Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 72
Текст из файла (страница 72)
7.8. Таблица 7.б Режимы Наине»о»акме оараметроа объект» м Таблица 7.7 Таблица 7.6 450 ----- — --- 1 Феделе г 1 МАлю 1 г б7 Рис. 7.2д. Структурные схемы самонастраивающихся систем авоюмативеаамо регулирования с еталонными моделями и сигнальной «омненсаяией (7.86) (7.87) Вычитая уравнение (7.86) из выражейия (7.87) и вводя обозначение егв1 = угв1 — хе"1 (и О, 1, 2), (7.88) составим уравнение ошибки е+ а,е+ аое [й„— ге,'я(1)1 3 (7.39) или а+аз+из= уд (7.90) где (7.91) 7 = й„— й,я (1). Выберем функцию Ляпунова в виде квадратичной положительно определенной формы фазовых координат н разности коэффициентов усиления [7 = зв + авее + е.ув, (7.92) где г, — положительная постоянная.
Рис. 7.7д. Структур«ею схемы самонастраившощихся систем автоматиееского регулирования с моделью и яерестройкой коеФФиииента йв 1оь Указание. Параметры эталонной модели й„, Т„выбирать как среднее арифметическое значение й, и Т, (табл. 7.8). 7.36. Найти алгоритм перестройки коэффициента усиления й, из условия устойчивости процессов в системе с эталлонной моделью для компенсации изменения во времени коэффициента передачи объекта я (1). Структурная схема системы показана на рис.
7.26, а. Решение. Основная система и эталонная модель (рис. 7.26, а) описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка х+а,х+а х й,)е(1) д; у+агу+аоу ~к 3. Полная производная по времени функции (7.92) имеет вид — = 2е е + 2авее + 2177. (7.93) ((У Таблица 7.8 "ли о ил лл л „ло хаий Режлии Из уравнения (7.90) найдем выражение для второй производной ошибки и, подставив ее в формулу (7.93), получим — = 2еду — 2а,ев + 27(77. (7.94) Н'в' 7,2 0,55 8,0 0,25 3,2 0,40 2,5 0,60 4,0 1,30 ав То Так как второй член в правой части выражения (7.94) всегда отрицателен, то для обеспечения иеположительности производной функции Ляпунова, т.
е. для достижения устойчивости процесса перестройки, достаточно выполнить условие 2еду+ 2177 < О, откуда следует где 7( = Ь, — (аа + А (1) св); ув = Ь, — (а, + /г (1)с(); ув = лл лая(Г) (7. 102) 452 (7.95) Предполагая квазистационарность изменения коэффициента Й, из формулы (7.91) получим 7= — Ь,й. (7.96) С помощью двух последних выражений определим алгоритм перестройки 3 - — д. 1 Ю Структурная схема синтезированной системы управления показана на рис.
7.26, б. 7.37. Определить структуру закона управления и алгоритм перестройки его коэффициентов, обеспечивающих компенсацию нестационарности параметров объекта управления, если объект управления и эталонная модель описываются дифференциальными уравнениями второго порядка: х +ав(1) х + а, (1)х = Й (Г)(7; (7.97) у'+ ь,у+ ь,у- ь„й(, (7. 93) где й (1), а, (1), ав (1) — переменные во времени коэффициенты объекта управления; Ь„, Ь„Ь, — постоянные коэффициенты модели; у — входной сигнал: х — выходной сигнал объекта; у — выходной сигнал модели.
Решение. Составим уравнение относительно ошибки между эталонной моделью и объектом управления: е + Ь,е + Ь,е = (ав — Ь()х+ (ав — Ьв) х + д(й„— й (1)), (7.99) где е(л( у(л( х(л( (и 0 1 2). Свойство самонастройки в приведенной системе с моделью может быть достигнуто с помощью перестраиваемых коэффициентов й„с, и с,. В этом случае выражения (7.97) и (7.99) соответственно принимают вид Х + (а, + С,) Х + (ав + Св) К = й, Ь (1) (7; (7.100) е + Ь,е + Ьв = уву — увх — у,х, (7.101) Вводя обозначения ена х представим выражение (7.101) в виде векторно-матричного уравнения и Ах+К (7.103) где 0 1 0 0 0 1 — ь. — ь, — /,~ О 0 7ва 7зх 71х и зв ев В качестве функции Ляпунова выберем положительно определенную квадратичную форму э Р-и Рх+ 3 Х~7), (7.104) где Х,— положительные постоянные.
Полную производную функции Ляпунова найдем следующим образом: э (7 и'(А'Р+ РА) х+ 2х'РИ+ ~~, 2Хд,7, = з 1 (7. 106) 1 7э в, (Рщеэ+ Рщев+ РиЕа) х~ 1 7з = М~~~ + Рщх~+ Рщез) х аз 1 7з 1,з (Рщеэ+Рщев+Рзааа) Я. (7.103) Из уравнений (7.103) и (7.102) находим алгоритм перестройки при квазистационарностн изменения коэффициента а в виде 1 Й, — (рще+ рще + р„е) с; 1 с, — (рще+ рще + рщх) х', 1 с, -з)(- (рще + рще + рще) х. (7.109) э = — хтЦх+2И'Р77+ ~2йэ7вуо (7.105) где хтфф хт (АтР+ (оА) и Известно, что для положительно определфниой матрицы Р и неособой матрицы А матрица Ц является также положительно определенной.
Таким образом, для обеспечения устойчивости процессов перенастройки коэффициентов системы необходимо выполнить условие а 2и Ри+ Е 2),,7,7, ~ О. ! 1 раскрывая это выражение, перепишем условие устойчивости в виде в 2(рщх,+ Раааа+ Рщхз) (7зс — 7,х — 7,х) +,~„2ЛД,7з ~ 0; (7.107) ~=! Соотношение (7.107) удовлетворяется, если выбрать Значения коэффициентов р„, р„, р„выбираем из условия обеспечения положительности матриц Р и 9. Структурная схема сннтезируемой самонастраивающейся системы с эталонной моделью показана на рис. 7.27.
7.38. Определить алгоритмы перестройки, при которых достигается равенство коэффициентов усиления й(!)й, = Ф„, если объект управления и эталлонная модель описываются уравнениями 3-го порядка: х + а,х + а,х + аех = й,й (Г) й; у+Ь,у+Ь,~+Ь,у=3 и, где а, = Ь; (1 = О, 1, 2). 7,39. Определить алгоритмы перестройки, осущеРис. 7.27.
Структурная схема самонастраиеаюи)едся ствляющие компенсацию несистеми аеиюматииес ео рсеуеироеания с моденою стацнонарности параметров и аеуестуодкоа каРаметРое ае, се и се объекта управления, если объект управления и эталонная модель задаются уравнениями, аналогичными задаче 7.38, но коэффициенты а, зависят от времени н не равны соответствующим коэффициентам модели.
7.40. Определить зависимость коэффициента усиления усилителя й, в самонастраивающейся следящей системе с передатбчной функцией ч7 (В) = ' ' обеспечивающую минимум суммы квадратов динамиче,Фе е(т е+ О ской и случайной ошибки, если на ее разделенные входы поступает сигнал ~Вг Рис.7.2В.Исходние структурнме схемм систем аю тома отческоео рееуяиро. сания с атнаеами В(0 и Ве(т) а) помехи в виде белого шума с уровнем спектральной плоскости 3„(е) ° ае н полезный сигнал и (г) = АГ. Составить структурную схему самонастраивающейся системы из условия ппп (з'„+ а„'1, если уровень шума и коэффициент А медленно изменяются от времени и обеспечиваются большие интервалы времени наблюдения. Построить зависимость е„' -)-е„' от коэффициента йе при йо 10 с', То 0,1 с и трех значениях коэффициентов с' и А: а) А=1 раде'1 с' = 1 ° !О'рад'с; б) А = ! рад с ', с' = 4.10 ' рад'с; в) А = 2 рад с ', с' = 16 ° !О ' рад'с.
Решение. Определим передаточную функцию замкнутой системы ф( ) ееее (7.110) Положив в ией а (оа, найдем значение срмней квадратической ошибки Пользуясь формулами для вычисления интегралов (17, 341, запишем по=То'а,=1; а, Л,й;, Ьо О; гуа ь,- й',й, 'я; а ьо а Тоаоа4ао а(аооо лево «лат аоаог 7.22. 3 оа + аа аао ааоффаеаеюаа аааааааа ао 2аоао 2аоаоТо 2 аоаоа~ Зная 7„ определим е„ Найдем дииамическуко ошибку следящей системы по формуле .Х(О 1 й.й Для нашего случая имеем я(1) А; я(1) О и Р„' й,4„ Тогда А еа ьоао Сумма квадратов динамической и случайной ошибок будет Ао Ьоаоао + + 4 (7.112) Минимизируя выражение (7.112) по йм запишем Д (,ао+ ооо)о о Ао ооа* = — — „— + — '= О, да а1 а( 4а откуда — 8пА + й~осой(= О.
(7Л13) Из формулы (7.113) найдем оптимальное значение коэффициента усиления усилителя зУ За Ао з~ Ао ~/ — =л ~l —, У а1 ° Г (7.114) где й — постоянная величина, На рис. 7Ж построена зависимость еа -(- ео от коэффициента усиления Й, для случая а (кривая 7), для случаев б и в соответственно кривые 2 и д. Из рис. 7.29 вкдно, что для каждой из кривой имеется свое вполне определенное значение й,,оь Структурная схема самонастраившощейся системы приведена на рис. 7.30, б. В качестве измерителя А применен тахогенератор, а в качестве 455 1 Ф(з) = — ьь+ — ь+ 1 К К (7.115) Вводя в выражение (7.115) обозначения (7. 116) получим 1 Тьь'+24Ть+ 1 С помощью выражений (7.111) и (7,117) найдем Кое з,' = —.
4н (7.117) Квадрат динамической ошибки определим, пользуясь структурной схемой рис. 7.28, т. е. А' е = —. е Кь ° Условие минимума суммы квадратов динамической и случайной ошибок запишем в виде д(ен+ ен) 2А' сь дК К» 4н = — — + — О, ьь л> Рис. Т.дд. Структурные ссемы самонастраиеающихсн систем аеоюматическоео рееулироеакин, обеспечиеающик минимум суммы кеадратое динамической и случайной отабек измерителя с' — квадратор (реализован на схеме в устройстве подстройки). Коэффициент й, изменяется в соответствии с формулой (7.114).
7.41. Составить структурную схему самонастраивающейся следящей системы (рис. ?.30, а), обеспечивающей минимум суммы квадратов динамической и случайной ошибок, если на ее разделенные входы поступают сигнал помехи в виде белого шума с медленно изменяющейся спектральной плотностью Я„(со) = с' и полезный сигнал у (1) = А1, где параметр А также медленно изменяется со временем. Определить законы для подстройки коэффициентов К и й„в самонастраивающейся следящей системе при $ = $е в зависимости от отношения А/с. Решение. По аналогии с задачей 7.40 определим Ф (з) в виде К Уьь + ауь + К откуда К= )/8к —,, =й'( — ) (7.118) 1 где й'=(8п) '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
