Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Соответствующее построение выполнено на рис. 1.144, о'. Проведя прямые с типовыми наклонами получим значения а/ Рис. 1.141. Амплитудно-фавовие частотные характеристики динсмичесяих елемвнтов с несколькими петлялш постоянных времени Т, 1,43 с; Т, = 0,5 с; Т, = 0,05 с и коэффициента усиления й = 25 с х.
В результате этих построений найдем передаточную функцию 143 — ! ось ! (1.534) 1.278. Определить вид передаточной функции динамического элемента, если ее амплитудно-фазовые частотные характеристики построены на рис. 1.145, а — в. Рис. 1.14д. Амплитудно-фаэовие частоииавв характеристики динамических елементов (сисаим авпеомаитичвасоео регулирования) 1.279. Определить вид передаточной функции слабодемпфированных динамических элементов, имеющих амплитудно-фазовые частотные характеристики, показанные на рис.
1.146, а, б. 1.280. Определить вид передаточной функции динамических элементов, имеющих амплитудно-фазовые частотные характеристики, показанные на рис. 1.147, а, б. !.281. Определить внд передаточной функции динамических систем автоматического регулирования по амплнтудно-фазовым частотным характеристикам (рнс. 1.148, а, б). 174 Глава 2 Исследование устойчивости непрерывных линейных систем автоматического регулирования Устойчивость линейных систем характеризует возможность нормальной эксплуатации замкнутых систем автоматического регулирования. При определении устойчивости применяются различные критерии (алгебраические, геометрические), позволяющие без решения уравнений динамики систем регулирования оценивать их состояние: устойчивое, неустойчивое и ни грани устойчивссти. В устойчивых системах переменные, характеризующие динамические процессы при 1 оо, стремятся к состоянию равновесия.
В неустойчивых системах переменные динамического процесса при 1 со неограниченно возрастают, и сам процесс является расходящимся. И наконец, в системах, находящихся на грани устойчивости, динамический процесс является незатухающим. В теории автоматического регулирования первое состояние системы принято именовать асимнтотически устойчивым, второе — неустойчивым и третье — лросто устойчивым 11, 7, 14, 36).
Для большинства линейных систем автоматического регулирования второе и третье состояния являются недопустимыми из-за нарушения нормального эксплуатационного режима работы. Необходимо также отметитьп что способы оценки динамических состояний системы при фиксированных параметрах ие являются достаточными, так как в процессе нормальной эксплуатации происходит их изменение, приводящее к перемене состояний, и система устойчивая может стать неустойчивой и наоборот. Поэтому каждый из критериев должен позволять получать области устойчивых и неустойчивых состояний линейной системы в пространстве параметров.
С целью уменьшения расчетов и построений при оценке устойчивости линейных систем используются показатели устойчивости (запасы устойчивости по фазе и модулю), определяющие границы изменения отдельных параметров. 2.1. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ПОМОШЬЮ 1-го МЕТОДА ЛЯ ПУНОВА Первый метод Ляпунова позволяет определять устойчивость исходной системы с помощью линеаризованных уравнений динамики. Анализ устойчивости по этому методу производится с помощью характеристического уравнения замкнутой линеаризованной системы 1,л + и,)~л — ! + и ).л — 2 +... + и и Если все корни этого характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части (к = — а 111), то решение автономного уравнения динамики системы асимптотически устойчиво; если среди корней имеется хотя бы один с положительной вещественной частью (Х = +сс — )р), то решение неустойчиво; если среди корней имеются корни с нулевой вещественной частью (1 = ф), то может иметь место как неустойчи- 175 вость, так и простая устойчивость (не асийн(готическая).
В последнем случае установить устойчивость замкнутой динамической системы по линеаризоваиным уравнениям не представляется возможным, и анализ устойчивости следует производить по уравнениям исходной системы (нелинейным) '. Лля анализа устойчивости применяется функция Ляпунова )с(х) (см. гл. 5). 2Л. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью 1-го метода Ляпунова, если уравнения замкнутой системы имеют следующий вид: — = — х+ хд; ! чк — = — д+ д .
УУ 2 Ж (2.!) Решение. Линеарнзуем систему уравнений (2.1) вблизи точки равновесия х=О, д=О; тогда — = — х; УУ вЂ” = — д. ссс (2.2) Характеристическое уравнение системы линейного приближения будет (2.3) откуда (2.4) Таким образом, согласно линейному приближению невозмущенное движение (точка равновесия х = О; д = О) является асимптотически устойчивым. Решая исходные уравнения (2.1), получим — с х = д 1 — Ус+Усе ! — Ус+У 6 Покажем, что при да < 1 решения асимптотически сходятся к точке равновесия х- — е-' и д- — е — '.
"6 Уа 1 — Ус 1 — УО На рис. 2.1, а построен переходный процесс в исходной нелинейной системе, характеризующий асимптотическую устойчивость системы регулирования. Аналогичный результат можно получить, используя функцию Ляпунова в виде )с = х' + д'. Из уравнений (2.1) найдем — =* — (х'+ д') + х'д + д', (2.6) с См.
гл. б. откуда видно, что по крайней мере при 1х! (( 1 и 1д) (( 1 — будет отриснс цательно определенной функцией. Последнее свидетельствует об асимпто-~ д,д ~,д Хд г,д Дд йд Рис. 2.д Переходные нрацеане для нелинейных еиепым, аниееуеаемых уравнениями вида: ех еу е» еу,, ве е) — — у+ем — -у+уп б) — у-е: — «*+уь — х'+е" Ф е! ее м ' и тической устойчивости системы автоматического. регулирования '. Итак, с помощью 1-го метода Ляпунова была проанализирована устойчивость системы регулирования при постоянных параметрах.
2.2. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по 1-му методу Ляпунова, когда уравнения замкнутой системы имеют следующий вид: йх — у — г: йе н ХЕ + де; (2.7) Решение. Уравнения системы линейного приближения около траектории равновесия г = О, у = 0 будут — р — г; Ф йр — «йч ~п де -м;-= г. (2.8) Из системы (2.8) найдем характеристическое уравнение системы 0 (Х) = Х (Х вЂ” 1)е; (2.9) ' Сы. подробнее в гл. б. отсюда получим Х1 = 0", Х = Хе = 1.
Таким образом, согласно линейному приближению невозмущенное движение (точка равновесия г = 0; у = 0) является неустойчивым. Решение исходной нелинейной системы (2.7) можно записать в следующем виде: х=*С,+С,е', у* — С~+ (2СюСг(+ Сз) е'+ С٠— С7+ (2С~Сг( + Сз) е'+ Сг. На рис. 2.1, б показаны переходные процессы, из которых следует, что при г- сох- СФ; у Сзе ~ г — С~ .
Это свидетельствует о том, г и ° 2 м что система автоматического регулирования неустойчива. Аналогичный результат можно получить, используя функцию Ляпу- нова У у'+ г». Найдем —. В силу уравнений (2.7) имеем дУ ж — 2у (х~ + у) + 2г (г + х ) = 2уз+ 2г'+ 2ух'+ 2гха. При 1х! (( 1, !у) (( 1 и ~ г~ (( 1 как $', так и — „будут положительно дк определенными функциями, что указывает на неустойчивость системы регулирования. С помощью 1-го метода Ляпунова мы установили, что рассматриааемая система автоматического регулирования в замкнутом состоянии при постоянных параметрах является неустойчивой.
2.3. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью 1-го метода Ляпунова, если уравнения замкнутой системы имеют — х', ,и — — д+ ху. дя (2.10) Решение. Уравнения первого приближения вблизи точки равновесия (х 0; у * О) будут 1х =0; (2.1 1) — х'+ 2у — 2у х, лк г з (2.15) 178 Корни характеристического уравнения 17 ® = Х (Х + 1) = 0 (2.12) имеют следующие значения: 1,=0;К,= — 1, (2.13) откуда видно, что по уравнениям линейного приближения (1-й метод Ляпунова) нельзя судить об устойчивости положения равновесия. Рассмотрим справедливость полученного результата.
Для этого воспользуемся анализом решения исходной системы уравнений (2.10) в виде 1 1 . С, (2.14) Изформулы(2.14) имеем: при С, < 0 х(1) ос при 1 — С; иу(1)- оа при 1 — С,, что свидетельствует о неустойчивости по Ляпунову рассматриваемой точки равновесия. Аналогичный результат получим, используя для анализа функцию Ляпунова У = х — уз. Из уравнений (2.10) найдем С откуда следует, что функция —, будет положительно определенной в окрестности ~ х~ (( 1, ~ д) (( 1, а У будет знакопеременной функцией, что н указывает на неустойчивость системы автоматического регулировайия по Ляпунову.
2.4. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования с помощью 1-го метода Ляпунова, если уравнения замкнутой системы имеют вид (2.!6) Решение. Уравнения 1-го приближения относительно точки х О, у = 0 будут (2. 17) Характеристическое уравнение найдем из системы (2.17) в виде.. 0(Х) „= ),з, откУда ),1 = ),з — — О.
В данном случае 1-й метод Ляпунова не позволяет судить о состоянии системы регулирования. Проиллюстрируем зто положение. Из лннеаризовапной системы получим х=С,(+Сг; у=С„ (2.18) что указывает на неустойчивость рассматриваемой системы регулирования. В то же время исходная нелинейная система является асимптотическн устойчивой, так как функция Ляпунова У вЂ” х" + —,ра, 1 ! 4 2 откуда (2.19) Выражение (2.19) показывает на асимптотическую устойчивость начала координат рассматриваемой системы автоматического регулирования.
Полученное противоречие указывает на невозможность определения устойчивости данной системы автоматического регулирования по лннеаризованным уравнениям динамики замкнутой системы. 2.5. Получить условия асимптотической устойчивости линейной системы автоматического регулирования, изображенной на рис.
2.2, а, с помощью функции Ляпунова. Построить область асимптотической устойчивости на плоскости параметров Т, К, если Т; = Т, = 1 с, а К =* Й)Йзйю Решение. Уравнение замкнутой системы регулирования запишем в следующем виде: ТгТ Т вЂ” „„+ (Т,Т, + Т,Т, + Т,Т,) 4 "," ( (Т, + Т, +' Т,) ~" + +(К+!)к О. (2.20) 179 ® Введем безразмерное время ч „; тогда получим ", т„т,т И~х (твтв+ Т,тв+ Т„Т,! Евх + ',(1т,т,т,) ех / т! + Тв + тв ) + ( в( 1 1) х (2.21) ' !т,тх,! пишем —,+ а — „+ Ь-у — +сх О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
