Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования (1977) (1249285), страница 12
Текст из файла (страница 12)
и (о, в[ (1.196) г !з! Из выражений (1.196) можно найти передаточную функцию длинной линии. Если Рис. ДЗУ. Гидравлический нри- вод с нанном неременной нроив- водителвносоис и длиннмми нсру- донроводоми Подставляя соотношение (1.200) в формулу (1,199), получим йу(! з) е — с есс (1.201) Обозначим время запаздывания через т = !)/~.С. В этом случае передаточная функция длинной линии примет вид (5'(з) е-", (!.202) Используя обратное преобразование Лапласа, запишем 'и (!) = и (! — т). (1.203) 1.75.
Вывести дифференциальные уравнения и определить передаточ'ную функцию длинного гидравлического трубопровода, учитывая его упругую деформацию (рис. 1.39). Решение. Уравнение движения элемента жидкости длиной Ы, выделенного на рис. 1.39, можно записать в виде — +зйр —,=Р(р -р), ~<Ъ Ео ЬЕ где еп — масса жидкости выделенного элемента; о — средняя скорость элемента жидкости; р, — коэффициент рязкости жидкости; г — внутреннее сечение трубопровода; р' — р — разность давлений в сечениях ! — ! и 2 — 2. до' Изменение скорости в сечениях обозначим через — о(.
Тогда средняя д! скорость элемента жидкости (1.205) Давление в сечении ! — 1 р =р — — И.. др д! (1.206) Масса элемента си= гро!, (1.207) где р — плотность жидкости. Подставляя выражения (1.205) — (1.207) в уравнение (1.204), получим (1,208) На основании закона Бернулли имеем Р— Р= —. ров 2 (1.209) Лннеаризуем это уравнение: д з~г ли откуда (1.210) Ли = —. ар Р~ю Подставляя зто соотношение в уравнение (1.208), после дифференцирования найдем др р др да! д! 2 д1 д1 + Ы+ 32,~ „Ьр — д" .
(1.211) Пренебрегая членами второго порядка малости, получим (Г.212) Рассмотрим, какое влияние на элемент жидкости оказывает деформация трубопровода. Суммарное изменение длины элемента жидкости определяется сжатием жидкости Ь, и увеличением объема трубопровода Ь„т. е. Л,+б,=1 — — „й1)а — 8(; др (1.213) илн 1+ з д! По закону Гука определим сжатие жидкости в виде б = — — РЫИ, 1 др Ем О~ (1.214) где Ем †.
модуль упругости жидкости. Увеличение объема трубопровода будет ЬУ = ~Юз Ь„ (1.215) (1.216) Но приращение внутреннего объема можно определить по формуле' ЬУ = и!1 Ь)с И, (1.217) ЛК = — — сЫ„ Д' др Ез дФ (1.218) где Ез — модуль упругости трубопровода. Подставляя в выражение (1.216) зависимости (!.217) и (1.218), получим ~| Е 3) б181' 0 др (1.219) где М вЂ” удлинение радиуса трубопровода; Я вЂ” внутренний радиус трубопровода. Удлинение радиуса тонкостенного трубопровода определяют с помощью следующего соотношения: Введем в уравнения (1.212) и (1.220) следующие обозначения: И В'Ров ' 1 1) где а — скорость распространения гидравлического удара в трубопроводе. Опустив знаки приращения, получим систему дифференциальных уравнений движения жидкости в трубопроводе р — — — — 2ИР ((); др д( дх (1.221) д.
1 др д ~хР д( Применяя к системе (1.221) преобразование Лапласа, найдем рзр (з) — — — 2ИР (з); дР (з) дУ (з) 1 — ° — — зР (з) дх Я (1.222) откуда (1.223) — +2И вЂ” — — РОО О. дзр М) др (з) зз Дхз дх а" Обозначим через ()' = И' + —,,н найдем решение дифференциала з~ ного уравнения (1.223) в виде Р (з) = С~е(з-ю д+ Сзе- (в+а) х Воспользуемся следующими краевыми условиями: Р(х, г)( ~ Р(О Ф Р (х, () ), ( = 0; (1.224) Р(0, з) ° С,+Се; 0 С,е(з-") ' + С,е — (з+ы '.
Из уравнений (1.225) найдем р (о,,); (з+ь) ~ С 1 —;~+ы~ (1.22$) р(о,,) ем-ы( С,-~ Подставляя полученные значения в выражение (1.224), запишем (х з) = ° (з ь) ~ м(ь) ( е *+ (т ь) ~ (з.(.ь) ( Выражения (1.214) и (1.219) подставим в уравнение (1.2!3), откуда найдем — ( — + ) —. дс Г 1 х) ') др д( ~Ем Ез/ д( ' (1.220) Полученные выражении можно представить также в виде е — акен (( „) йг(х, з)=' ' к( ") е — лк(опух — с()ьддзйух).
(1.227) 5ь е! При больших значениях о( выражение с1Ь д1 = 1, поэтому соотношение (1.227) примет вид ((к (х, з) е — лк [сЬ ()х — зЬ ах) = е-лке-е« (1.228) 1/ 5» .к 1 л'-)-— (г (х з) ~ е лке « а'.~ и при очень малых значениях Ь Ю(х, з) е (1.229) « Обозначим — = т (где т — время запаздывания); тогда передаточная функция трубопровода будет 27(х з) е кв (1.230) Последнее соотношение часто используют на практике, но оно полностью справедливо лишь при Ь = О и у( = оо.
1.76. Вывести дифференциальные уравнения и определить передаточную функцию гидравлической турбины, к рабочему колесу которой поступает вода через длинную трубу. Составить структурную схему этого объекта регулирования. Упрощенная схема гидравлической турбины показана на рис. 1.21, а.
Решение. Уравнения, описывающие динамические процессы,, протекающие в трубе, запишем в виде ду ! дс~ . э д ~ ду д«а« д! (1.23!) где у — гидравлический напор; х — расстояние от водоема до интересующего нас сечения (в данном случае направляющих гидротурбины); а — скорость распространения гидравлического удара; д — ускорение силы тяжести. Воспользуемся преобразованием Лапласа.
Тогда систему уравнений (1.231) можно записать в виде — = — й' (з); — = — зУ (з). д'«' («) я (1.232) Примем следующие граничные условия: У=О прих=О; У = Уе при х 1. ое (1.233) откуда нетрудно определить передаточную функцию гидравлического трубопровода Р (к, к) е "« (ек н к~ — е е н «)1 Тогда получим а'(1, з)-уо ( — е ' + е ) К(з); ! Г(1, З) — Оа У (а ' '+Е' 7'1(З) (1.234) Введем следующие обозначения: 1'(1 з) У б)'(1 з) Р'(1, з) — оа- ЛР(1, з).) (1.235) Используя нх, запишем передаточную функцию трубы в виде Ь!' !1, а! 1'и тз. ЬУ(1.
а! з ( о, аа) а (1.236) В относительных переменных уравнение расхода воды имеет вид (1.237) во в» В Уо (1.238) Применим к уравнению (!.238) преобразование Лапласа. Тогда о%* + ЬУ(1, 5) Ьл(в! ! Ь! (1, а! (1.239) Ро во 2 уо Подставим в уравнение (1.239) ', оаа, о- —,' оаа ) ! — щта У и найдем 1 ) ЬК(1, в! ЬЯ(в! ( 2 (1.241) Уо во Из уравнения (1.241) определим Уо 1+ вва !! во Узо (1.242) Введем в выражение (1.242) спедующие обозначения: вва . Я'(1, а! рв — "; — ' т(з); 2ззо Уа Тогда получим (1.243) 3 ю.
и. т в а в где о (1) и у (1) — соответственно скорость воды я ее напор у направляющих; з (1) — отклонение направляющих. Лкнеаризуя уравнение (1.237), получим Ьв(б Ьв(1! ! ЬУ(б аоо +— Р„ Во 2 Уо Уравнение движения рабочего колеса турбины запишем в виде хз — Ма, + ЬМа, в» (1.244)а — М„+ ЬМа [1). 1(ля установившегося состояния 1 аа — иг — аа Ма ° ° „," (1.245) Учитывая это выражение, уравнение (1.245) перепишем в виде Лв~ Ле~ ' ва, а!Иаа [1[ З!аа щ Ма ава [ 3 ьр за (1.24$) ваа з в Введем в последнее уравнение следующие обозначения! Лаа„.
3ва т а И ! а а. тогда получим (1.24У) Т, т +у(К) 7~[1)+[аЩ+ —,' Ь(1). Применяя к этому уравнению преобразование Лапласа, найдем 3 у(а), + 1 Р„+ —, [а (з) + ~, (з). (1.248) Подставляя в последнее уравнение соотношение (1.243), запишем нли г(з) = у! (3) + уа(8). (1.250) Окончательная форма передаточных функций гидротурбнны с длинной трубой, подающей воду к рабочему колесу, будет иметь знд [[[' ( ) т !а) 1 Раба Б(тае+1! ' т !а1 ! [ ! — тРа ната'| ;1,1 Т,в+1 1 1+ра1ька,[' (1.251) а Сь.
указание к ааааа 1.33. бб где ) — момент инерции рабочего колеса; в, — угловая скорость вращения рабочего колера; и — коэффициент пропорциональности; М„ — установившиеся значения момента сопротивления; оМ, П ) — мгновенный сброс нагрузки на гидротурбине. Линеаризуя уравнение (1.244), получим Лава 1 1 Г аа ава 3 ар т — — — 1+ — — — + —— «1 а а в к а„, ва„а "е Ре ее Рис. 1.чй.
Структурнан скема еидро. Рис. 1.4!. Пневматический склокой цитурйины с длинным. трубопроводом линдр сннелмораснределителем и длинным еоедукоеодом где а — коэффициент температуропроводности, определяемый по формуле х а = — (здесь к — коэффициент теплопроводности; с — теплоемкостьп р— удельйая плотность материала слитка); б = б (к, 1) — изменение температуры по длине слитка. 1.82. Вывести дифференциальные уравнения процесса нагрева листа и определить передаточную функцию для упрощенной схемы печи, изображенной на рис.
1.43. Аннике слой сдуем (лор Рис. 1.ч2. Химический рмкатр с каРоеым нодоерееом Рис. 1.уд. Печа дла наерта мюаалеическоео листа 67 По передаточным функциям (1.251) и уравнению (1.250) построена структурная схема гидротурбины на рис. 1.40. 1.77. Вывести дифференциальные уравнения движения и определить передаточную функцию гидравлического силового привода с насосом переменной производительности при длинных трубопроводах между насосом и гидродвигателем.
Схема и обозначения показаны на рис. 1.39. 1.78. Вывести дифференциальные уравнения движения и определить передаточную функцию пневматического силового цилиндра с длинными воздуховодами между сопло-заслонкой и силовым цилиндром. Упрощенная схема привода показана на рис. 1.23, а. Указание. См. указание к задаче 1.38.
1.79. Вывести дифференциальные уравнения движения н определить передаточную функцию пневматического силового цилиндра с пружиной и длинным воздуховодом между пневмораспределителем 1 н цилиндром 2 (рис. 1.41). 1.80. Вывести дифференциальные уравнения и определить передаточную функцию химического реактора с паровым подогревом по температуре воды в зависимости от расхода пара. Упрощенная схема установки показана на рис. 1.42. Указание. Уравнение между расходом пара и температурой воды в реакторе составлять из условия тепловог6 баланса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
