 3 при х) 5,28 кг(с; йх — Ц, где Т,=10 с; й,=1; С=30ьС.
Начальное состояние объекта регулирования х, = 6 кто; у, = 1760' С. Указание. После вычислений статической характеристики объекта регулирования необходимо определить интерполирующий полипом второго порядка для экстремальной функции с помощью формулы Лагранжа. 7.15.
Определить амплитуду, частоту предельного цикла, время выхода к экстремуму и величину зоны потерь на поиск в экстремальной системе авто- 436 Полное число шагов предельного цикла также найдеМ из рис. 7.8. Оно равно 26, поэтому период автоколебаний системы Т,=26 4=104 с, или ео — = — ' 0,06 с" . 2н 6,23 т, = 164 магического регулирования с запоминающим устройством (рис.
7.7), если ее уравнения статики и динамики имеют следующий аид: ах Т,— +х йх; й у — /ггх~', 2. — -У ик, /г е где Т, = 0,5 с; ка = 1; /г, = 2; Т = 0,05 с; У = ! рад/с; С = О,1; ха = 1; ус=2. 7.16. Построить фазовый портрет для экстремальной системы автоматического регулирования с запоминанием и определить время выхода к экстре- '1 дельного цикла, если Г,7 объект и устройства регулирования описываются следующими уравнениями: ик Т,— +х=й,х; лг у = — Й,х; е.
— У, сгяе щ Рис. 7 /О. Структурная схема екстремаяьнаа сис~пемы ре- яг, (з) —,1 ае . Тес+ 1 ае (7.47) 117е(а) = ° уе Тес+ 1 гдей,=0,001 1/с; й,=1; хе=1; Т,=100с; Т,=10с„С 0,5рад; У = 100. решение. Выделим в экстремальной системе автоматического регулирования две части: линейную — с передаточной функцией уейа е(Т,е+ 0 и нелинейную — с эквивалентной передаточной функцией ,/„(А, а).
где Те = 100 с; й,=0,1; У=0,4рад/с; С = 2%; х, = 10; период срабатывания шагового искателя Т = 50 с. 7.17. Построить фазовый портрет для экстремальной системы автоматического регулирования с запоминанием, определить время выхода к экстремуму и параметры предельного цикла, если система описывается уравнениями (?.46), а ее параметры будут Т, = 100 с; йе = 1; /г, = 0,4; У = 0,4 рад/с; С = 2%; хе — — 50; Т = 50 с. 7.!8. Определить методом логарифмических эквивалентных частотных характеристик амплитуду, частоту автоколебаний и величину потери на поиск в экстремальной системе автоматического регулирования, структурная схема которой изображена на,рис. 7.10.
Передаточные функции системы имеют вид Линейное звено В', (з) обеспечивает хорошую фильтрацию сигнала д, поэтому можно считать, что гС 1 Чп(А»»»з)а~в! (А,)дз л /» » (7.49) где С вЂ” зона нечувствительности реле. Амплитуда на входе второго нелинейного элемента Аз связана с амплитудой на входе первого нелинейного элемента зависимостью А, А,у, (А,) а» ь'тт»»»+1 (7.50) а,(А,)* — ) г(х)з1п2ф»(ф; о (7.51) Ь, (А,) — ) д (х) соз ф бф. ' о (7.52) 17ля нелинейности », имеем Р (х) = — йзхз, (7.58) х А,з1пф.
(7.54) Подставляя эти выражения в формулы (7.51) и (7.52), получим а,(А,) — — „) з(п" фз1п2ф»(ф 0; та»А о (7.55) Ь» (А ) — — ' ) з1п' 9 сов 2ф»1»р о (7.56) При й» 1 найдем значения эквивалентных амплитудной и фазовой характеристик: д»(А») ~а((А»)+ Ь1(А») (7.57) р, (А,) агс(н — 1- = —. Ь»(А) и а»(А») 2 ' (7.58) В экстремальной системе регулирования нелинейный элемент 7» состоит из последовательного соединения идеального реле с зоной нечувствительности С и нелинейного логического элемента. На вход первого элемента У, поступает сигнал х(1) А,з1пв(, а на выходе образуется сигнал з т у(1) А,з1п(2в(+ — ~. Соответствуюшие виды сигналов в системе изображены на рис.
7.11, а и б. Величина фазового смешения р, на рис. 7А1, б отложена относительно принятой точки отсчета 0 влево. Сигнал д(1) посту- 436 В полученном выражении было принято, что частота колебаний на входе обьекта в 2 раза меньше частоты колебаний на выходе. Это соответствует нормальному режиму работы экстремальной системы в области экстремума. Поэтому при определении коэффициентов гармонической линеаризации следует пользоваться формулами ю Рис.
7.1!. Вида ессдисео и те!одесса аалаесе е мсстремиеелса системе 1 д и7ЛВ) пает на линейное звено с передаточной функцией Ф~(в), которое вызывает фазовый сдвиг Ое(се) — агс(п2сеТе и изменяет амплитуду в е' 471ае + ! раэ. В результате этого образуется сигнал г(И) (рис. 7.11, в), который н поступает на нелинейный элемент !е (рис. 7. 11, г). Так как сигнал на выходе Хе смещается на угол !х, то формулы для коэффициентов линеаризации относительно точки О, имеют следующий вид (см; рис. 7.11, д): л+а а и+а а(А ) лА ) г (з) в!и ф !!!р лл ) в!пф!(ф лэ- ) в!пфс!ф 1 У У -л+а ел+а а л+а л д в!пф!(" л 2У 4У сое а, Ь(Ае) — ) )с(г)совф!гф — ~- ~ совфс!ф- — ~ совфс(ф— 1 У У л+а и+а а сов ф оф сУ 4У с!и и а (7.60) ре (Ае) — агс1д ~ — "~ — а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
