Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 14
Текст из файла (страница 14)
где Е (г, 1) — напряженность электрического поля; р — магнитная проницаемость; Т (1) — проводимость, 1.100. Вывести дифференциальные уравнения продольного движения летательного аппарата, учитывая изменение жесткости его корпуса и действие сил внутреннего неупругого сопротивления, определить передаточные функции и составить структурную схему. Указание.
При выводе уравнений следует считать, что силы внутреннего неупругого сопротивления летательного аппарата пропорциональны скоростям деформа пи и. .1.101. Вывести дифференциальные уравнения бокового движения летательного аппарата, учитывая изменение жесткости его корпуса и действие сил внутреннего неупругого сопротивления, определить передаточные функ.
ции и составить структурную схему. Указание. См. задачу 1.72. 1.102. Вывести дифференциальные уравнения бокового движения несимметричного летательного аппарата, учитывая влияние крена, изменение жесткости его корпуса и действие сил внутреннего неупругого сопротивления. Определить передаточные функции летательного аппарата и составить структурную схему.
Указание. См. задачи 1.72, 1.73. е„Ьт)1 и еа а! Риб. 5ЕЕ. Преобровбеппмле код-еы лпа: о — упропаепвав прввпвпвалъвап овала; б пажвоа овевала ° пиводвоа ове- вал е! Тогда прн подаче на вход дискретного злемента импульсного сигнала, преобразующего непрерывный сигнал х (!), имеем хе(!) = Д х(кТ)6(! — кТ). (1.275) Применив к выражению (1.275) дискретное преобразование Лапласа, получим Хе(е) ~~~! х(кТ) е '~. (1.276) еа (ОТ) ° й,б (1)", еа (1Т) й,6 (! — Т); е, (2Т) йаб (! — 2Т); (1.278) ев (кТ) й„б (! — кТ). Подставляя выражения (1.278) в формулу (1.277), получим Ю ее® = ~~~ й„6(! — кТ). (-1.279) Выходной сигнал представим в виде еп(Ф) е,е(!)+ ела(!)+ епа(!) + ° ° +еле(!); (1.230) С помощью выражений (1.275) и (1.276) описывают динамические процессы и в цифровых управляющих вычислительных машинах.
1.103; Определить передаточную функцию преобразователя код-аналог нулевого порядка, имеющего упрощенную принципиальную сдему, показанную на рис. !.50, а. Решение. На вход преобразователя поступают импульсные сигналы ее (ОТ), е, (1Т), ..., е„(кТ) в тактовые моменты времени (рис. 1.50, 6). Разряд конденсатора преобразователя происходит по зкспоненциальной кривой с постоянной времени Т, (рис. !.50, е). Входной сигнал представим в виде суммы входных импульсов, т.
е. ее(!)=е (ОТ)+е,(1Т)+е (2Т)+ ° ° +е„(кТ); (1.277) е„(() й,е ' (и (1) — и (1 — Т)); ~-т е„(() й,е ' (и (( — Т) — и (1 — 2Т)); ~ — яг е,з(1) й,е ' (и(1 — 2Т) — и(1 — ЗТ)1; (1.281) е,„(1) й„е ' )и(1 — кТ) — и(1 — (к+ 1) ТЦ, Подставляя выражение (1.281) в формулу (1.280), получим л ~ — нг е,(1) ~~~ й„е г' (и(1 — кТ) — и(1 — (к+ 1) ТЦ.
(1.282) Применяя преобразование Лапласа к выражениям (1.279) и (1.282), найдем л Е'(з) ",~ й„е ' ', к а т ~+7~ я О (1.283) откуда получим передаточную функцию преобразователя код — аналог в виде т (1.284) При большом значении постоянно() времени Т, передаточная функция идеапнзироваииого преобразователя нулевого порядка е-гв йукА (з) = (1.285) 'Ф =Р((); д(0) =0 (1.286) воспользуемся первым членом разложения функции у в ряд Тейлора. Тогда р.„= д„( Т)„, (1.287) где' Т вЂ” величина шага интегрирования; а — индекс, обозначающий коли- чество шагов. 76 Характеристики выходных сигналов на выходе идеализированного преебразователя представляют собой прямоугольники (см. на рис.
1.60, з штри-ховые линии). 1.104. Вывести разностные уравнения, определить передаточную функцию программы интегрирования, реализуемую на цифровой управляющей вычислительной машине по методу Эйлера, и составить структурную схему программы. Решение. Формулы численного интегрирования являются аппроксимациями разностных уравнений, которые получаются с помощью ряда Тейлора. При решении дифференциального уравнения а) Рис. Ся. Структурные схемы лрограмм интегрирования, реализуемом на улравляюи(ия ЦВМ в реаяеном масштабе времени ло методам: е — эйлера; о — трапеляй; а — Руеге Кутая 3-го порядке Откуда получим разностное уравнение в виде (1.288) длаа — .дл = т(л. )'е(з) ( — -;у- — 1) = Тге(з).
(е (1.289) Из выражения (1.289) найдем передаточную функцию программы инте грирования по Эйлеру, реализуемую на управляющей ЦВМ в виде ° уа (а) 7е-ат пр. Р (З) ра (Е) ( — ат 1 — е (1.290) На рис. 1.51, а показана структурная схема данной программы. интегрирования. !.!05. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ интегрирования дифференциального уравнения ду (1.291) д(0) =0, реализуемых на управляющих ЦВМ по методам: а) трапеций, б) Рунге— Кутта 4-го порядка.
Составить структурные схеМы данных программ. Решение. Рассмотрим все численные методы на примере интегрирования системы (1.29!). а. При интегрировании по методу трапеций воспользуемся двумя членами ряда Тейлора; тогда д д + т1 + т' 1 (!.292) Производную („ будем аппроксимировать следующим образом: (а )л-г 1л у (1.293) Подставляя формулу (1.293) в выражение (1.292), получим Т д„„= д„+ г(„+ —,У„ (1.294) Применяя к разностному уравнению (1.288) дискретное преобразование Лапласа, получим Т д — дв = -й-(3~в — /. ! (1.295) Применив к выражению (1.295) дискретные преобразования Лапласа, найдем Т (3 в-вт) е-вт йвв в(з)= З вт ° 1 — е (1.296) й,= Т/(1„; д„); й,=т1(~„+ — , 'Т; д„+-~!й,); й.= Т/(~„+ — , 'Т; д.+ я й,); й,= т~(1„+Т; д„+й,).
В нашем случае правая часть / от д не зависит, поэтому д„„-д„+ — Т)„+ — Т1„+ — Т), + — Т/, + ! 1 1 1 +-з в+-~ + — 'и,- .+ — ', ~~.~ 2 Применяя к полученному выражению прямое преобразование Лапласа, (! .298) получим 1.- > — ~à — ' 1)1 (з) = а 1 + 4Т вЂ” вт + т г'*(з). (1.299) 1 Т бтсюда вг Г '!в-6 —,— —,— Т в вт-1-вв (1.300) С помощью передаточной функции (1.300) нетрудно определить структурную схему программы (рис. 1.51, в). 1.106. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ интегрирования дифференциального уравнения (1.291), реализуемых на управляющих ЦВМ но методам: а) Эйлера (улучшенного) с двойныи шагом; б) Рунге — Кутта 3-го порядка. Составить структурные схемы данных программ.
1.107. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ интегрирования дифференциального уравнения (1.291), реалиауемых на управляющих ЦВМ по методам: а) Симпсона 1/3; б) Штермера. 1.108. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ интегрирования дифференциального уравнения Т;2~+д(1) л(1) при д(0) дгв (1.301) откуда нетрудно определить структурную схему программы (см. рис.
1.51, б). б. При интегрировании по методу Рунге — Кутта 4-го порядка дифференциального уравнения (1.291) будем использовать следующие рекуррентные соотношения: ""+ ь й'+ з в+ з й + и ~" 1 1 1 1 (1.297) реализуемых на управляющих ЦВМ по методам: а) Эйлера; б) трапеций; в) Рунге — Кутта 4-го порядка. Составить структурные схемы данных программ. 1.109. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ интегрирования дифференциального уравнения (1.301), реализуемых ка управляюших ЦВМ по методам: а) Эйлера (улучшенного); б) Рунге — Кутта 3-го порядка. 1,11О.
Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ интегрирования дифференциального уравнения ку — „~ =х(1) при у(0) д„ реализуемых на управляющих ЦВМ по методам: а) Адамса — Вашфорта; б) Адамса — Мультона. Составить структурные схемы данных программ. 1.111. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программы интегрирования дифференциального уравнения Т2 -З)х- + 2 зТ, + + у (1) = х (1) (1.зоз) цри у(0)=у;, -яг О, ая реализуемой на управляющей ЦВМ по методам: а) Эйлера; б) Рунге — Кутта 3-го порядка. Составить структурные схемы данных программ. 1.112.
Вывести разиостные уравнения и определить передаточные функции программы интегрирования дифференциального уравнения Т, ~~, +у(1) = х(1) (1.304) при у(О)=0; -Я. О, лу будет реализовано на управляющей ЦВМ. Лля этого воспользуемся ревност- ным методом решения дифференциального уравнения (1.305) при'нулевых начальных условиях. Тогда гзат х, х„+ ) у(1)сИ.
(! .306) ~в Заменим функцию у (1) интерполяциониой формулой Стирлинга; т. е, у(1) =Г+1Й+~~!+ — '" 5= — "-Д +'-~,— '-'~+ "; (1.302) 1 здесь ~„' ~„', Д, („~ н Д вЂ” значения функций в точках у „, у „, где к =О, —, 1 3 2 ' '" реализуемой на управляющей ЦВМ по методам: а) Эйлера; б) трапеций. 1.113. Найти передаточную функцию преобразователя ' код — аналог 1-го порядка. 1.114. Вывести разностные уравнения и определить передаточные функции программ идеального дифференцирования, реализуемых на управлявших ЦВМ по методам: а) первой, б) второй и в) третьей центральных разностей.
Составить соответствующие структурные схемы программ. Решение. Лифференциальное уравнение — д (1) Юх (1.305) Прн этом будем иметь м! . +! л ~ [ лл+Е1л + д 1л+ В 1л + 34 1л+ (1 303) нли х т =,3 (аоглл+ аг~„'и + а!Ел + аз!ли* + алг'л + ° ° ), (1.309) где постоянные а„а„а„... не зависят от Т. Из выражения (1,309) найдем ! аз= 1 е(Е 21 ! ! ,=~1(Е-О; ! ! г Е' 1 а,= ) —,е(Е =— я з' ! г ЕП вЂ” 0 а, ) — е(Е О; 6 -! ! г Ело — 11 а,= ) — е(Е= — —; 24 00 — ! Имея это в виду, из выражения (1.309) получим следующую зависимость Хл+' Х"= 3 1,21'"+ З Е'л Оог" +'") з (1.310) (1.311) те хл+! — хл= л 2ул+ 3 ~lу ! — ул) — (ул — у л+— 2 — ~~ул+! — у, ) — З(у ! — У.) +3(ул — У, )— (' -' "'-')Р (1.313) Х9 Из последующего выражения выведем разностные уравнения программ: дифференцирования: а) для первой центральной разности Хл+! Хл тУ ! б) для второй центральной разности те 1 хлл! — хл —— 2 ~2Ул+ ! + 3 1(ул ! — Ул+ — ') (Ул+ ' — Улй) = = о (Ул„+4У ! +Ул); (1.3! 2) в) для третьей центральной разности или к„+т — к„= -85-! — Ун!! +34Р, + 114рн+ 34У, — д» !).
(1.314) л= ! ! н н+ э Применив к формулам (1.311) — (1.314) преобразование Лапласа, найдем: а) Для первой центральной разности Х (з)~ — -,у- — е ' )=2ТУ (з) (1.3!5) !е ,— мт (тн (й)= "Р Х* (в! 2Те (1.315) Программа дифференцирования (1.316), реализуемая иа, управляющей ЦВМ, приведена к реальному времени. Соответствующая этой формуле схема изображена на рис. 1.52, а. Реальный масштаб времени на этом рисунке учитывается обозначвниями входного сигнала в виде к„н выходного сигнала в виде у„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
