В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Определение значений главных напряжений.Согласно (2),J1  50  70  100  120 ;J 2  50  70  70  100  100  50  802  602  1002  215  102 ;J 3  50  70  100  2  80  60  100  50  602 70  1002  100  802  55  104.1Согласно (4), p  215  102   1202  263  102 ;321q    1203   1202  215  102  55  104  438  103 ;273438  103cos   0,265 ;   7440' ; cos  0,9071; 60   357' ;32  93,733cos  60    0,818 ; 60   8453' ; cos  60    0,0892 ;333r  5774 263  102  93,7 .Согласно (5), y1  2  93,7  0,9071  170,0 ; y2  2  93,7  0,818  153,0 ;y3  2  93,7  0,0892  16,8 .Проверка согласно (6): 170,0  153,0  16,8  170,0  169,8  0 .Согласно (7), главные напряжения равны:  '  170,0 120 210,0 ;3120120 113,0 ;  '''  16,8  23,2 ;331  210,0Ì Ï à ;  2  23,2Ì Ï à ;  3  113,0Ì Ï à . ''  153,0 Проверка вычисленных значений главных напряжений согласно (8):210,0  23,2  113,0  120,2  J1 ;210,0  23,2  23,2 113,0  113,0  210,0  215  102  J 2 ;210,0  23,2 113,0  55 104  J 3 .1152.

Определение положений главных площадок.Определяем направляющие косинусы , m, n нормали к площадке, по которой действует 1  210,0Ì Ï à . 70,0  210,0  100,0  80,0  60,0  0,627 ;n1 80,02   50,0  210,0  70,0  210,0 m1  50,0  210,0    60,0   100,0  80,0 0,787 .n1 80,02   50,0  210,0  70,0  210,0 Согласно (9),1Проверка по третьему уравнению системы (9):100,0  0,627  60,0  0,787  100,0  210,0  109,92  110,0  0 .Из уравнения (10) находим n1 : 0,6272  0,787 2  1 n1  0,705 ;111или;2,0125n12n12 0,705  0,627  0,441; m1  0,705   0,787  0,554 .Аналогичным образом определяются направляющие косинусынормали к площадке, по которой действует  2  23,2Ì Ï à и32, m2 , n2, m3 , n3 нормалик площадке, по которой действует  3  113,0Ì Ï à :20,00634 ; m2  0,785 ; n2  0,622 ;30,9 ; m30,282 ; n3  0,342 .Проверка определения , m, n согласно условиям (11):0,441 0,00634  0,554  0,785  0,705  0,622  0 ;0,441 0,9  0,554  0,282  0,705  0,342  0 ;0,00634  0,9  0,785  0,282  0,622  0,342  0 .Построение нормали к главной площадке, по которой действует  1 , выполнено на рис.

9. Аналогичным образом строятся нормали к главным площадкам действия2 и 3.Примечание. В условиях (11) , m и n берутся одновременно либо все с верхними знаками, либо все с нижними знаками.Программа на ЭВМ для такого рода задач помещенав приложении.116Рис. 9Пример 3. Прямоугольная пластинка (см. рис. 5.

б) изгибается под действием поперечной нагрузки интенсивности q: 1 1  2xy 1x 1 yq  q0  2  2  cos cos 4 cos 4 cos  ;ab aa bb  a b q0  const .Задано уравнение упругой поверхности пластинки: x yw  C 1  cos 1  cos ; C  const ; a  2,0 ì ; b  1,0 ì ;   0,3 ì .a b Жёсткость пластинки D  const .Требуется:1. Установить, каким граничным условиям удовлетворяет заданное уравнение упругой поверхности.2. Определить постоянный коэффициент С.b3. Построить эпюры M x , M y , M xy , Qx , Qy для сечения y  .6Решение.1. Определение граничных условий пластинки (условий на контурепластинки):ï ðè x  a w  0 ,ï ðè y  bw  0.Следовательно, пластинка опёрта по всем четырём краям.

Выясним, какона оперта – шарнирно или жёстко.Уравнение углов поворота в направлении, параллельном Ох:wxy C sin 1  cos.xaa b w 0 : левый и правый края защемлены. Уравнение углов поxворота в направлении, параллельном Оу:wyx C sin1  cos  .ybb a При x   aПри y  bw 0 верхний и нижний края защемлены. Итак, пластинкаyзащемлена по всем четырём краям.2.

Определение постоянной С. Воспользуемся уравнением (1) и составимсоответствующие производные:1172w y   x;C1coscosx 2baa 23 w y   x; C 1  cos  sin3xbaa 34w y   x; C 1  cos  co s4xb  a a43 wx y   ;Ccossin   yx 2aba b24 wxy   ;Ccoscos   y 2 x 2aba b222w x   y;C1coscosy 2abb 23 w x   y; C 1  cos  sin3yabb 34w x   y. C 1  cos  co s4ya  b b4Левая часть уравнения (1) принимает следующий вид:x 1y 1xy 1DC 4  4 cos 4 cos 4 coscosa bb aaba1xy 1xy2 2 2 coscos 4 coscosabab bbb 2 11 xy DC  2  2  coscosabab1x 1 y 4 cos 4 cos.aa bb 4Подставив в уравнение (1) левую и правую (см. заданное выражение длянагрузки) части, после сокращения получаемCq0.D 43.

Составление выражений для внутренних усилий согласно формулам(2), (3) и (4) и полученному значению С:118 y   xM x  DC 1  coscos b  a a22 x    y  1  coscos a  b b q0  1 y x  x  y1  cos 2 1  cos. cos cos2  2  a b a b a b Аналогичным образом получаемq0  1 x y y x.1  cos 1  cos cos cos2  2  b a b b a2wВ целях составления выражения M xy определяем:xyMy 2w2x y; C sinsinxyaabM xy  q0x y1    sin sin . q abab3 w3 wВ целях составления выражений Qx и Qy определяеми;xy 2 yx 23 wxy    ;Csincos  xy 2ab a  b 23 wx     y;Csincos   yx 2baa b232 y    x     x yQx   DC 1  cossinsincos   baaababq0  1 1   xy 1 xsincossin.222 a  a b ab aa Аналогичным образом получаемQy  q0  1 1   yx 1 ysincossin. b  a 2 b2 ba b2b Подставив в вышенайденные выражения усилий заданные числовые данные и y bb, находим для требуемого сечения y  следующие выражения:66119q0 q0 xx;0,7265cos0,26M1,006cos 0,866  ;y2 2  a aqqxx; Qx  0,666 0 sin;M xy  0,175 02 sinaaq xQy   0  0,625cos 0,5  . abПо последним выражениям усилий для сечения y  строим эпюры по6Mx ординатам (табл.

А), изменяя х от – а до + а (рис. 10 и табл. Б).Рис. 10Таблица АxMxMyM xyQxQy–а– 0,5а00,5аа– 0,4670,260,990,26– 0,467– 0,140,871,870,87– 0,1400,1750– 0,175000,6660– 0,66600,125– 0,5– 1,125– 0,50,125120Таблица БЭпюрыМножителиq0M x , M y , M xy2q0Qx , QyПример 4. Кольцевая (с вырезом в центре) пластинка (см. рис. 6, ж), защемлённая по наружному контуру, нагружена изгибающими радиальными моментами m, равномерно распределёнными по внутреннему контуру.Задано уравнение упругой поверхностиr a2  r 2 w  C  2ln  ; C  const .aa2 a  8,0 ; b  4,0 ;   0,3 .Требуется:1. Проверить граничные условия (условия опирания).2. Определить С.3. Составить выражения для моментов M r и M  .4. Построить эпюры моментов M r и M  для диаметрального сеченияпластинки.Решение.1.

При r  a и w  0 (т. е. пластинка опёрта) составим выражение для углов поворота в радиальном направлении:dw1 r  2C   2  .drr a На опорном контуре r  a ,dw1 a  2C   2   0 ; следовательно, дейdra a ствительно пластинка защемлена по контуру.2. Для определения С воспользуемся условием, что на внутреннем контуре M r  m . Составим выражение для M r согласно формуле (6):2 w 1 1 2C 2  2 ;dr 2a  r dw1 1  2C   2  2  ;r dra r121a 2 1     r 2 1    1 1  .M r  CD   2  2  2  2   2CD2 2raraara 2 1     b2 1   При r  b M r  2CD m,a 2b 2ma 2b 2откуда C .2  a 2 1     b 2 1     D3. Выражения для M r и M  :1    a2 mb 2Mr  21    .r2 a 1     b 2 1     (а)Составим выражение M  согласно формуле (6):1 dw1 1  2C  2  2  ;r dra rd 2w 1 1  2  2C    2  2  .dra  r1 1  M   2CD  2  2  2  2  ara r1    a2 mb 2 21    .r2 a 1     b 2 1     (б)4.

Эпюры M r и M  . Подставив заданные числовые данные в (а) и (б),получаем44,8 M r  0, 243 1,3  2  m ;r 44,8 M   0, 243 1,3  2  m .r Изменяя r от r  b  4,0 до r  a  8,0 , вычисляем ординаты этих эпюр. Эпюры M r и M  приведены нарис. 11.Аналогичным образом решаются и другие подобные задачи.Рис. 11Приложения 1 и 2 данного учебного пособия заимствованы из разработки[1], которая используется в УГТУ с момента его открытия.122Библиографический список1.

Кутуков, Б. Н. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности [Текст] : метод. указания для студентов-заочников инж.строит. спец. высш. учеб. заведений / Б. Н. Кутуков, М. М. Кац. – 3-е изд. – М.:Высш. школа, 1990. – 80 с.2. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] /В. И. Самуль. – М. : Высш. школа, 1970. – 288 с.3. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] : учеб.пособие для студентов вузов / В. И. Самуль.

– 2-е изд., перераб. – М. : Высш.школа, 1982. – 264 с.123.

Характеристики

Список файлов книги