Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(2.22) Введем в рассмотрение систему уравне. ний вида а) !вхч — = хв', йв ихв ахв+ хз йв (2.23) е» вЂ” а- — сх, — Ьх,. с) Зададимся квадратичной формой з Е со!эх!хе; со!в ° сов! (2.24) ив ! и будем искать функцию Ляпунова также в аиде квадратичной формы з о!эх!хв! ом ов! и в ! б) Рис. 2.2. Стррхпцрнэсе схеме! сисимм ееи!змие!ивеаиме резрхирсеи. иих с оисрицитехэмыми сарае!мими саваями удовлетворяющей .
учетом системы (2.23) уравнению (2.25) Соответствующая система для определения коэффициентов будет иметь внд аз!о!в+ а„ом+ амогз и!вв; а„о„+ (а„-1- ам) о„+ азво„+ амо„+ ащовв = 2совв; авва!! + аззовв + (ап + авз) овв + амохв + амозз = 2совв' а!во!в + ав,о,„+ а,овв савв; а!во!в+ амовв+ авэовв+ (азв+а„) овв+ азвозз 2п!м' амовз+ пивом+ левом шв, (2.26) гдеа„=О; а„=1; а„=О; а„=О; а„= — а; а„1; ав! — с; — Ь; О. Определитель этой системы имеет вид о о ап аз, а„а„+ а„ с (аЬ вЂ” с). (2.27) Удобно в качестве функции Ляпунова брать функцию У = ЬУ; в этом случае будем иметь (2.28) Пусть ЯТ =* хз~, т.
е. все зсм = 0 при всех 1, й, за исклю:ением 1 й 2, взз 1, тогда получим 0 хз 2хзхз 2хьтз хз 0 0 0 — с О 0 1 — а 0 0 0 1 0 ! 0 1 — а 0 0 0 1 0 0 О 0 хзз 0 2хзхз (2.29) 0 — Ь 0 У- — с (аах~+ 2сх,х, + Ьхз+ 4з, 2 ~+ злз+ 2 ~+ 2 ас ь 1 (2.30) У (с — аь) хз. Условием положительной опред ленности У по критерию Сильвестра является ас > О, с (аЬ вЂ” с,' > О, которое одновременно служит условием отрицательной определенности ((Т.
Так как ~Т,Т ' (Т,ТзТаР то первое неравенство можно переписать в виде с > О, или К + 1 > 0 (К > — Ц. Второе неравенство эквивалентно аЬ вЂ” с > О, или, подставляя вместо а, Ь и с соответствующие выражения, получим окончательное ре- шение ээзьэр ~ ~,+т,+т, ят,хз; $ т, .т, (2.3 1) К> — 1.
Соответствующие области устойчивости и неустойчивости иа плоскости параметров Т„К при Т, Т, = 1с показаны иа рис. 2.3. 181 а, сзз о о о о азз азз аи аз~ по+а~ 0 о азз с~з азз + азз о — Ь 0 0 1 О Рис. 2.2. Области уапбачиоости и не. устобниеости системи автоматического ресулирсеанип по параметрам Ки т Область неустойоибости Сравнить результаты исследований линейного приближения и исходной системы уравнения по 2-му методу Ляпунова. Указание. См. и. 5.2. 2.7. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по 1-му методу Ляпунова, если ее уравнения динамики в замкнутом состоянии имеют вид — = — х+ 4ух; е)г бс ь — У вЂ” 2+к; Фу ° .
бс бг е — = — г — х+у бе ! Сравнить результаты исследований уравнений линейного приближения и исходной системы уравнений по 2-му методу Ляпунова. ' 2.8. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по 1-му методу Ляпунова, если ее уравнения динамики в замкнутом состоянии имеют вид 4 при къ1; 4х при — 1~х(1~ — 4 при хи= — 1. Сравнить результаты исследований уравнений линейного приближения н исходной системы уравнений по 2-му методу Ляпунова. 2.9.
Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по 1-му методу Ляпунова, если ее структурная схема приведена на рис. 2.4, о. Передаточные функции системы имеют вид а параметры системы Т, = 0,05 е; Т, 0,4 с; й, = 125; йг = 140 Чс; йо = 0,25 с. Сравнить результаты исследований уравнений линейного приближения и исходной системы уравнений пс 2-му методу Ляпунова. Указание. Лннеаризацию функции Р (х) можно выполнить, если считать, что кг (2) * хг (2; (рис. 2.4.
а). 182 — Д' ж 1 1(х) = + — 2у+ Зх — ) (х); 2.6. Исследовать устойчивость поло>кения равновесия системы автоматического регулирования, если ее уравнения динамики в замкнутом состоянии имеют внд — = — р + х(х'+ уг — 1); — х+ у(х'+ уг — 1). Рис. г.4, Структурные схемы нелинеаных систем автоматического регулироеания 2.10. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по 1-му методу Ляпунова, если ее структурная схема приведена на рис.
2.4, б. Передаточные функции системы имеют вид а параметры системы )г, = 100; (ге — — 40 /с; 'ке = 0,1; Т, = 0,1 с; Т, = = 0,5 с. Сравнить результаты исследований уравнений линейного приближения н исходной системы уравнений по 2-му методу Ляпунова. Указание. Линеаризацию функции г (х) можно выполнить, если считать, что х (1) = х (1). 2.!1. Получить условие асимптотической устойчивости линейной системы автоматического регулирования с отрицательной обратной связью, структурная схема которой изображена на рис. 2.2, б, с помощью функции Ляпунова. Построить области асимптотической устойчивости на плоскости параметров 1( = йей,йе и Т,.
Указание. См. задачу 2.5. 2.12. Получить условие асимптотической устойчивости линейной системы автоматического регулирования ~с отрицательной обратной связью, структурная схема которой изображена, на рис. 2.2, в, с помощью функции Ляпунова. Построить области асимптотической устойчивости на плоскости параметров к, и Т,. Указание.
См. задачу 2.5. 2.13. Получить условия асимптотической устойчивости линейной системы автоматического регулирования с неустойчивыми звеньями и положительными обратными связями, структурные схемы которых изображены на рис. 2.5, а — в, с помощью функций Ляпунова. Построить области асимптотической ус|ойчивости на плоскости параметров: а) К и Т (рис. 2.5, а); б) й, Т, (рис. 2.5, б); в) й, и Т (рис. 2.5, в). Указание.
См. задачу 2.5. у) Рис. 2.6. Структурныг схемы сисяим оетоматического регулироеания с нолоясиоылоными обрагягеыми сояеями 183 2.2. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ' УСТОЙЧИВОСТИ К алгебраическим критериям устойчивости относятся критерии Гуреииа. Рауса, Льенара — Шипара и Ю. И. Неймарка !1, 13, 33). 2.14. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Гурвица систему автоматического регулирования, характеристическое уравнение которой имеет вид Хз ! бааз 1 21Хз + 44йз + 62йз + 521 + 24 0 (232) Решение.
П е р в ы й с п о с об. Так как характеристическое уравнение (2.32) имеет б-й порядок, то Ьз аз аз (2.33) где аз 24 + О. Составим определитель Гурвипа в виде 6!44!52! 0 1О 0 6 44,'52,'О О 1 21 62 1'24 0 0 6 44 52 (2.34) 972192 ) О, Образуем по нему недостающие четыре минора: Л1 8>0; = 82)0! 6 44 <52 =!688)0; 1 21 62 0 644 0 44 52 0 1 21 62 24 43560 ) О. 0 6 44 52 О 1 21 62 ! ю з 3 22 26 0 0 1 21 62 24 0 Ьз 0 3 22 26 0 0 1 21 62 24 0 О 3 22 26 (2.35) Так как все миноры положительны, то система автоматического регулирования устойчива: В то рой способ.
Определитель (2.34) приведем к треугольному виду следующим образом. Умножая элементы 1, 3 и 5-й строк определителя 1 (2.34) на рз 2, получим Далее, умножая 1 и 3-ю строки определителя (2.35) на выбранный 1 коэффициент р, = — и вычитая полученные результаты соответственно 3 из 2-й и 4-й строк, найдем в ь, =-— 2 22 26 0 0 3 3 0 3 22 26 0 41 160 3 3 24 0 0 3 22 26 (2.36) !вв! я.
=— м! ч. =.— 4! 3 22 26 0 0 0 41 160 72 0 0 0 — — 0 211 425 41 41 0 0 41 160 72 0 0 3 22 26 йь = (2.37) 1631 3 Следу!о!ними множителями будут р, = —, и р, = —. Применяя в 41 ' аналогичные процедуры к 3-й и 4-й, а ~также к 5-й строкам, найдем 3 22 26 0 0 0 41 160 72 0 0 0 211 425 0 0 0 0 211 425 (2.38) 21!в И, наконец, взяв множитель рв = — и проделав аналогичные про- 16 333 цедуры с 4-й и 5-й строками, получим окончательное выражение для греугольного определителя в виде 0 0 0 3 22 26 0 0 41 160 72 0 0 211 425 16 335 211 (2.39) Ль ?2 3 736 863 0 0 0 0 16 335 В определителе (2.39) диагональные элементы положительны; следовательно, условия критерия Гурвица выполняются и система автоматического регулирования устойчива.
185 9 Затем, умножая 2-ю строку на коэффициент рь = —, вычитаем из 41' полученных значений 3-ю строку. После умножения 2-й и 4-й строк на ! ,р, = 3, а 3-й на рь = —,, имеем 2 ' 2.15. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования по характеристическому уравнению, приведенному в задаче 2.14, по критериям Льенара — Шипара и Ю.
И. Неймарка П1. Решение. Перепишем характеристическое уравнение (2.32) в общем виде, т. е. аз)„е+ аз"ьз+ азУ+ аз)Р+ аеХ'+ аь)ь+ ае" 0 (2.40) где ае = 1; а, *= 6; а, = 21; аз — — 44; а, = 62; а, = 52; ае = 24. Для уравнения 6-го порядка применение условия устойчивости Льенара — Шипара приводит к результату а, > 0 прн з 1, 2, ..., 6; азазаз+ азаь — аза, — а', 1688 > 0; азаь (азазае + аеае + аеазае — азае — азаеаз — а,а,ае— — аь (ааае+ аь — а азаь — азаеаь) — азаь (азазаз+ азаь — азае — аз) + + азае(азанзь — азаь — азаь) = 972192 > О, ~2.41) что указывает на устойчивость системы автоматического регулирования.
Воспользуемся теперь критерием устойчивости Ю. И. Неймарка; тогда уравнение (2.40) с помощью коэффициента р, = —" можно привести к виду 11) (ае — ~ аз) Хе — а ьь+ (ае — з" аз) ) 4+ азьз+ ез аз + (а,— е" а,))Р+аьХ+а, О. а, (2А2) В этом случае порядок уравнения (2;42) понизится на единицу и оно примет вид ! а Хз+ а,У+ азй+ аз О. (2. 45) При ре получим ае аз азу + азХ + аз = О, (2.46) откуда — а +1 а; — 4азаз Хзз 2ае (2.47) а,Дь+ азР+аз)з+ азУ+ азу+ а, О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
