Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 37
Текст из файла (страница 37)
т = 0,01; 0,05; 0,1 е. 2.79, Определить запасы устойчивости системы автоматического регулирования с звеном «чистого» запаздывания с помощью логарифмических частотных характеристик, если ее структурная схема изображена на рис. 2.35, а. Указание. При построении частотных характеристик изменяют Т, и Т„а остальные параметры имеют следующие значения: )г, = 20; )гз = 1; ю -ад -28 188 27о Рис. 2.88, Логарифмические амплитудные и фазомее частотные характераасиити систем регулироеанип 1см, задачу 2.78) 8» 227 й,=375; йи =05; Т,=05 с; Т,=033 с; Т,=7 с; т,=0005 с; т ри = О 12 с; т, = О 01 с.
2.80. Определить запасы устойчивости по фазе и модулю 'в четырехконтурв(ой злектрогидравлической следящей системе (задача 2.64), когда гидравлический привод (на рис. 2.22, б он заключен в штриховой прямоугольник) имеет передаточную функцию вида ии и(т1«+и' ти+ц ' Указание. При построении частотных характеристик следует брать т = 0,008 с, а остальные параметры берут из задачи 2.64. 2.81.
Исследовать устрйчивость системы автоматического регулирования при различных я„Т„Т„Ф„Т« и Т, с трансцендентными звеньями с помощью логарифмических частотных характеристик, если ее структурная схема изображена на рис. 2.35, г. Указание. При построении частотных характеристик используют следующие параметры: й, = 20; ли = 10 1/с; й, = 1; Т = 0,1 с; Т, = 10 с; т, = 0,01 с( т, = 0,05 с.
2.82. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования в зависимости от параметров звена «чистого» запаздывания и определить запасы ее устойчивости по фазе и модулю, если К (Тии+ Ц'(Т и+ Ц'Е (') (т;+ Ц (т, + Ц (т;+ 1Р(т,и+ Ци ' где К = 1,78; Т, = 66,7 с; Т, = 33,3 с; Т, = 2 с; Т« = 1 с; Т, = 0,01 с; Т, = 0,0033 с.
Значения постоянной времени «чистого» запаздывания выбирать таким образом, чтобы в замкнутой системе обеспечивалось двукратное чередование о:ластей устойчивости и неустойчивости. Указание. См. задачу 2.76. 2.8. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ СОСТОЯНИЙ НО ПАРАМЕТРАМ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 2.83. Исследовать устойчивость следящей системы по параметрам и построить области устойчивых и неустойчивых состояний, если ее передаточная функция имеет вид К и(Т,и+ Ц (Т и+ Ц ' Решение. Для определения областей устойчивых и неустойчивых состояний воспользуемся методом логарифмических частотных характеристик.
Примем Т, = 0,5 с; Т, = 0,05 с и К = 1 1/с. На рис. 2.39, а построены логарифмические амплитудная Н, (еи) и фазовая 6 (еи) частотные характеристики. Система устойчива и ее запас устойчивости 7„= 61'. Если коэффициент К = 3,16 1/с [кривая Н, (ие) ), то запас устойчивости системы по фазе падает до Т, = 27'. При К = 10 1/с (кривая Н (еи) ) у„= 14'. Дальнейшее увеличение коэффициента усиления (кривые Н, (ие) и Н, (ы) ) приводят к неустойчивости системы, так как у,« < 0 и у„( О. Используя полученное семейство частотных характеристик (рис. 2.39, б), построим области устойчивости и неустойчивости следящей системы в зависимости от параметра К.
228 Рис. 2.41. Частотные еараятеристини следящей сисаымы ари Т, = О,б с и 1ч = 2,1б Чс -го /Во ауге -ео — мо ор !о ео 0 йо чх Ф ФВ еле яг еле зем~.йй Рис. 2.42. Области устойчиеые и неусоеойчиеыл состояний системы аатоматичепсого рееулироеанил яа аараметру 1ч 2.86. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для системы автоматической стабилизации летательного апрарата (задача 2.63) по параметру й„для трех случаев с помощью логарифмических частотных характеристик. ,2.87. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для следящей системы (задача 2.54) по параметру Т, с помощью логарифмических частотных характеристик. 2.88. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для электронного регулятора напряжения по параметрам й, и Т, (задача 2.66) с помощью логарифмических частотных ~ характеристик.
2.89. Построить области устойчивьгх и неустойчивых состояний для регулятора оборотов гидротурбины (задача 2.68) по параметрам йе и Т, с помощью логарифмических частотных характеристик. Рис. 2.42. Области устойчиеыл и неустойчиеыя со. стояний системы истома. с,о ч с,с тичеасоео рерулироаания ао нараметру ч 2.90. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для системы автоматического регулирования по времени «чистого» запаздыва. ния, по данным задачу 2.76. Решение. Пользуясь данными рис.
2.38, на рис. 2.43 построим границы устойчивости системы по параметру ч. 2.91. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для системы автоматического регулирования по времени «чистого» запаздывания, используя передаточную функцию задачи 2.82. 2.9. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ С ПОМОЩЬЮ Р-РАЗБИЕНИЯ Метод 0-разбиения пространства по одному или двум параметрам позволяет анализировать на плоскости устойчивость систем автоматического регулирования в зависимости от их изменения [1, 17). При разбиении пространства по одному параметру характеристическое уравнение записывается з виде 0 (д) + шд (д) 0 (2.110) откуда 0 0(х) д Я(х) (2.111) Приняв Х = )гз, найдем ш — —. (7(з») + )У (гз). Е(1 ) Гг Ом) (2.112) РЗ (Х) + чм' (Х) + 11 (Х) О. (2.
113) При Х = (е уравнение (2.113) имеет вид РЗ()а) +.() ()м) +а((ш) = и(м) +)У( ). (2.114) 231 Изменяя о от — оо до оо, построим в плоскости ш кривую, отображаю щую мнимую ось плоскости Х на плоскость ш. Правило штриховки. При перемещении вдоль кривой 0-разбиения от точки е = — оо к точке з» = оо ее с~(едует всегда штриховать слева. В результате этого можно получить области устойчивых и неустойчивых состояний системы автоматического регулирования. Например, установив, что одна из областей имеет й корней в левой полуплоскостп, можно найти их число в других областях по переходам кривой В-разбиения. Если происходит переход кривой с незаштрихованной стороны на заштрихованную, то в этой области число корней в левой полуплоскости увеличивается иа единицу (й -1- 1). При переходе кривой с заштрихованной стороны на незаштрихованную число корней уменьшается на единицу (а — 1). Таким образом устанавливается наличие корней в различных областях полуплоскости.
Затем, положив ш = О, найдем корни оставшегося уравнения. Если их количество равно 1 и они имеют отрицательные вешественные части, то й = 1, а область устойчивости системы должна иметь порядок 1 -1-1 (где 1 = 1, 2, 3 ...), равный п (порядок исходного характеристического уравнения).
При разбиении по двум параметрам уравнение (2,110) можно записать в виде Для того чтобы построить гранины 1)-разбиения, необходимо определить (л и т для каисдого а, решая совместно два уравнения: и(а) =О; Р1а) =О. (2.115) Если в каждом из этих уравнений выделить члены, содержащие )л и т, то получим систему двух уравнений (.)(а) =)»5»(а)+ Я!(а)+Я,(а) = 0; ( 1' (а) = )ло» (а) + ТЯ» (а) + й» (а) О. ! Решив эту систему, найдем (2.116) — )1, !а) Я, !в)( — И !в) 0»(в)! (2.117) Ь,(в) Ъ,(в)~ ' 5,!а) Е,! ) 5, (а) — )1, 'а) 5, !а) — И, ~в) (2.
118) Т Т Т,7Р + (Т Т, + Т,Т, + Т Т~ Р + ( Т, + Т, -1- Т,) Х + К + ! = 0 (2 ! 19) построить кривую 0-разбиения плоскости по параметру Т„если К = = 500 1/с; Т, = 1О с; Т = 0,1 с. Решение. Уравнение (2.119) приведем к виду Т» (!Р + 10,1Х» (- Х) -1- (Х» .1- 10,1Х -1- 501) = О. Подставляя в уравнение (2.120) Х = !а, найдем 501 — в'+ 10,1)а 5050 . а" — 399.99в'+ 501 )а — )в' — 10, 1а» 102,0!в'+ (1 — Ю')' 102,01а'+ в (1 — в»)»' + 1 ' .. (2.121 Задаваясь различными значениями а, построим на рис. 2.44 кривую В-раз- биения.
Заштрихуем ее, пользуясь приведенными выше правилами. Тогда вся комплексная полуплоскость разбивается на четыре области. 232 Правило штрихования. При перемещении вдоль кривой 0-разбиения от точки а = — оо к точке а = оо ее следует штриховать дважды слева, если А > О, и дважды справа, если Л < О. При переходе гранипь! с двойной штриховкой из заштрихованной зоны в иезаштрихованную два корня характеристического уравнения переходят из левой полуплоскости в правую, и, наоборот, при переходе в заштрихованную область имеем переход двух комплексно сопряженных корней в левую полуплоскость. Определив с помощью любого способа в какой-то области число корней в левой полуплоскости й = 1, найдем область устойчивости, где ! + 1 = и.
Если при некоторой частоте а = а, уравнения (2.117) и (2.118) становятся линейно зависимыми и Ь = Ь, = 0 или Л = Л» = О, то образуются прямые линии. При перемещении по кривой л)-разбиения их штрихуют слева в тех точках, для которых лл > О, и справа — при Ь < О. Если знак Л меняется в точке а = а, (О < а, ( оо), то через эту точку проходит чособая прямая», которую штрихуют двойной штриховкой (при Л > 0 слева и при лл ( Осправа). Если с ростом а в точке а = а» Л = 0 знак не изменяется„ то проходящую через точку а = а, прямую ие штрихуют. 2.92. Для системы автоматического регулирования с характеристическим уравнением Рис. 2.44.
Криеол г!-роедиенчл лоосноспеи 1р по одному ларомеперу ору оо гаро Положив Т, = О, из оставшей- ся части уравнения (2.120), найдем — !0,1 н У Ю.!е — 4.501 2 е еор Ьз т. е. корни Л, и Ее имеют отрицательные вещественные части, и об- ор ласть 1 имеет й = 1 = 2. Тогда в соответствии с правилами перехода получим в областях 11 и 1У й -1- 1 корней, а в области 111 й — 1 корней. Областями устойчивости рассматриваемой системы являются 11 и 1У, так как в них имеем й -1- ! = 2 -1- +1 = 3 при третьем порядке исходного характеристического уравнения (2.119), 2.93.
По характеристическому -м уравнению замкнутой системы (Т!Х+ 1) (Тз~Х'+ То) +!)+ де(со= 0 (2, 122) -!Роз при Т, = О 45 с, Т, = 5 с и ле = =25 построить В-разбиение плоско- уу сти по двум параметрам р =* Тз и т= л!. Решение. Подставляя эти значения в уравнение (2.122) и по = 1в, получим — 0,2р)ве — 5рве + р)в — 0,2в' + 50а -1- 1 -1- 25о О. Отделяя в уравнении (2.123) действительную часть от мним -ео ложи з Х = (2.123) ой, найдем — брв'+ 25т + (1 — 0,2вз) 0; ра (1 — 0,2ао) + 5а = О. (2.124) Отсюда Ь 5 р — Л.— Ь ! — 0.2ве ' Ье — 25ве + (! — 0,2ве)е т (2.125) Ь 25 (! — 0,2ве! Задаваясь различными значениями в, построим кривые 1 и 2 (рис. 2.45).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
