Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При в = 0 и в = )l 5 Ь = О, а при в= )Г5 Ь, + 0 и Ле+ О. Итак, при перемещении от точки в = 0 к точке а = )/5 имеем Ь < О. В этом случае двойную штриховку наносим справа, а при а ) )/ 5 двойную штриховку наносим слева (Л .р 0). Приравняв нулю свободный член и коэффициент при старшем члене в характеристическом уравнении, получим уравнения двух прямых: для в = 0 25о -1- 1 = О, а для в = оо — 0,2р = 0 (т. е. р = 0). ! На рис. 2А5 обе эти прямые выделены соответствующей штриховкой.
В этом случае мы получим пять областей 1 — У. Положим р 0 и т = 0,2; тогда уравнение (2.123) примет вид 0,2Л' -(- 5Л -1-6 = О, где Л, = — 1,3; Л, = — 23 — отрицательные корни. Точки р = 0 и т = 0,2 лежат по прямой р = О, соответствующей в = = оо, т. е. 1 = 2. При переходе этой прямой в сторону штриховки число корней с отрицательной действительной частью увеличивается на единипу. Следовательно, в области / получим й -1- 1 = 2 -1- 1 = 3, и при й = 3 эта область является областью устойчивости.
Пользуясь правилами перехода кривых Р-разбиения, на рис. 2.45 проставим соответствующие значения (а, а — 1, а — 2). Областью устойчивости является также и область !)/. 2.94. По характеристическому уравнению (2.119) построить кривую Р-разбиения плоскости по параметру Т„ взяв при этом й = 50 1/с; Т = =1 с; Т,=01 с. Указание. См. задачу 2.92. 2.95. По характеристическому уравнению ..
(Л + 1) (0,01Лэ + Тхай+ 1) -1 40 = 0 построить кривую Р-разбиения плоскости по параметру Т,. 2.98. По характеристическому уравнению задачи 2.23 [см. (2.54) 1 построить кривую Р-разбиения плоскости по параметру Т„если Т,'= 0,05 с и К=101/с. 2.97.
По характеристическому уравнению Т,Т,Л + (Т, — Т,) Л вЂ” 1 + К = О построить кривую Р-разбиения плоскости по параметру Т,, если Т, = 0,1 с' К = 10. 2.98. Пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы автоматического регулирования Х (ты+ 0~ «(ГЫ+»' 1Г э+ 0 ' построить кривую Р-разбиения плоскости по Т„если К = 500 1/с; Т, = =2,8 с и Та=0,01 с. 2.99. По характеристическому уравнению (2.119) построить кривую Р-разбиения пласкости по параметрам Т, и К, если Т, = 1 с; Т, = 10 с. Указание. См. задачу 2.92.
284 2.100. Пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы к(т, +О 5 (Т>5 + 1) (Т45 + ! ) (Т>5 + ! ) построить кривую !'.)-разбиения плоскости по параметрам Т, и К, если Т, = = 0,4 с; Т„= 0,01 с; Т4 = 0,005 с.' 2;101. Пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы К (Т,5+ 1)' 5 (Т>5+ 1) (Т>5+!) (Т45+ 1) построить кривую О-разбиения плоскости по параметрам Т, И К. если Т, = =1,2с; Т5=0,02 с; Т4=0>ООбс. 2.102.
Пользуясь передаточной функцией разомкнутой системы К(т,5+ ПЧ 5 (Т>5 — Ц5(Т45+ 1) (Т>5+ 1) построить кривую 0-разбиения плоскости по параметрам Т, и К, если Т, =1 с; Та=*004 с; Т4=0>01 с. Глава 3 Исследование качества непрерывных линейных систем автоматического регулирования 3.1. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ЗАДАННЫМ ПЕРЕДАТОЧНЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АНАЛИТИЧЕСКИМИ СПОСОБАМИ 3.1. Пусть система автоматического регулирования, описывается дифференциальным уравнением вида дл~ ~л — 1х Ве — 2х вх а,— „+а,— „, +аз —,, + +а„~ — „+а„х(1)= =ь,—.+ь,—,+ь, ™,+".+ь,— „„+ь д(1)+ +й,—,+й... +й, „, +...+й,,„, +,ц(().
(Зл) Примем следующие начальные условия. При 1 = 0 х (О) = х,; х (О) = к,; х(0) = х,; ..., х<"-п(0) = х„,. Тогда уравнения (3.1) можно записать в виде Х (з) =* — 6 (з) + —" г (з) + —" МЮ М„ю Мн ьй 0 ья вь> .0 (м (3.2) где М(з)=Ь,з +Ь,з -'+Ьу — ~+ ° +Ь з+Ь,„; М„(з) а,х,з" — '+ (а,х, + а,х,) з" — '+ ° + (а,х„, + а,хв в+ + + а„,х, + а„,х,) з + (а,х„, + а,х„, + . - ° + а„,х, + а„,хч)' М.(з)- М~" +й1з' '+4 ' '+ ° "+де з+дг; Р (з) = а,вс + акя'-' + аз"-г + + а„,з + а„. 236 для получения нормальных эксплуатационных характеристик систем автоматического регулирования наряду с выполнением условий устойчивости требуется обеспечить определенные показатели качества процесса регулирования.
К основным показателям качества отяосятся: о „вЂ” максимум перерегулирования; (р — время протеканил переходного проиесса; в,— собственная частота колебаний; У вЂ” количество колебаний; йь — логарифмический декремент затухания; х,„— максимальная скорость отработки регулируемой величины. По характеру протекания процессов регулирования их можно разделить на апериодический, монотонный и колебательный. Если требуется исследовать влияние начальных условий на поведение системы регулирования, то, положив( (1) = 0 и д (1) = О, получим нз уравнения (3.2) следующее выражение: Х(з) = —. ))(н (н) р (5) При необходимости оценки влияния только управляющего воздействия из выражения (3.2) получим Х (з) — С (з).
М (н) р (н) Если требуется исследовать влияние возмущающего воздействия, то Х(з)= — "' Р(з). (3.5) где Х„).н, ..., Х„, ..., Хн м Մ— корни характеристического уравнения замкнутой системы. Из выражения (3.6) можно получить оригинал функции в форме Хевисайда в зависимости от характера корней характеристического уравнения. 1 с л у ч а й. Все корни Х, — действительные; тогда и (1) ~т мн (Х!) г х =~~ р, е 1 где 11 с л у ч а й. Среди л корней есть з пар комплексно-сопряженных кор ней, остальные г корней действительные.
н н х (г) ~~) ~-~-ехр + ~ 2А,е рсоа ф,(+ 1р,), (3.8) 1 1 1 где М% ° ()й ан (3.9) П1 ел у ч а й. В характеристическом уравнении р кратных корней; тогда (1) %т 1 Г(' х~) 'х("ййн 1( ,~ 1 (рн — 1)1 ) р(н) 1-1 ~3 зю (3.10) где р, — кратность 1-го корня. Определение переходного процесса х (1) с помощью выражений (3.3)— (3.5) можно выполнить двумя или тремя способами: с помощью формул Хевисайда (путем разложения на простые дроби), с помощью собственных значений Ц и собственных векторов матрицы. Представим, например, вы. ражение (3.3) в виде Х (з) = н(н (н) (3.6) (5 — Хн) (5 нн)... (5 — Кн н) ($ нн) В выражрниях (3.4) и (3.5) функции лз (з) и Р (а) необходямо т(редставить в виде дробно-рапиональных функций вида —; тогда Ь (з) Л>(з> ' 7(( ) М(з) (.й) М И) (3.11) Р (з> >б(з> Ецз> ' и снова можно пользоваться формулами (3.7), (3.8) (3.10).
Например, з полиноме 0 (3) имеется один нулевой корень, г — действительных корней, 3 — пар комплексно-сопряженных и р — кратных корней; тогда Г $ >>, !0> , , л,>)л(л,> где В (3) = зо, (3). 3.2. Найти зависимость для переходного процесса в системе автоматического регулирования, описываемой уравнением вида (0,002У -(- 0,1224Ф .(- 5,146зз + 41,32зз + 2013 -1- 200) Х (3) = = 200 (3 + 1) лз (3), если управляющее воздействие а (1) = 1(1).
Решение. Подставляя б (3) = †, в уравнение (3.13), получим 1 200 (з+ 1) з (О,ООЫ+ О, !224~+ 5, !45зз+ 41,32з. + 20Ы+ 2ОО> Из полинол!а знаменателя выражения (3.14) определим корни ' Л, = 0; Л, = — 1,28; Л, = — 3,75 -1- 4,88>; Лз = — 3,75 — 4,88(; Л, = — 26,21 + 37,13/; Л, = — 26,21 — 37,13(.
При этом отметим, что кратных корней нет и формулу (3.12) можно переписать в виде б х(() — "+ — ", ' ел'+ ч„.; 2А,е~рсозф)1+!р,). (3.15) Для определения коэффициентов воспользуемся выражением М" (0), 200(Л. +" ', ((; 3.16) 1>~ (О> 0 002лз+0,1224Л4+5 145Л1+41 32Л1+201лл+20ОК б — '+,; (3.17) В М 5'0002Л +,1 0 1224Лз+3.5 14БЛ +2 41 32Л!+20! 1 = 2, 3, 4, 5 и 6. Подставляя соответствующие значения Л, в выражение (3.16) и Лз, Лз, ..., Л, в выражение (3.17), получим — 1; —," . 4 = — 0,686 — 0,6531; Мн Ю) ММн н(Лн) ВФ ' й(> ') =0,375 — 0,0023 — 0,016>1 О1 (лз> " = — 0,686+0,653>; —," ' = — 0,0023+0,016>, откуда по формулам (3.9) найдем А, = 0,905; ф, 98' 11'-; Ав = 0,0161; !рв = 146'30'. Полученные значения подставим в формулу (3.15); тогда переходный процесс может быть вычислен по следующей зависимости! х (1) 1 + 0,3758-'м'+ 1,81е-'м' соз (4,887+ 98в11') + + 0,0322е-м з" соз (37,131 + 146'30').
З.З. Найти зависимость для вычисления переходного процесса в системе автоматической стабилизации самолета, описываемой уравнением вида (Ф + 16,4У + 107,4Ф + 364,2зв + 1146,5зв -1- 771,2з ~- 292,1) Х (з) = 0 прн следующих начальных условиях: х (О) 0: х (О) 20'(с; х (О) =* х (О) = х('"! (О) х(ю (О) О. 3.4. Определить зависимость для вычисления переходного процесса в электрогидравлической следящей системе, используя выражение 0,0035!в + 0.37в+ 10 1 с'+ !03вв+ 3085!с+ !49250в+1000000 в * ° 3.5.
Определить зависимости для вычислений переходных процессов в системе автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии 180 000 (0,2в + 1) в(7 2 !0 ввь+ 0 0!8'Ф+ 85У+ 308вв+ 724в+ 800) ))7 (з) при следующих видах управляюпц!х воздействий: (! -')' а) б,(з) —; б) 6,(з)= — '; в) бв(з) '; г) бв(з)' 3.6. Определить зависимости для вычисления переходных процессов в системе автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии йг ( 500(0,0Ъ+ 1) в (0,!в+ !) (0,008с+ ! ! при управляющих воздействиях, показанных на рнс.
3.1, а — г. У 2 д У г Сс 0 С г !с и С 2 д Зс и/ з'/ з~ Рис. 8.7. Виды дараввяю. а(ив вавдвйствий двв м- аави З.з 239 С 1 г д 4 ав В 1 г д В ав а/ дУ р У 1 ! 4 1 айва д 4 д дса в7 Риа. З.2. Види управвкющик воадваствид двп задачи д.7 3.7. Определить зависимости для вычисления переходных процессов в системе автоматического регулирования, описываемой уравнением (3.13), при следующих видах управляющих воздействий (рис. 3.2, а — 2). 3.2.
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВЫХ ВЪ|ЧИСЛИТЕЛ ЬНЫХ МАШИН ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ В зависимости от способа описания отдельных элементов системы автоматического регулирования на АВМ можно моделировать их структурные схемы или решать системы дифференциальных уравнений. 3.8. Составить схему моделирования системы, описываемой неоднородным дифференциальным уравнением вида —,+а,— „+а, д, +а,—,+авх Ь,— „„+Ь,— „+Ь а, 1 где а(1) 1 при 1)0; а(1) 0 прн 1~0. Решение. Моделировать это уравнение на АВМ обычным методом понижения порядка нецелесообразно, так как трудно сформировать производные от единичного воздействия д (1) в правой части. Поэтому составим схему моделирования в общем виде, используя следующие два метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
