Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Указание. См. задачу 2.26. 2.28. Исследовать устойчивость систем автоматического регулирования по критерию Гурвица с характеристическим уравнением а«й» + а»Р + а»)» + а»Х' + а«Х + а» = 0 с помощью рабочей программы на языке «ФОРТРАН», если параметры системы имеют следующие значения: а) а, = 0,414.10 «; а, = 0,388 10 ', а» = 3,47 10 »; а« = 1,83; а, = =58; а 380; б)а,=210',а,=07510',а»=41 ° 10»; а =25;а =60; а»= = 420; в) а; = 1; а1 = 928,7; а» = 7,5922 ° 10«; а» 3,775 ° 10'; а, = 1,08 л Х10', а»=0; г) а, = 1; а1 = 3,142„а, = 2,758; а = 9,764; а, = 0,285; а» = 114„7. Указание.
См. задачу 2.26. 2.4. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА, МИХАЙЛОВА — НАЙКВИСТА 2.29. Построить годографы Михайлова для системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение третьего порядка (2.54)' и проанализировать устойчивость, если ее параметры имеют следующие значения: а) Т,=0,05 с; Т,=0„5 м; К=2,21/с; б) Т, = 0,05 с; Т, = 0,5 с; К = 22 1/с; в) Т, = 0,05 с; Т, = 0,5 с; К = 220 1/с.
Решение. Определим вещественную и мнимую части функции 0 (/а): и (а)-К-(т,+т,) °, У' (а) а — Т»Т»а«. (2.57) ю. н. т«а«««» 193 Подставляя в выражение (2.57) числовое значение параметров системы, найдем: а) Ус(со) 2,2 — 0,55оР; Р"с (в) в — 0,025соз; (2.58) б) Уз (в) 22 — 0,55оР; 1*а(в) со — 0,025оР; (2.59) в) Уз (со) 220- 0,55оР; )сз (в) со — 0 025вз (2.60) Задаваясь различными значениями в (рис. 2.8, кривая 1) в логарифмическом масштабе, построим по формулам (2.58) годограф Михайлова. При Рис.
2.д. Гадозрафи Маяадяоза дяя зодая» з.зз У' (в) оз — озоР+ азвз — оР; )сс (в) ~азв а,соя+ а вз (2.61) 194 и - "3 годограф проходит последовательно три квадранта против часовой стрелки. Это указывает на то, что данная система автоматического регулирования устойчива при К =* 2,2. На рис. 2.8 (кривая 2) в логарифмическом масштабе построен годограф Михайлова по формулам (2.59). Как видно из рисунка, годограф проходит через начало координат. Это указывает на то, что при К = 22 система автоматического регулирования находится на границе устойчивости.
При К 220 годограф Михайлова (см. формулы (2.60)1 проходит два квадранта (первый и четвертый см. рис. 2.8, кривая 3). При этом нарушается последовательность обхода, что указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования. 2.30. Построить годограф Михайлова по характеристическому уравне иию 6-го порядка (2.40) и проанализировать устойчивость системы автоматического регулирования при двух значениях'параметра аз 24, а, = 240. Остальные параметры системы взяты из задачи 2.15.
Рензение. Из характеристического уравнения (2.40) найдем Псвдставляя соотдетствующие значения параметров системы, получим две пары'фбрмул (/' (го) = 24 — 62ог*+ 21огв — огв; У' (ог) = 52ог — 44огз+ богв. (/'(о/) = 240 — 62го'+ 21огв — ог', )г' (ог) = 52ог — 44гов+ богв. (2.62) (2.63) Я гр = н — — гпн 2 ' (2.64) где и — порядок характеристического уравнения; аг — число корней характеристического уравнения в правой полуплоскостн. тв 195 На рис. 2.9 построены в логарифмическом масштабе годографы Михайлова (кривой 1 по формулам (2.62) н кривой 2 — по формулам (2.63)).
Кривая 1 проходит последовательно шесть квадрантов против часовой стрел- гоовв ки, что указывает на устойчивость си- в 1 стемы автоматического регулирования. — — -~- '--- иг>га Прн прохождении кривой 2 нарушается -вл вввв последовательный обход квадрантов н система автоматического регулирования прн а, = 240 становится неустойчивой. 2.31. Построить годографы Михай- ввв лова и проанализировать устойчивость зав г / системы автоматического регулирования, имеющей характеристическое уравнение ав)>в+ а,)в+ азиз+ аз)>в+ азу+ ав =0 Я ! г при следующих параметрах: а) ав = 0 414.10-в.
а, =. 0,388 !О ', ! а,=3,47 10', ав 1,83; а, 58; ав= г и . 380; о> д б) а, = 0,528 10 ', а, = 0,42 1О ', -вр в га вавава ггр гввв з' аз = 524 10 ', ав = 2>21> ав = 620' -щ /-г ав = 380; в) ав = 0,414 10 в; а1 = 0,388 10"з; -ва зги/з а, = 3 47 1О ', а, = 1 83; а, = 58; а,'= 4200. Риа в.з. Гвдогрифи Мииийвови дви Указание. Кривые Михайлова строить ~и, 'в'зд в логарифмическом масштабе от ог=1 1/с до ог = 1000 1/с. 2.З2.
Построить годографы Михайлова для четырех систем автоматического регулирования, имеющих следующие характеристические уравнения: а) 0,1041> + О,ЗЗХ' + 5 5 Хв + 15 баев + 25Хз + 25Хв + 19 7Х -(- 9 5 = О. б) 107>в + 551>'+ 7Я з + 35йз + 5Х + 45 = 0; в) ЗМ +13).в+77>+ И О; г) 1,25Хз + 10,253з + 7Х + 1 = О. Проанализировать устойчивость системы регулирования. 2.33. По риду годографа Михайлова, привег(энного на рис.
2.10, а, определить число корней характеристического уравнения 5-го порядка в правой и левой полуплоскостях (пл. з). Решение. Как известно, угол поворота вектора 0 (/о>) при изменении частоты от го = 0 до ог = оо определяют по формуле Из рис. 2.10, а видно, что угол поворота годографа Михайлова при 0 ~ св < оо, ср = — будет и = 5. Подставив соответствующее значение в формулу (2.64), получим — "= 5 —" — тп, 2 откуда )и = 2.
8 д) д! г) Ргп 2.10. Годографы Михайлова для систем автоматического регулирования с неустойчитгми ввеньями Следовательно, характеристическое уравнение имеет три корня в левой полуплоскости и два корня в правой полуплоскости. 2.34. По виду годографов Михайлова, изображенных на рис. 2.10, б, в, г, определить число корней в правой н левой плоскостях, если порядки характеристических уравнений следующие: а) п = 8; б) п=9; в) п=9. 2.35. Исследовать на устойчивость с помощью годографов Михайлова систему автоматического регулирования, имеющую передаточную функцию разомкнутой системь1 К 110е — 1) (0,1в + Ц ' Пусть К = 10, тогда годограф Михайлова будет соответствовать устойчивой системе (кривая 1, на рис.
2.11). При К = 1 годограф (кривая 2) соответствует системе, находящейся на грани устойчивости (проходит через начало координат), н при К = О,1 годограф (прямая 3) находится только во втором квадранте, что соответствует неустойчивой системе. 2.36. Исследовать на устойчивость с помощью годографов Михайлова (по параметру К) системы автоматического регулирования, имеющие пере. даточные функции: Рис. г.Ы. Годограф Михайлова для передаточной 4)упкчии с двумя апериодическими евеньями — устой- чивым и неустойчаеым при трех вначениях пара- метра К = 10; 1 и О,! К (0,33в+ Ц а) ~(а) в(а,33 — ц(о,ай +ц(0.0!в+ ц !96 1 Решение.
Определим характеристическое уравнение 0 (Х) = Х~ -(- 9,9Х -1- + К вЂ” 1 = О. (2.65) Из уравнения (2.65) получим и (т)-К-1-т',1 У' (со) = 9,9!о. прн К = 101(с; К 1001(с; К (0,5а+ Це (25т — 1) (5а+ 1)е (0,02а+ !) (0,025а+1) прн К е= 1000 1!с; К 40 000 1(с; К (0,4а+ 1) е (2.3а+ 1) (0,05а + 1)е при К = 50 1(с; К = 500 1(с; К (1 1а + 1)* аа (3,33а+ 1) (0,04а+ 1) (0,01а+ 1) при К = 1 1(с' н К =. 10 !(се, 2.37.
Пользуясь критерием устойчивости Михайлова — Найквиста, определить устойчивость одноконтурной системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии внда 60 (25а + 1) (0,1а+ 1) (0,0!а + 1) (2.67) Решение. Из выражения (2.67) видно, что входящие в него типовые звенья являются устойчивыми и и = О. В выражение (2.67) вместо а подставнм'(в, тогда получим частотную характеристику (25)в+ 1) (0,1!в+!) (0,01(в+!) ' Преобразуем ее к еледующему виду: 50 — 0,0025!ее — 2,75!ве+ 25,11)в+! ' откуда с помощью формулы (1.323) найдем 60 (1 — 2,751вт) (1 — 2,751ве)е+ (25,1!в — 0,025ве)* ' 50 (25,11 — 0,025ве) (1 — 2,751ве) е + (25,11в 0,025вер (2.68) тогда в, = 31,7 1(с.
' Сн. подробнее 1 1.2. а Характеристика %'( — (в) построена как ееркааьное отобракенне крнаой )Р ((в) от аосатекьно аепвстаенной оси. Подставляя различные значения в в вещественную и мнимую частотные характеристики разомкнутой системы, получим амплнтудно-фазовую частотную характеристику ' (рис. 2.12, а), откуда видно, что годограф (1т ((в) при изменении в от †до +со не охватывает точку с координатой ( — 1; (О); следовательно, рассматриваемая система устойчива в замкнутом состоянии а.
Пусть коэффициент усиления данной системы К = 5000; тогда кривая (Р ((в) будет охватывать точку ( — 1; 10) против часовой стрелки два раза (рис. 2.12, б). В этом случае система автоматического регулирования неустойчива в замкнутом состоянии. Точку пересечения кривой (Р ((в) в осью абсцисс можно найти, решив уравнение 5000 (26, 11 — 0,025ва) (1 — 2,761ва)е+ (25,11в — 0,025ве)а Рис.
2.1е. Автвитудно фоновые частотныв карактерисчаики !кривые Миколина — Оаакеисот) двн одноконтурно» системы авнтматического ресумчрованин при К 00 и Л!00 Положив У (в,) = — 1, найдем значение коэффициента усиления системы К = 2762, при котором она находится на грани устойчивости. 2.38. По амплитудно-фазовым частотным характеристикам разомкнутых систем, приведенных на рис. 2.13, а — д, проанализировать устойчивость замкнутых систем автоматического регулирования.
Решение. Если в передаточную функцию разомкнутой статической системы (рис. 2.13, а) входят только устойчивые звенья (т. е. и = 0), то система регулирования в замкнутом состоянии будет устойчива, так как при таком расположении кривой обеспечивается соотношение тр р — о= чв ° (2.69) где р — число положительных переходов кривой ЯУ ()ро) отрезка ( †; — 1; !0); о — число отрицательных переходов кривой !У"()со) отрезка ( †; — 1, 10). Из рис. 2.13, а видно, что +1 — 1 г— в 0 и система устойчива в замкнутом состоянии. При измененном расположении кривых (у" (!со) из рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
