Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 36
Текст из файла (страница 36)
2.33, а. Определить запасы устойчивости системы по фазе и модулю, если ее параметры имеют следующие значении: й„= 5 В/рад„й„= 2 В/рад; йт = 1 Вс/град; йо = 0,4; й„= 1 В/рад; Т, = 0,1 с; Т, 0,01 с; $к„= 0,6. Параметры самолета имеют две группы езамороженныхг постоянных времени и коэффициентов усиления: а) Тг = 0,143 с; Тт = 0,33 с; йг = 0,01; /го„0,57; б) Т, = 0,134 с; Т„= 0,42 с; $г = 0,01; йог = 1,1. 2.68.
Исследовать устойчивость сйстемы автоматической стабилизации угловой скорости вращения гидротурбины (рис. 2.38, б). Определить запасы устойчивости по фазе и модулю, если параметры системы следующие: йг = 3; й, = 1; йе = 3,75; й, = 0,97; Т, = 0,5 с; Т, = 0,25 с; Т, = 0,05 с; Тг = 7 с; Те = 8 с; ~г = 1,025. Указание, При расчетах использовать параметры: а) Т, = 20 с; й, = 25; б) Т =40 с; й,=50; в) Т,=25с; й, 40.
221 2.Т. АНАЛИЗ УСТОйчивоати СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ' ЗВЕНЬЯМИ Условия устойчивости систем автоматичасквго регулирования с транс- цендентными звеньямн запишем в виде Н(е)= 1; 9 (е») ° — 57,3те» вЂ” 2пч, (2.93) Для звена «чистого» запаздывания период функции будет равен 2л и т примет значение 0„1, 2 ... 2.69. Найти математические зависимости для определения значений критической частоты м„» н постоянной времени «чистого» запаздывания, при которых система автоматического регулирования с передаточной функ- цией ((г(з) — е " К Т»»+ 1 (2.95) находится на грани устойчивости. Решение.
Из выражения (2.95) нейдемд 1, Р ?' „'+! 1 «е»» = — У А'» — ! ° Т (2.96) Прн з = !в фазовый угол на критической частоте агя 1% (!<о«»)) — агс1 н Т,»»„» — 5?,Зто~„» + 2пт. (2.97) Известно, что система регулирования находится на грани устойчивости, когда агн ! а? () а„») ) — и. (2.98) Подставляя выражения (2.96), (2.97) при т = 9 в условие (2.98), получим г„р — — ', (агс1я 4Г К' — ! — я). (2.99) 2.70. Определить значения критической частоты ю„» и постоянной «чистого» запаздывания т„, для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию вида к» «з з)-17 +!)(Г +!)(т +1! ° (2199) где т принимает числовое значение в зависимости от величины периода трансцендентной функции.
Определим из первого уравнения системы (2.93) частоту, при которой характеристика )Р ((м) пересечет окружность с радиусом, равным единице (в, = «»„р). Тогда из второго уравнения системы (2.93) можно найти значения времени ч, разделяющие плоскость на области устойчивости и неустойчивости по этому параметру (т„ ). З (н»р)»ят чкр + в»р н«» Пусть параметры системы будут Т, 0,5с; Т,=0,05с; Т, 0;Оус) К 1О.
Решейне. 1-й с п особ. Из выражения (2.100) найдем Н (аг) )/ [ ) (Т)Т2 + ТзТз + ТзТз) акр[ + [(Тз + Тз + Тз) а кр ТгТзТзее р[ (2.101) Приравняв Н (ог) единице, получим 717зТзогкр + 1(ТзТз + ТгТз + 7)Тз) — 27)727з (71 + Тз + Тз)) гоко + + [(Тз + Тз + Тз) — 2 (ТгТг + ТзТз + ТгТз)) гоко + 1 К~ 0 (2 102) где 1 ( 2[(ТТ +ТТ +Т Т)з — 2ТТТз(Т -)-Те-1-Т)1е 2 27Т[Тв (Т Те+ Тот + Т Т )Р— 2Т ТеТ (Т .(-Тг (- Те)1 Х З~ 17 еТе Х ПТ„+ Т, [-Тз)' — 2(ТзТз+ ТеТз+ Т,Т,)) + — '~, ); Т[Т[Т; ЗТ[ТрТз 1(Т + Т, + Те)' — 2 (Т,Т~+ ТеТ, + Т,Т,))в — 1(ТТ +ТТ ТТ)' — 2ТТТ (Т+Т +Т)Р р (ТТ+ТТ+ТТ)* — 2ТТТ (Т ( Т Т) 3 ТеТ' Подставив в выражение (2.103) числовые значения, найдем ог„р = 15,45 1!с.
Прн этом фазовые соотношения можно записать в виде агя [й7 (!ог„р)[ — агс1я Тзоз„р — асс[я Туа — агс1я Теса„— 57,3з„р(окр 52Р. Для принятых числовых значе- ннй имеем т„р = 0,059 с. 2-й с п особ. Подставим в передаточную функцию (2.100) з = /ог н построим логарнфмнческие амплитудную и фазовую частотные характеристики (рнс. 2.34). Из рнс. 0 2.34 найдем ео, = ог„р = 15,4 1/с.
Запаа устойчивости системы по фазе ур должен быть сведен н нулю -)0 значением фазы ЛО (гоко) = — 57,3ткрогкр.. (2.105) го,е/с 0' -700 20 Рис. 2.04. Логарифмические амнлитудная и фазоеая частотние карактеристики аистемм регулироеания со менам с еигр 00 саирме эалааЪванием -270 откуда с помощью формул Кардана определим г — р р 'еь'-~ у — — е ~ь' — Б46 (2 |03) К(твв+ 1) ~в!~ где К = 20 1[с; Т, = 1 с; Т, = 0,4 с; Т, = 0,01 с. 2.72. Найти математические зависимости для определения значений критической частоты в„, н коэффициента усиления К системы автоматнчеекого регулирования с передаточной функцией В'(з) = К (Т,в+ !) (Т,в+ !) Ув находящейся на грани устойчивости.
Указание. [ь [за У!в =. — — 1+[ У2 2.73. Найти математические зависимости для определения критической частоты ьз„, и коэффициента усиления К системы автоматического регулирования с передаточной функцией К(Т,ь+ 1) (Тав+ 1) (Твв+ 1) Ув находящейся на грани устойчивости. Указание. См. задачи 2.71 и 2.72. 2.74.
Определить значения критической частоты вь„р и постоянной чистого запаздывания т„, с помощью логарифмических чаетотных характеристик для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию вида [р (ь)— (Та'+ 1) (Тва+ 1) (Тав+ 1) (Таь+ !) (Таь+ 1) ' где К = 2,5; Т, = 100 с; Т, = 24,4 с; Т, = 14 с; Т, = 8,1 с; Т, = 0,05 с. 2.75. Проанализировать устойчивость системы автоматического регулирования угловой скоростью вращения рабочего колеса гндротурбины с учетом длинного водяного канала (см. задачи 1.76 н 2.68).
С помощью логарифмических частотных характеристик определить запасы устойчивости системы по фазе и модулю. Решение. Составим структурную схему системы регулирования (рне. 2.35, а) %'в (в) 1 + ((ав (ь) (2.106) где )вава!ааааа [1 — 2Рв !(а (тв)] (2.107) в(Таь'+ 21аТаь -(- 1) (Таь+ 1) (Таь+!) (Т ь+!) [1+ Рв Ф (вв)[ [['в (в) Ь,Ь, (Таз+ !) (Таь+ 1) (Твв + 1) (Твь + 1) (2.108) Для нашего случая имеем 7, ° 52' н ч„р 0,059 с. Значение т„р, определенное графическим способом„совпадает с величиной, полученной ранее аналитически.
Результирующая фазовая частотная характеристика при данном я пересекает ось — 180' при частоте ва, = взв . 2.71. Определить значения критической частоты аа,р н постоянной вчнстогов запаздывания ч,„для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию вида Примем следующие параметры системы регулирования: й, = 4; й, = 1; й, =' 3,75; й, = 0,97; й, = 25; Т, = 0,5 с; Т, = 0,25 с; Т, = 0,05 с; Т, = 20 с; Тв = 7 с; Т, = 8 с; Е! = 1,025; тр, = 0,13 с.
Функцию 1)! (тз) представим в виде е" е !)! (тз) = «5 ! — «в В полученное выражение подставим з =- !еп тогда е!™ е !™ !1)(т)о») гш .а„=!я(тво). При малых значениях то» имеем !)) (т)со) = таа. При атом передаточную функцию (2.107) можно переписать в виде нана)вана !1 2ра«в) (2.! 09) а !Т)ха+ 25 Т в+ 1) (Т и+ 1) !Т а+ 1) !Твв+ 1) (1+ рвов) ' С помощью передаточных функций (2.108), (2.109) и (2.!06) получим соответствующие логарифмические частотные характеристики (рис. 2.36 и рис. 2.37). Из рис.
2.37 видно, что система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии и обладает запасами устойчивости по фазе 7, = 43' и модулю Нм —— оо дБ и — Нм = — !2 дБ. 2.76. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью логарифмических частотных характеристик и определить запасы устойчивости по фазе и модулю, если ее передаточная функция К (Та»+ 1) !Та»+ 1) е % (3) (т, +ц(т +1)1т +!) ' гдеК=10; Т,=5с; Т,=0,377 с; Т,=0,286с; Т,=0,167с; Т,= = 0,125 с. Решение. Построим на рис.
2.38 логарифмические амплитудную (кривая 1) и фазовую при т = 0,001 с (вривая 2) частотные характеристики. С помощью зтих кривых можно установить, что система является устойчи. вой в замкнутом состоянии, а ее запасы устойчивости 7„= 126' н Нм = = оо дБ. С увеличением времени «чистого» запаздывания до т = 0,209 с (кривая 3) система становится неустойчивой. Дальнейшее увеличение т до 0,492 с приводит систему к устойчивому состоянию (кривая 4) с запасами устойчивости 7, = 68' и Нт = 2,5 дБ.
При достижении т значения 1,08 с система вновь становится неустойчивой (кривая 5). Соответствующие всем зтим слу- Рис. 2.ЗУ. Структурные схемы систем автомати«вского рееулированим с трансявноенаавыми вевньями Ю ю. н. теа веа 225 бо Оог 10 Риа 2.36. Логарифмические омквитудные и фиговые частотные характеристики внутреннего контура системы бб бб "0 -100 Рис. 2.87. Логарифмические амлвитудные ) )Ув () оз) ) и ) )е" Цы] ) и фаэовые вги 'с)ув))ш)) и ага ')Я7 Ца)] частоанвы гарактеристики системы 226 - 100 401 41 1,0 -ОГО и, 1/в чаям амплитудно-фазовые частотные характеристики построены нэ рис. 2.38, б — д.
2.77. Проанализироватв устойчивость системы автоматическою регулирования с авеном «чистого» запаздывании с помощью логарифмических частотных характеристик и определить запасы устойчивости по фазе и модулю при различных е, если ее структурная схема изображена на рие. 2.35, б. Указание.
При построении частотных характеристик можно пользоваться следующими параметрами системы: )г, = 20; )ге = 5; й = О,1; Т,=0,5с; Т, 0,2с; Т,=100с; $«=0,25. 2.78. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью логарифмических частотных характеристик при трех значениях т и определить запасы устойчивости по фазе и модулю, если ее передаточная функция Кзе ъ)Таз + 1) (Тле+ 1) (Тел+ 1) 27 (з) 1+ Ке чае 1Теа+ 1)1Т»е+ 1) 1Тае+ 1) где Ке = 200 1/с; К, = 10; Т, = О,1 с; Т, = 0,02 е; Т, = 0,005 с; Т, = = 0,4 с. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
