Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Таким образом можно построить весь годограф, показанный на рис. 3.9, а. 3.17. Оценить показатели качества по годографу замкнутой системы, рассчитанной в предыдущей задаче. Решение. Из рис. 3.9, в нетрудно увидеть, что при К ) 0,4 замкнутая система имеет пару преобладающих комплексно-сопряженных полюсов, которые в основном и определяют качество процессов в системе. Такое расположение полюсов и влияние дополнительных полюсов и нулей подробно исследованы в работе [401. Приведем лишь основные соотношения для оценки качества в системе с преобладающими полюсами: а) время наступления' первого максимума 1 Г л Ш ги=„„г —,, 1п+ ~~ аги(п,— р,) — ~~~ агп(п,— г), (3.27а) где р, — полюсы; р,=п,-)-1в; г, — нули замкнутой системыФ(з)= —; а (а) 1 + Ф' (а) ' для колебательного звена имеет место точное условие я 1т (3.2Уб) б) максимальное перерегулирование определяется соотношением 1,0~1 1~>~ 7/1 ) р, — ж1, )г~1 (3.28а) для пары комплексно.
сопряженных полюсов ог о, = е "'-'* =* е (3.286) в) время регулирования 3+1 П П ! р, — о~ ! ! г, ! 1о (3.29а) для пары комплексно-сопряженных полюсов з з жв — = ог ' (3.29б) 115 (р У ВС гесг Рис. З.11. Перекоднога прокосе в сисгпелм регулирования Рас. З.10. Располоскение поленов на плоскости конялексного пере- ненггоео Для рассматриваемого примера выберем значение коэффициента передачи разомкнутой системы К = 0,45, при этом полюсы замкнутой системы Р, = — 0,35 -1- 10,53; Ре — 0,35 — 10,53; Р, =. — 2,3.
Графически расположение полюсов показано на рис. 3.10. По формулам (3.27) —.(3.29) вычислим показатели качества процесса регулирования: время наступления 1-го максимума 3,14+ 0,27 1 максимальное перерегулирование о = — 'е о г'е г 1,1 0,156 0,17 !7941 23 озег время регулирования З + (п 1,1 З,З =* — = 11 с. 0,З 0.З По найденным показателям достаточно просто построить приближенную характеристику переходного процесса, как это показано на рис. 3.11. 3.18. Построить корневой годограф при аамыкании передаточной функ- ции 00 (е+ 2) (е+ 10) (ее+ 2е + 10) жесткой обратной связью. 3.19.
Определить в условиях предыдущей задачи максимально достижимое значение коэффициента затухания пары преобладающих полюсов. Оценить при $ „показатели качества замкнутой системы. Построить приближенную картину переходного процесса. 254 3.20.
Используя метод корневого годографа, определить структуру параллельной коррекции, которая обеспечивает коэффициент демпфирования $ = 0,7, для замкнутой системы, если задана передаточная функция разомкнутой системы 40 [4+1) (ив+ 4+ 4)[4+ 10) 3.21. Построить корневой годограф, если заданы следующие передаточные функции разомкнутой системы: 11 а) ([7 (з) = К,„[, +, 4+ „ 7 б) ))У (з) = К, 3 В) 37(5) = К в[,+1)(и+3). 3.23. Построить корневые годографы как функцию коэффициента усиления для следующих передаточных функций: 1 з'+4 а) (17(з) = — К б) ()7 '(з) = 4К (4'— в) 27(з) = 4К ., Рив.
8. [й. Св[ррки[уриии сквив обивкта регулиро. Проанализировать устойчивость замкнутых систем. Построить частотные характеристики и сопоставить результаты анализа, полученные двумя методами. 3.24. Найти передаточную функцию Яг,", (з) и построить корневой годограф в функции й„ для системы, приведенной на рис. 3.12. 3.25. Оценить влйяние дополнительных нулей и полюсов в передаточной функции разомкнутой системы на показатели качества замкнутой системы, если [4+ Р)' 2а' 4 [в + 1) [4 + а) (4 + а) 4 Рв ' где — а < — 2; — 2 < — р < — 1. 3.4.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА Интегральные оценки характеризуют качество протекания переходных процессов. Наибольшее применение получили две интегральные оценки (20, 361: ,7, = 4~ ( (г) — ( )1' [1 (3.30) 3.22. Построить корневой годограф замкнутой системы при изменении передаточного коэффициента К, если задана передаточная функция разомкнутой системы 4а)4 д зз з ,),=)[( (1) — ( )1+т( — „) ~(г. о и (3.3Ц Первая интегральная оценка служит мерой быстродействия процессов регулирования. Если выходной сигнал записывается в виде Ьоз~+Ьзз~ +...
+Ь 1з+Ь ! 3.32) (3.32 о Р-(-а,з". '+... +а .,з+а„ то первая интегральная оценка будет 2 за (Вщ Лщ+ Вщ зцщ„з+... + Взоз+... + Во Ло 2ЬщЬоз.з о), ~з (3.33) где аз-з ° .. О а ... Π— а, ... О а , ... О а„— а ао-4 а з — а„. — а з а„, — а (3,34) О О а, В Ь'; В 1= Ь' о — 2Ь Ь вЂ” з', Вз = Ь$ — 2ЬЬ зЬЬ+~ +... + 2( — 1)ЬЬ,зЬзз; (3.35) В, ЬЬ; 3.26. Определить значения постоянной времени Т, и коэффициента усиления К для системы автоматического регулирования, имеющей разомкнутую передаточную функцию (р(з = К з(тзз+О(ти+Ц оо (й = О, 1, 2, ..., аз) — определитель, получающийся в результате замены (аз -)- 1 — Ь)-го столбца столбцом вида (а„,а„О ...
О). Если Ь = О, то выражение (3.32) примет вид (3.33) а з" +азР 1+... +аз,зз+а„' В этом случае первая интегральная оценка будет иметь вид (о'= з (Вт Ли+ В зй з+ ° . + Взйо+ .. + Вз йз). (3.37) Вторая интегральная оценка позволяет найти наилучшее приближение исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени Т. При х (оо) = О из формулы (3.31) получим ,(1 — — [ [хз(Г) + То(ж) 1 о(1 [ [х(1)+ТЫ Дх+Тхо(О)„(338) о о откуда следует, что т1п У, будет при з х(1)+Т вЂ”, =О или х(1)=х,е прв отработке единичного ступенчатого воздействия д (1) = ! Щ, соответ. ствующие минимуму первой интегральной оценки при Т, = 0,04 с.
При определении К,, следует брать Т, 0,2 с и при нахождении Тдорд К = 26 с д. Решение. Найдем передаточную функцию замкнутой системы К Т,Т У+(Тд+Тд) д~+ д+К ' откуда К 1 1 ~ Тдтрга+!Тд+Тд) дд+ д+К 1 д Первую интегральную оценку качества найдем по формуле (3.33) в виде Гр= —,, где а, К аг 1; а Т,+Та( ар Т,Т;1 о, ° К; но ар К -(т,+т,) о л 0 1 тт 0 — К Т,+Т, К (Т, + т — Кт,т~( 1 — (т,+т4 0 К 1 — Т,Т, о -К т,+т, т +т — ктт +к(т +тд йр Ва Ьр К'. Подставляя полученные значения в формулу для интегральной оценка, найдем к'(т,+т,— ктгт,+к(тд+т) 1+ 1 (т,+т,) (339) 2К4 (Тд + Тд — КТдТ,) 2К 2 Т, + Тд — КТ,Т„' 4~в 1 Г 1 тгТд (Тг+ тд)' аК 2 1 Кд + (Тд+Т,— Ктдтг)д ~ Из последних двух выражений получим д аддддд 1 КТ.-1 ' т т,+Ут,т,(т,+т,) После подстановки параметров Тг = 0,04 с и К = 2611с найдем 0,04 + 0,0016К Т„р, ', ' 0,2 с.
При Т,=-0,04 с и Т, 0,2 с 0,04Тд+ 0,2 ~/тд (Тд + 0,04) 3.27. Построить зависимости минимального значения Гр от параметров К и Т, для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию в разомкнутом состоянии К(Т д+1) р(трррг+2$трр+1) (ТЫ+ 1)д 9 ю. и. т аргер Для получения минимального значения интегральной оценки по Тз и К воспользуемся следующими зависимостями: ~~а ! кт, '+ ктдт — т, — т, дгтд Т + Тд КТгТд (Тд + Тд КТдТд)д когда на ее вход действует сигнал и (1) 1 (г! и система имеет следующие параметры: Т, = 0,1 с; $ 0,75; Т, = 0,1 с. Решеыие.
Определим через передаточную функцию замкнутой системы значение выходного сигнала К(т а+ П 1 з(тзззз+21т,в+1)(Таз+1)+К(Т,о+1) з ' или кт,г+ к Х (з) ТЗтзы+(т,'-(-Хйт,тз)ЗЗ-(- т, +Зйт, ЗО+(1+Ктг) З+К З По формуле (3.33) найдем 1 за — (Вз оз + Вооо 2озоо о) 2а1 а (3.4 1) где 7 гТз — (Тз+ 2$тгтз) Тз+ 2~то — (1+ кт~ К.10 з(5,25 — 0,625К+4,25ктз — Кзт)) тт — (Тз + 2$тзТз) Тз+ 2$тз — (1+ кт) К КТ1+ 1 0 К 0 0 0 — ТаТа Тзз + 2$тзтз = 10 зКз(7,25+ Ктз); йо = 0 0 ТзТз 0 — (Тз+ 2КТзтз) ' 0 Тз+ 2$тз — ТзТ, — (1+ Кт() Таз+ 2~тат.; Ктг + 1 — (Тз+ 2$тз) К 1+ Ктг 0 — К 0 0 10 (5,25+9,5ктг+ 3,25К Т~~ — Кзт1+0,6875К-0,875К Т1 — 0,025К ); Во ° К'Т(1 Вг= К'; бо= КТЫ Ьг= К.
Примем 7 =* 0,18; 0,15; 0,5. Тогда получим (рис. 3.13) линии равных значеный функционала 7о(К, Т), ло которым находим его минимальное значение, соответствующее оптимальным значениям параметров К и Т,. Из рис. 3.13 следует, что К,рз — — 5,29 с ' и Тым = 0,35 с. Подставляя полученыые значения в формулу (3.41), найдем Хо = 0,148.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
