Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 32
Текст из файла (страница 32)
2.13, б имеем — 1 + 0 и +! — 1 — 1 + 0 (рис. 2.13, о), что указывает иа неустойчивость этих двух систем регулирования в замкнутом состоянии. На рис. 2.13, г и д приведены также кривые йг ()со) для систем регулирования с астатизмом 1-го порядка, имеющих то = О. Из рнс. 2.13, г следует, что 0— — 0 ш О. Это указывает иа устойчивость системы в замкнутом состоянии. Так как — 1 + 0 (см. рис.
2.13, д), то система в замкнутом состоянии неустойчива. 2.39. По амплитудно-фазовым частотным характеристикам разомкнутых систем, приведенных на рис. 2.14, и — е, проанализировать устойчивость замкнутых систем регулирования. ! ! Решение. Из рис. 2.14, а имеем 1 — —, ш —, — система устойчива в замкнутом состоянии. Из рие. 2.14, б находим 1 — —. — 1 + —, что ! ! указывает на неустойчивость замкнутой системш.
По годографу !о ()со) (рис. 2.14, в) найдем 1 -1- 1 — — гя -к-, что указы- 1 3 вает на устойчивость системы в замкнутом состоянии. По годографу йг Цсо) (рио. 2.!4, г) определим 1 + ! — — + —, 1 2 в Х н, следовательно, замкнутая система является неустойчивой.
198 Рис. 2.И. Амнлитуднофавовые частотные характеристики для одноконтурных статических и астаошчюсих первого но. рядк систем регулироеа- Рис. 2,И. Амплитудно.фазовьы частонтые характеристики д и одно*отпурны» систем автоматическою регулирования с ралличным числом нолюсое а провод полуалоаюсаи у нвракаыристичынгао ураеатия разомкнутой системы На рнс. 2.14, д найдем + — -(-1 -1-1 + 1 — 1 за —, следовательно, 1 Б з система в замкнутом состояния устойчива; так как — — ! г'- —, то система регулирования неустойчива (рнс. 2Л4, е).
2.40. Проанализировать устойчивость замкнутых контуров (систем) регулирования по амплитудно-фазовым частотным характеристикам разомкнутых коитуроз (систем) (рис. 2.15, а — з, 2.16, а — з). 2.41. Проанализировать устойчивость систем регулирования по амплн. тудно-фазовым частотным характеристикам динамических элементов, охваченных отрицательными обратными связями, изображенных на рнс. 1.146, а (при а4р = 1), рис. 1.146, б (прн л4 = 2), рнс. 1.147, а (при л4 = 1), рис. 1.147, б (при а4 = О), рнс.
1.148, а (п4 =* О) и рнс. 1.148, б (прн .,=О). 2.5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ По логарифмическим критериям устойчивости можно определить не только наличие устойчивости или неустойчивости системы автоматического регулирования, но н запасы ее устойчивости по фазе у, = «-и — 8 (в,), (2.70) где 8 (с4,) — значение фазы разомкнутой системы прн частоте среза в мо. дулю 4-Нм — значения амплитуд разомкнутой системы, соответствующие 8 (в) = Т-п. (2.71) Для обеспечения высокой стабильности систем автоматического регулн.
рования задают нормы запасов устойчявостн по фазе и модулю Тр Ъ 25' — 45', 8 дБ ю Нм сю 16 дБ; (2.72) — 6 дБ ~ Нм,ъ — И дБ. Если на системы налагают дополнительные требования к качеству про- цессов регулирования, то нормы запасов устойчивости изменяются. Так, например, для получения процессов, близких к апериоднческнм, необхо- димо иметь Тр > 90' и большие запасв1 устойчивости по модулю — порядка .+30 дБ. 2.42. Исследовать устойчивость одноконтурной системы автоматиче.
ского регулирования с п4)мощью логарифмических амплитудных н фазовых частотных характернетнк, если передаточная функция системы в разомкну- том состоянии имеет внд К (Т44 + 1)* (Т44+ 1)4 (Т44+1) 1Т44+1) (Т44+1)4 (Т44+1) (Т,4+1) где Т, = 30 000 с; Т, = 250 с; Т, 28 е; Т4 = 2,88 а; Т, = 0,71 з; Т, = = 0,025 с; Т, = 0,01 с. При построения частотных характеристик следует брать шесть значе- ний передаточного коэффициента К (К4 = 1260 16'; К 19,95 104; Кр = = 1,78.10'1 К4 = 0,13 ° 16', К, = 1,42 ° 104 и К, = 27).
Определить запасы устойчивости системы регулирования по фазе и модулю. Решение. На рнс. 2.17, а построены логарифмические амплитудная Н, (с4) (кривая 1) и фазовая 8 (в) (крнвая У) частотные характеристики при К = = К, = 1260 10' с помощью передаточной функции (2.73) при з = )в. Для анализа устойчивости воспользуемся формулой вида (2.69), т. е. Р4р ~444 (2.74) 201 -ме со Пте гтго се~ гг» э е ю~ рдв м гол м и 1/с гвг -же ын которая должна быть обеспечена при 20 !я! (у (1са) ! ~ 0 дБ. В формуле (2.74) введем следуюшие обозначения: р' — число переходов логарифмической фазовой частотной характеристики — оси — и — ввррх (принимается за положительное); т' — число переходов логарифмической фазовой частотной характеристики оси — и — вниз (принимается за отрицательное). Из выражения (2.73) следует, что спр — — 0 (все звенья устойчивые).
По рис. 2.17, а устанавливаем, что йа участке, ограниченяом слева прямой У7 — И, где 20 !й~ иУ (1со)( ~ 0 дБ, имеем р' 1 -1-1 = 2 и и' - !+1+1=8. Тогда по формуле (2.74) найдем 1+ 1 — 1 — 1 — 1 =т О. Последнее указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования в замкнутом состоянии при принятом нами коэффициенте усиления К,. Справедливость этого утверждения можно установить по характеристике Ю, (/аз) (рис. 2.17, б). Уменьшим коэффициент усиления системы К до Ке = 19,95 10', тогда на участке слева от прямой У вЂ” У (рис.
2.17, а) имеем р' = 1 -1- 1 = 2 и т' = 1 -(- 1 = -1-2; следовательно, 2 — 2 са О. В этом случае обеспечивается устойчивость системы автоматического регулирования (см. также В'е((аз) на рис. 2.17, в). Запасы ее устойчивости по фазе у, = 54' и модулю Ны, = 16 дБ и — Нлв, = — 14 дБ обеспечивают высокую стабильность системы даже при значительном диапазоне изменения параметров. Снова уменьшим коэффициент усиления системы К до К, 1,78 1О'. В этом случае логарифмическая амплитудная частотная характеристика будет иметь вид кривой 3, и иа участке слева от прямой (У вЂ” 1!1 найдем р' .= 1, а т"= 1 + ! = -1-2; так как -1-.1 — 2 чь О, то система автоматиче- '202 Рис.
2.17. Логарифмические амнлитудные и фазовые частотные характеристики для системы автоматичеасого регулирования (задача 2.42) ского регулирования при этом коэффициенте усиления становится неустой. чивой (рис. 2.17, г). При дальнейшем уменьшении коэффициента усиления сястемы до К, = 0,13.10' система снова становится устойчивой (кривая 4), так как на участке слева от прямой !7! — !!! имеем 1 — 1 = 0 (см. рис.
2.17, д). Эта система обладает запасами устойчивости по фазе 7„18' и модулем Нм, = 18 дБ; — Нм, — — — !4 дБ, обеспечиваюшим и ее высокую стабильность. Умеиьшим коэффициент К до К, = 1,42 ° 1О'. Это снова приводит к неустойчивости системы, так как условие (2.74) на участке слева от 7! — /! не соблюдается и — 1 + 0 (кривая б, рие. 2.17, У). При К, 27 имеем устойчивую систему, так как иа участке слева от ! — 1 имеем 0 ив я О (кривая б, рис. 2.17, а) и 7, = 64', Нм, = оо дБ и — Нт, — 18 дБ (рис. 2.17, зе). 2.43. Исследовать устойчивость одноконтуриой системы автоматического регулирования с помошью логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик, если передаточная функция разомкнутой системы имеет зид К /тч + 1) в (Т, + 1) в)Т,в — 1) (Твв — !) 1 ив+1) ( чв ) где Т, = 20 с; Т, = 2,5 с; Тв = 0 При построении частотных ний К (К, = 00316 1/с; К, = К, = 2,5 10' 1/с).
Определить зап по фазе и моду,пю. Решение. На рис. 2.18,а о,бб построены логарифмиче- ам ские амплитудная Н, (м) ам (кривая !) и фазовая 8 (со) мб (кривая 2) частотные ха- им рактеристики при К = сеу =К, = 0,0316 1/с. На му этом рисунке четверть ум окружности бесконечного радиуса достроена штриховой линией. Выделим участок амплитудной характеристики Н„ где обеспечивается условие 20 1я Н (еа) > 0 (оннаходится на рис.
2. 18,о .вб слева от линии ! — !). Из -м рисунка следует, что на чм этом участке не выполняет- .му ся соотношение (2.74), так ибб з как — —, чь —, . Следовао тельно, система регулирования неустойчива в замкобе нутом состоянии при при- ~~ ® Убб мву б Уб ггу ббб вбб бвб ббб пв бм ам УУУ ЕУУУ чму -ЮУ ббб евву Мбб -гбб -УУУ иМУ У,УЕ ае 1 263 Рис. г./У Лоеорифмические амачи туоиие и фачоаче частотиие «арамтвристиии Увя системее автоматическоео рееувироваиия (ваа г.бг) ,5с; Т, = 0,1 с; Т, 0,0! с; Т, 0,0025а.
характеристик следует брать пять значе- 100 1/с; К, 4 1Ов 1/с; К, = 2,5. 10в 1!с; асы устойчивости системы регулирования пятом коэффициенте усиления К, = 0,0316 1/е. Справедливость этого утверждения нетрудно установить и по рис. 2.18, б. Увеличим значение коэффициента К до К,= ! 00 1/с; тогда по кривой д при 20!я Н, (в) > 0 (левее линии /! — 1/) найдем 1 — -2-4* —, что указыз вает на неустойчивость системы регулирования. Соответствующий этому случаю годограф Михайлова — Найквиста изображен иа рис.
2.!8, в. При дальнейшем увеличении коэффициента К до К, = 4 ° 10' 1/о получим кривую 4 (рис. 2.18, а). Тогда на участке слева от прямой Ш вЂ” Ш имеем з 1 — — + —. Следовательно. система регулирования при К, неустойчива 2 2 ' (см. также рис. 2.18, г). При К = К, = 2,5.10' 1/о имеем кривую б, для которой на участке слева от прямой /Р— /У найдем — — +1+1 ьв —. ) з 2 2 ' Система регулирования в этом случае устойчива в замкнутом состоянии. Из рис. 2.18, а следует, что запас ее устойчивости по фазе у, = 35', по модулю Нм = 18 дБ и — Нм = — 14 дБ. Соответствующая этому случаю амплитудно-фазовая частотная характеристика изображена на рис.
2.18, д. Если еще больше увеличить коэффициент К и довести его до К„= 2,5 ° 10' 1/с з (кривая б), то на участке слева от )/ — У получим — —, -1-1 + 1 — 1 4* —, и система регулирования снова становится неустойчивой. Кривая <р' (/в) для этого случая показана на риз. 2.18, е и также подтвер кдает наше заключение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
