В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

рассматриватьплоскую задачу.Необходимо отчётливо представить себе, проанализировав ряд Примеровинженерных сооружений, два вида плоской задачи: плоскую деформацию иобобщённое плоское напряжённое состояние. Для плоской деформации  z  0 , z  0 ; для обобщённого плоского напряжённого состояния  z  0 ,  z  0 .Для обоих видов плоской задачи имеют силу одни и те же дифференциальные уравнения равновесия, соотношения Коши и уравнения неразрывностидеформаций; из шести уравнений неразрывности остаётся всего лишь одно;различен только вид физических уравнений (уравнений закона Гука).При решении задачи в напряжениях три неизвестных напряжения  x , y , ху и т.

д. находим с помощью двух дифференциальных уравнений равновесия и одного уравнения неразрывности деформаций.При решении задачи в перемещениях два неизвестных перемещения u и находим с помощью двух дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях.Дальнейшего облегчения решения задачи достигаем введением так называемой функции напряжений, или функции Эри  ( x, y) . Эта функция должнаудовлетворять бигармоническому уравнению плоской задачи теории упругости.Напряжения  x ,  y ,  z получаем, дифференцируя эту функцию.

Решениеплоской задачи в случае, если объёмной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела, сводится к нахождению функции  ( x, y) , которая удовлетворяла бы бигармоническому уравнению и условиям наповерхности.Для определения вида  ( x, y) полезно рассмотреть сначала ряд простейших функций и установить, какую задачу каждая из них решает.

Если контуримеет вид прямоугольника, а условия на контуре могут быть представлены целыми алгебраическими функциями, то функцию напряжений можно задать в87виде полинома. Следует рассмотреть ряд задач: а) чистый изгиб балки, б) изгибконсольной балки силой, приложенной на конце балки, в) изгиб опёртой поконцам балки под действием равномерно распределённой нагрузки,г) треугольную подпорную стенку. Если нагрузка не является непрерывной изакон её распределения не может быть представлен целой алгебраическойфункцией, то решение можно найти при помощи тригонометрических рядов.Следует также рассмотреть расчёт балки-стенки. Необходимо познакомиться срешением плоской задачи методами конечных разностей и конечных элементов.Вопросы для самопроверкиI.

Какая разница между плоской деформацией и обобщённым плоскимнапряжённым состоянием? Напишите основные уравнения для обоих видовплоской задачи. 2. Какая функция называется бигармонической? 3. Чему равнанаивысшая степень полинома, при которой тождественно удовлетворяетсябигармоническое уравнение плоской задачи? 4. Полиному какой степени соответствует однородное напряженное состояние?Плоская задача в полярных координатахЛитература: [1, 9.01-10.06, 11.06-11.13, 12.02, 12.04, 12.05]; [3, гл. VI, § 1-13];[4, § 25-27]; [5, § 27-30, 33, 36-39, 41-42, 140-142]; [6, § 29-40]; [9, § 19.7-19.12].При выводе основных уравнений обратите внимание на все особенности,вызываемые новой системой координат.

В практических задачах часто встречаются такие случаи, когда распределение напряжений симметрично относительно оси, проходящей через исследуемую точку и перпендикулярнойплоскости деформации; в этих случаях компоненты напряжений не зависят отполярного угла  , а зависят лишь от радиуса. Возникают лишь нормальныенапряжения  r и   , а касательные напряжения вследствие симметрии обращаются в нуль; задача значительно упрощается. К задачам такого рода относятся: а) расчёт толстостенной трубы, находящейся под равномерным давлением(задачи Ляме и Гадолина); б) чистый изгиб кривого бруса (задача Головина) идр.Применение уравнений в полярных координатах характерно и в задачах онагружении клипа. В этих задачах совершенно исключаются возможности применения элементарных решений сопротивления материалов.Внимательно разберите рассмотренные задачи, самостоятельно производявсе выводы.88Большое практическое применение в теории оснований и фундаментовимеют задачи о действии сосредоточенной силы, приложенной к границе полуплоскости и к границе полупространства (задача Буссинеска).Вопросы для самопроверкиI.

Заданы функции 1  Аr cos ,  2  Аr sin  . Требуется выяснить,пригодны ли они как функции напряжений при решении плоской задачи. Приположительном ответе следует составить выражение для напряженийA  const . 2. Что представляют собой круги Буссинеска? 3. Чем отличаетсярешение задачи о чистом изгибе кривого бруса (задачи X. С. Головина) в теории упругости от такого же решения сопротивления материалов?Тема 4.

Изгиб пластин.Основные уравненияЛитература: [1, 15.01-15.11, 15.14-15.19, 18.11]; [3, гл. VIII, § 1-10]; [4,§ 28-34, 36-39]; [5, § 102, 103]; [9, § 16.1-16.11, 17.2, 17.4].Основное дифференциальное уравнение изгиба пластинки как бы представляет собой распространение дифференциального уравнения изгиба балкина пластинку. В пластинке, кроме изгиба в продольном направлении, учитывают ещё и изгиб в поперечном направлении и кручение.Решение задачи об изгибе пластинки заключается в нахождении выражения прогиба  ( õ, ó) , которое удовлетворяло бы основному уравнению изгибапластинки и условиям на опорном контуре. Используя выражение прогиба,находят затем изгибающие и крутящие моменты, поперечные силы, а по ним –напряжения. Для прямоугольной пластинки решение основного дифференциального уравнения в замкнутой форме получить не удаётся, приходится его искать в виде бесконечного ряда.Навье предложил решение в двойных тригонометрических рядах дляпрямоугольной пластинки, шарнирно опёртой по краям.

Более общим являетсярешение Мориса Леви. Оно пригодно для прямоугольной пластинки, два противоположных края которой шарнирно опёрты, а два других имеют любые граничные условия.Вопросы для самопроверки1. Какие аналогии можно установить между цилиндрическим изгибомпластинки и изгибом простой балки? 2. В чём заключается явление чистогоизгиба пластинки? Какую аналогию можно установить в дифференциальныхуравнениях изогнутой поверхности пластинки и изогнутой оси балки при чи89стом изгибе? 3.

Какую аналогию можно установить между уравнением изогнутой поверхности пластинки и бигармоническим уравнением плоской задачи? 4. Каковы условия на контуре для свободного края прямоугольнойпластинки? Как объяснить кажущееся противоречие: в этом случае три условия, а в других случаях таких условий всего лишь два? 5. В чём заключаетсясущество методов расчёта пластинок Навье и Мориса Леви? 6.

Следует проверить свои знания, выполнив 1-2 расчёта прямоугольных пластинок, приведённых в разделе «Контрольная работа». 7. Объясните гипотезы, на основекоторых производится расчёт плиты на упругом основании.Осесимметричный изгиб круглых пластинокЛитература: [1, § 15.12-15.13]; [3, гл. VIII, § 11-12]; [4, § 35, 42]; [5, § 131133]; [9, § 17.1, 17.7].При расчёте круглой пластинки удобно пользоваться полярными координатами. Задача значительно упрощается в случае осесимметричной нагрузки,т. е. когда нагрузка не зависит от полярного угла и по всем направлениям отцентра пластинки распределяется одинаково.Следует иметь в виду особенности записи общего решения дифференциального уравнения изгиба сплошной пластинки (без выреза в средней части) икольцевой пластинки (пластинки с вырезом в центре).Вопросы для самопроверки1.

Круглая сплошная пластинка радиуса R нагружена сплошной равномернораспределённой нагрузкой q. Для случая шарнирного опирания пластинки по контуру найти: а) уравнения срединной поверхности и её угла наклона; б) наибольший прогиб; в) угол наклона срединной поверхности на контуре; г) выражениядля изгибающих моментов. 2. Решить такую же задачу, только при условии заделки по контуру. 3.

Круглая сплошная пластинка радиуса R шарнирно опёрта поконтуру и нагружена изгибающим моментом М, равномерно распределённым поконтуру. Найти: а) уравнение срединной поверхности; б) выражения изгибающихмоментов.Гибкие пластинкиЛитература: [1, § 15.14, 15.15]; [3, гл. VIII, § 13]; [4, § 39-331];[9, § 16.10, 17.8].При прогибах, сравнимых с толщиной пластинки, следуя нелинейнойтеории изгиба, Карман свёл задачу об изгибе пластинки к двум нелинейным90дифференциальным уравнениям, в которые входят производные от функциинапряжений  и прогиба w .Приближённые методы теории изгиба и устойчивости пластинокЛитература: [1, § 14.04, 15.09-15.11]; [3, гл.

IX, § 1-7]; [4, § 40, 46-49];[8, гл. 1, I-III, задачи, гл. 4, I-IV, задачи]; [9, § 12.5, 17.6, 19.6].Методы, которые основываются на интегрировании уравнения СофииЖермен – Лагранжа, часто требуют довольно громоздких выкладок и в рядеслучаев приводят к непреодолимым пока математическим трудностям. Междутем для практических целей нередко бывает достаточно получить приближённое решение задачи.Идея метода Ритца – Тимошенко в основном заключается в следующем.Задаются изогнутой поверхностью пластинки в виде ряда:nw   akk ( x, y ) ,(8)k 1где ak – обобщённые координаты упругой системы, функции  выбирают так,чтобы они удовлетворяли граничным условиям пластинки.

Составляют выражение полной энергии пластинки Э, выраженной через w , и из условий минимума функционала Э получают:Э 0 , к  1,2,..., n .ак(9)Последние равенства представляют собой систему n линейных алгебраическихуравнений, из которых находят значения параметров ак, определяющих изогнутую поверхность пластинки.Метод Бубнова – Галеркина в задачах по изгибу пластинок применяютследующим образом.Задаются уравнением изогнутой поверхности пластинки в виде (8), где  –произвольная функция, удовлетворяющая граничным условиям опирания пластинки. Подставив (8) в уравнение Софи Жермен – ЛагранжаD 2 2 w  q ,(10)получаем противоречие между левой и правой частями.

Пытаются выполнитьуравнение (10) в интегральном смысле или в среднем для площади пластинки,умножая обе части его на  k , и интегрируют по всей площади пластинки: (D  w) dxdy   q dxdy ,22kkгде поочередно k = 1, 2, ..., n.91(11)Решение (11) даёт значения параметров ak .Во многих задачах достаточно ограничиться одним членом в ряде (8), т. е.принять w  a11 . Ограничиваясь приведёнными краткими замечаниями, рекомендуем познакомиться подробнее с приближёнными методами Ритца – Тимошенко, Бубнова – Галеркина и Власова по литературе.Тема 5. Основы расчёта тонких оболочекЛитература: [1, § 16.01-16.06]; [3, гл.

X, § 1-13]; [4, § 50-57]; [7, гл. 1,§ 1.1-1.7, гл. 2, § 2.1-2.5, 2-9, гл. 3, § 3.1-3.14, гл. 4, § 4.1-4.5, гл. 6, § 6.1, 6.3, 6.5,6.6]; [3, гл. 6, I-VII, задачи, гл. 8, I-III, задачи]; [9, § 18.1-18.6].Необходимо прежде всего вспомнить некоторые сведения из дифференциальной геометрии: способы задания кривой, способы задания поверхности,криволинейные координаты на поверхности, нормальное сечение, главные радиусы кривизны и главные кривизны, линейный элемент, первая квадратичнаяформа поверхности и др.Необходимо чётко представлять себе внутренние силы, действующие на элемент оболочки, всамом общем случае напряжённого состояния (рис.

Характеристики

Список файлов книги