В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Поэтому тензоры напряжений и деформаций фактически характеризуются шестью компонентами. Длядеформаций существуют три взаимно перпендикулярных направления, называемых главными осями деформаций. Волокна, направленные по ним, только удлиняются или укорачиваются, но не поворачиваются, т. е. сдвиги в главных осяхдеформаций равны нулю.Кубическое уравнение для определения главных удлинений записываетсяаналогично соответствующему уравнению для главных напряжений путём замены компонентов тензора напряжений на соответствующие компоненты тензора деформаций.Компоненты малой деформации связаны с тремя компонентами смещения в той же точке (u, v и w) шестью дифференциальными зависимостями,называемыми соотношениями Коши.

Шесть уравнений, связывающих компоненты деформаций между собой, называются уравнениями неразрывности, илисовместности деформаций, или уравнениями Сен-Венана. Физический смыслэтих уравнений таков: тело, сплошное и непрерывное до деформации, остаётсясплошным и непрерывным и после деформации.Следует познакомиться с разложением тензора деформаций на шаровойтензор деформаций и девиатор деформаций, а также с понятиями об интенсивности деформаций сдвига и интенсивности деформаций, необходимых для уяснений основ теории пластичности.Вопросы для самопроверки1. Сформулируйте и обоснуйте правила знаков для линейных и угловых деформаций.

2. Напишите выражения для инвариантов тензора деформаций. Каковгеометрический смысл первого инварианта тензора деформаций? 3. В чём заключается энергетический смысл уравнений неразрывности деформаций?Обобщённый закон ГукаЛитература: [1, 4.01-4.04, § 4-06]; [2, § 17, 18]; [3, гл. III, § 1-4]; [4, § 9, 10];[5, § 6]; [6, § 7, 8]; [9, § 8.1, 8.2, 8.4].Для изотропного упругого тела в случае пространственной задачи обобщённый закон Гука устанавливает три зависимости между нормальными83напряжениями и линейными деформациями и три зависимости между касательными напряжениями и сдвигами. Эти зависимости записывают либо в видевыражений деформаций через напряжения, либо в виде выражений напряженийчерез деформации.Вопросы для самопроверки1.

Какие тела называются однородными, изотропными, анизотропными,ортотропными? 2. Сколько независимых упругих постоянных имеется в случаяхизотропного и анизотропного тел? 3. Напишите выражения закона Гука, связывающие объёмную деформацию и среднее нормальное напряжение.Решение задач теории упругостиЛитература: [1, 7.01-7.05, 7.07, 12.01]; [3, гл. IV, § 1-5, гл. V, § 1-2];[4, § 12-16]; [5, § 84-89, 96, 99-103]; [6, § 9-12]; [9, § 5.5].Существуют два основных способа решения задач теории упругости:1) в напряжениях, 2) в перемещениях.В первом способе основными неизвестными являются напряжения  x , y ,  z ,  xy   yx ,  yz   zy ,  zx   xz .

Для их нахождения располагаем тремя дифференциальными уравнениями равновесия Навье и шестью уравнениями неразрывности деформаций, выраженными в напряжениях Бельтрами-Митчелла.При интегрировании уравнения появятся произвольные функции от координат,которые можно определить из условий на поверхности тела, выраженных внапряжениях. Во втором способе основными неизвестными являются перемещения u, v и w. Для их определения располагаем тремя дифференциальнымиуравнениями равновесия, выраженными через перемещения, Ляме.

Произвольные функции от координат могут быть найдены из условий на поверхности тела, выраженных через перемещения.Согласно теореме об однозначности решения уравнений теории упругости, следует, что заданной нагрузке соответствует лишь единственное решениеэтих уравнений.Вопросы для самопроверки1. Каким комплектом уравнений мы располагаем для определения неизвестных компонентов напряжений, деформаций и перемещений в точке тела?2.

Какие задачи теории упругости называются простейшими? Приведите примеры простейших задач. 3. Сформулируйте принцип Сен-Венана и приведите84примеры его применения. 4. Укажите три типа граничных условий на поверхности тела.Приближённые методыЛитература: [1, 14.01-14.08]; [3, гл. III, § 4, гл. IX, § 1]; [4, § 10, 11, 44, 45,48, 49]; [5, § 90-93, приложение 1-5, 10]; [6, § 27, 28]; [7, гл.

6, § 4]; [8, гл. I-III, задачи]; [9, § 9.1-9.4, 19.5-19.6].Решение многих задач теории упругости удаётся выполнить лишь с помощью приближённых методов, в ряду которых важное значение имеют вариационные. Основная задача вариационного исчисления – определениеэкстремума заданного функционала. Понятие о функционале можно получить,рассмотрев задачу, решённую Лейбницем, Лопиталем, Ньютоном и Бернуллинезависимо друг от друга в конце XVII в. Материальная точка под действиемсилы тяжести скатывается без трения от точки А до точки В по некоторой кривой у(х).

Требуется выбрать такое очертание у(х), чтобы падение произошло вминимальный промежуток времени t. Время t в этой задаче выполняет рольфункционала, следовательно, аргументом функционала t здесь является функция у(х). Вариацией функционала δ называется бесконечно малое его приращение, соответствующее бесконечно малому изменению функции. Можноустановить аналогию между понятиями дифференциала функции и вариациейфункционала  .

В задачах теории упругости полная энергия тела может рассматриваться как функционал:(1)Э  Э(u, v, w) .При вариациях функций и, v , w (малых отклонениях, согласованных сосвязями) изменяется величина функционала.Согласно принципу Лагранжа, если деформируемая система находится вравновесии под действием приложенных к ней внешних сил, то при всякомвозможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ еёвнешних и внутренних сил равна нулю: [S( s ) ( pxnu  p yn  v  pzn  w)ds  Zw)dV   ( v ) WdV ]  0 ,(2)где первый член в скобке – работа поверхностных сил, второй член – работаобъёмных сил, а третий член – потенциальная энергия упругого тела.Выражение в квадратных скобках представляет собой полную энергию тела – функционал Лагранжа Эл , и уравнение (2) можно записать короче:Эл  0 ,(2) и (3) представляют собой вариационное уравнение Лагранжа.85(3)Вариационный принцип Кастильяно основан на вариации напряжений,между тем как рассмотренный выше принцип Лагранжа основан на вариации перемещений.Вариационное уравнение Кастильяно можно записать в виде [ ( s ) ( pxn  u  p yn  v  pzn  w)ds   (V ) WdV ]  0 ,(4)где первый член – работа вариации поверхностных сил на действительных перемещениях, второй член – вариация упругой энергии тела, происшедшая из-завариации действительного напряжённого состояния.Выражение в скобках можно рассматривать как функционал КастильяноЭк и записать уравнение (4) в следующем виде:Эк  0 .(5)Вариационный метод Ритца вытекает из принципа Лагранжа.

Согласноэтому методу, перемещения u, v и w предполагают состоящими из функций,каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям.Например, в книге [4]:u   ak f k ( x, y, z ) , v   bkk ( x, y, z ) , w   ck k ( x, y, z ) ,(6)kkkгде f k ,  k ,  k – функции, удовлетворяющие граничным условиям, а ак , вк , ск –произвольные параметры. Полная энергия системы Э может быть представленакак функция параметров ак , вк , ск .Из условия Э  0 и произвольных знамений указанных параметров следует:Э 0,акЭЭ 0, 0.вкскИз равенств (7) можно определить все параметры, входящие в выражения (6).Одним из наиболее эффективных приближённых методов решения задачстроительной механики и теории упругости является метод конечных элементов.

Сплошная среда тела разбивается на некоторое количество конечных элементов: в плоской задаче – на треугольники, прямоугольники и др., впространственной задаче – на тетраэдры, прямоугольные призмы и др. Внутрикаждого элемента выбирают некоторые функции, однозначно определяющиеперемещения точек элемента через перемещения его узловых точек. Последниеявляются основными неизвестными. Определяют узловые силы, уравновешивающие два действующих элемента нагрузки.

После этого обычными приёмамистроительной механики можно исследовать поведение тела в целом. Установлена эквивалентность метода конечных элементов методу минимизаций функционала энергии по узловым перемещениям; метод конечных элементоврассматривается тогда как вариант метода Ритца.86Тема 3. Плоская задача теории упругостиПлоская задача в декартовых координатахЛитература: [1, § 8.01-8.07, 11.01-11.05, 11.13, 14.01-14.08]; [3, гл. VI,§ 1-9]; [4, § 17-24, 48, 49]; [5, § 8-11, 14-24, 120-124, приложение, § 1-8]; [6, § 13-28);[9, § 12.5, 19.1-19.6].В практических приложениях часто встречаются задачи, в которых можно отбросить одну из осей координат, например ось Оz, и всё явление рассматривать как бы происходящим в одной плоскости Оху, т. е.

Характеристики

Список файлов книги