Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(2.43) Образуем снова коэффициент р, = = и, применив его к уравнению ее аз (2.43), получим д ае — = аз~ де+ а1е + ~а, — =' а~ ) з + а) з + ~а, — = а) ) + а, = О. ез Яз Яз Это уравнение перепишем в виде 4 а Х~+ а Хз + а У + азй + ае О. (2.44) Применив к уравнению (2.44) множитель рз = =', найдем ез Система автоматического регулирования будет устойчивой, когда 14, > 0; р» > 0; р, > О, р» > 0 и вещественные части корней уравнения (2.74) 1 отрицательны. В нашем случае р, = —., и 7равненне (2.40) по выражению (2.42) приводится к виду 6Л» + 13 67Л4 + 44Л' + 53 34Л» + 52Л + 24 = 0; 6 здесь Р, = —, поэтому уравнение (2.48) можно записать 13,67Л4 + 20,6Л» + 53,34Л» + 41,45Л + 24 = О. (2,49) 13,67 Определим р, = — „'; тогда из уравнения (2.49) получим 20,6Л» + 25,9Л» + 41,45Л + 24 = О.
(2.50) 20,6 Из уравнения (2.50) находим р4 = —,'; тогда 25,9Л» + 22,25Л + 24 = О. (2.51) Система автоматического регулирования устойчива, так как все ее коэффициенты Р;>О; Р,>О; Р,>О; р,>О и корни квадратного уравнения (2.51) -22,6 У22,26 — 6626,6 61,6 имеют отрицательные вещественные части. 2.!6.
Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению Л» + 103Л' + 3065Л» + 149 250Л + 1 081 500 0 с помощью критерия Гурвица. 2.!7. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравненик1 Л» + 33,3!4 + 400Л» + 2666,7ЛЯ + 13 ЗЗЗ,ЗЛ + 333 333,3 0 в помощью критерия Гурвица. 2.!8. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению Л' + 2Л» + ЗЛ4 + 4Л' + 5Л» + 6Л + 100 0 Н с помощью критериев Льенара — Шипара и Ю.
И. Неймарка. 2.19. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению Л» + 16,4Л» + 107,4Л4 + 364,2Л» + 1146,5!» + 771,2Л + 292,1 0 '5 с помощью критериев Льенара — Шипара н Ю. И. Неймарка. 2.20. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению (2.40) с помощью критерия Рауса. Решение.
Для уравнения (2.40) составим таблицу коэффициентов Рауса„ пользуясь формулой С» 4, 4»» 4,, — С» »ПС» с», (2.62) С» 4,, соответствующие значения запишем в табл. 2.1. Подставив в нее соответствующие числовые значения, составим табл. 2.2. Так как все элементы 1-го столбца табл. 2.2 положительны, следовательно„система автоматического регулирования устойчива. 187 Таблица З.Т Табаац З.а 2.21. Исследовать на устойчивость системы автоматического регулирования по критерию Рауса, если их характеристические уравнения имеют следующий внд: а) 0,002Л' + 0,12240 + 5,146Ла + 41,32Л' + 201Ъ + 200 = 0; б) 2 10"'Л'+ 80.10 'Л" + 3 1О %' + 1,24Л! + 10Л' + 40Л + 34 0; в) Ла + 45Ла + !020Ла + 42 600Л,+ 7 650 000, О, г) 0,005Ла + 0,15ЛФ + 1,25Ла + 5Ъ' + 50Л + 300 = 0; д) 0,41 ° 10 ~Л" + 0,39.
10 аЛ' + 3,47 10 'Л' + 1,83Ла + 58Л + 380 = 0; е) 0,!ОЙ + О,ЗЗЛ' + 5,5Л" + ! 5,5Л' + 25Л' + 25Ла + 19,7Л + 9,5 = О. Указание. См. табл. 2.1 в задаче 2.2С. 2.22, Исследовать иа устойчивость системы автоматического регулирования по методу Рауса с помощью характеристических уравнений, приведенных в задачах 2.18 и 2.19. 2.23. Исследовать на устойчивость систему автоматического регулирования по критерию Гурвица и построить области устойчивости по двум параметрам, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид К а 1Т а + 11 1ТМ + 1! (2.53) Решение. Характеристическое уравнение найдем с помощью выражения (2.53) в виде (у" (Х)+! = Т,Т,Р+(Т,+ Т,))че+К+К =О, (2.54) откуда получим (2.55) Из уравнения (2.55) найдем определители Гурвица.
т,+Т, . Ле — э т,т, т,+т, К т,т, т,т, К 1 Ле Ье. т,т, 1 тете Отсюда условия устойчивости будут ~'+~ О ~ г ~ + а К) О. тгт ' тт 1 тт 0 Ктге Так как Т, > О, Т, > О, К > О, то остается одно условие устойчи- вости ге+т3 К >0 т,т, которое сводится к неравенству КС вЂ” + —. ! ! т, т, ' (2.56) С помощью неравенства (2.56) построим границу устойчивости системы по параметрам К и Т, при Т, = 0,5 с(рис. 2.6, а) и К и Т, при Т, 0,05 о (рис. 2.6, б). На этих рисунках области устойчивости заштрихованы. 4 е/е а аб бе ЕЕ ас аг Гас е/ Рис.
г.б. Обеааии устоачиеости система иетоматичесяого регу. сиро иная яо яараметрам К и ТеоКиТ, О аю сс Ы гое е/ 189 Рис. «.7. Структурные схе»ен систем аетоматическсго регугирсеаназ 2.24. Исследовать на устойчивость системы автоматического регулирования по критерию Гурвица и построить области устойчивости по двум параметрам, если структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 2.2, а и в. Указание.
При построении областей устойчивости и неустойчивости по параметрам: а) К = й йздз и Т, пРинЯть Т, = 0 1 с и Т, = 2 с; б) К и Т, принять Т, = 0,01 с и Т, = 2 с; в) К н Тз принять Т, = 0,01 с; Т, = 0,1 с. 2.25. Исследовать устойчивость систем автоматического регулирования по критерию Гурвица и построить области устойчивости по двум параметрам, если их структурная схема изображена на рис. 2,7, а и б. Указание. При построении областей устойчивости для ~ истемы (рис.
2.7, а~ по параметрам: а) и,из(еа К и и« принять Т, = 0,01 с; Т, = 0,05 с; Т, = 0,2 с; Т, = 0,5 с; б) для системы (рис. 2.7, б) по параметрам К = йзй,йз и Т, принять Т»=0,01 с; Т =0,2с. 2.3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦВМ Для анализа устойчивости систем автоматического регулирования с помощью ЦВМ применяют алгебраические критерии Гурвица, Рауса, Льенара — Шипара и Нейе«арка. 2.25. Составить программу анализа устойчивости систем автоматического регулирования, имеющих характеристическое уравнение и-го порядка на языках «АЛГОЛ» и «ФОРТРАН».
Решение. 1. Составим рабочую программу на языке «АЛГОЛ» для определения знака диагональных миноров определителя Гурвнца и-го порядка в следующем виде: Ьей!п !п(едег и, !, 1; ввод (и) Ьей!п аггау и(0: ((п —: 2) х 2+ 1)), Ь(1: и — 1, 1:и — 11; геа! ргосебпге де! (а, и); ча1пе а, и; 1п(ейег и; аггау а; Ьен!и геа! 1, д, тах; 1п!едег 1, 1, 1«; с(:= 1; 1ог й:= 1 Мер 1 пп11! п до " В существующих трансляторах с языка «ДЛГОЛ» лля ввода в вывода нспользуются различные процедуры, по»тому в прнведенных в задачнике программах на языке «АЛГОЛ» прнменвот обозначения «ВВОД» н «ПЕЧАТЬ». Ьефп тае:= О; ]ог 1:= й егер 1 нп1П и до Ьед!п 1:= а [1, /г]; И аЬв (1) > адв (тах) 1Ьеп Ьед]п тах:= 1; /:= 1 епд епд 1; П таи =- О 1Ьеп Ьед!п д:= О; до 1о Нп епд; И/+/г 1Ьеп Ьед!п д: — 4 1ог 1:= и ь(ер 1 нп1П и до Ье2]л 1:= а [/, 11; а [/, 11:= а [Ь, 11; ай, 1]:=1 епд епд 1ог /:= /г + 1 ь1ер 1 нпП[ и до Ьед!п /:= я [1, Й!/тах; 1ог /:= Й + 1 ь1ер 1 нпЬИ и до а [1, /1:= а И, /] — / х а [А, /] епд /; д:=дхоти, /!] епд й; Дл: се/: д епд де/; ввод (а); И а [11 < О ~/ я [и1 < О 1Ьеп до 1о М; П (и —:2) х 2= — и 1Ьеп а [и+11:=О; ]ог]:= 1 в1ер ! нп1И и — 1 до ]ог /:= 1 е1ер ! нпЬИ и — 1 до Ь [1, /1:=- О; ]ог /:= 1 ь1ер ! нп(И (и — 1) —:2 до ]ог /:= 1 в(ер 1 нп1!1 и — .
'2 + 1 до Ьед[п Ь [2 х/ — 1,/1:=а [2 х(/ — 1)+1]; Ь [2 х 1, /] != а [2 х (/ — 1) 1 епд; И (л —:2) х 2 и 1Ьеп ]ог /:= (л — 1) —:2 + 1 е1ер 1 нпЬИ и — 1 до Ь [и — 1, /]: = а [2 х (/ — (и — 1) —:2 — 1) + 1 ]; 1ог 1:= 2 егер 1 нп]И л — 1 до П де1(Ь, 1) < О 1Ьеп до 1о М; 191 РТРАН» для определеГурвнца 6-го порядка 192 печать (система устойчива); йо 1о М1; М: печать, (снстема неустойчива); М1: спи спи 2. Составим рабочую программу на языке «ФО ния знака диагональных миноров определителя в виде РКООКАМ ЫЬТ 2 Р1МЕХЬ!ОХ А (8), В (5, 5) К ВАР (В К1, !) (А (Ц, 1 = 1, 8) 1 РО!!МАТ (Е 10. 3) 1Р (А (2)) 5, 6, 6 6 ! Е (А (Х + 1)) 5, 7, 7 7 !Р (Х/2 * 2.ЕЯ.Х) .
А (Х + 2) = О. К=Х вЂ” 1 К1 = К!2 К2 = Х/2+1 Р0 81=1, К 0083 =1, К 8 В (1, 3) = О. Р091=1, К1 0091 =1, К2 В (2 э 1 — 1, 3) = А (2 * (Д вЂ” 1) + 2) 9 В(2«1, 3) =А(2«(3 — 1)) КЗ = К1 + 1 1Р (Х(2 ь 2,ЕЯ.Х)- РО 103 = КЗ. К 10 В (Х вЂ” 1, 3) = А (2 э (3 — (Х вЂ” 1)(2 — 1) + 2) Р0 111 = 2, К 1Р (РЕТ (В, 1)) 5, 11, 11 11 СОХТ1Х()Е ЖЙ)ТЕ-(ЙЧ1, 13) . 13 РОВМАТ (' система устойчива' ) 00 ТО 16 5 %К!ТЕ (ПЧ1, И) 14 РОКМАТ ('система неустойчива') 16 ЗТОР ЕХР РБХСТ1ОХ РЕТ (А, Х) Р)МЕХЬ)ОХ А (5, 5) Р =!. Р01К=1, Х ТАХ = О. Р021=К, Х Т=А(1, К) 1Р (АВЗ (Т). 1.Е.АВЯ (ТАХ) ОО Т02 ТАХ =Т 3 =1 2 СОХТ1Х1)Е 1Р (ТАХ.ХЕ.
0) ОО ТОЗ Р = О. 00 ТО 4 3 СОХТ1Х()Е 1Р (3. ЕО. К) ОО то 5 0= — 0 0О71= К, М Т = А (Я, 1) А(Э, 1)=А(К, 1) 7А(К, $)=Т 5М= К+1 0091=М, Х Т = А (1, К)/ТАХ 0О83=-М, Н 8 А(3, 1) = А (1, 3) — Та А(К, 3) 9 СОМТ1М(/Е 1 0 =0е А(К, К) 4 0ЕТ 0 ИЕТЩг1 ЕН0 2.27. Исследовать устойчивость систем автоматического регулирования по критерию Гурвица, имеющих характеристические уравнения вида (2.40)„ с помощью рабочей программы на языке «АЛГОЛ», если параметры системы имеют следующие значения: а) а« = 1; а, = 6„ а, = 21; а» = 44; а« = 62; а» = 52; а« 24; б) а, = 1; ат = 24; а, = 35; а, = 70; а, = 21; а» = 24; ૠ—— 100; в) а« = 1О; а, = 4; а» = 9,99; а» = 11,98; а« = 7,98; а, = 0; а, = 0; г) а« = 1; а1 = 5,98; а» = 20,88; а 43,64; а„ = 61,37; а» = 51,38; а« = 23,7~ д) ૠ— — 0; а, = 1; а, = 920,2; а, = 68 028,94; а = 7,59 10; а4 = 3,129 10«; а« = — 9 182 10'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
