В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 10
Текст из файла (страница 10)
П.2176Задача 22В опасном сечении вала с диаметром d действует крутящий момент Мкр иизгибающий момент Мизг. Вал сделан из углеродистой стали (предел прочностикоторой равен σв, а предел текучести – σт) и не имеет резких переходов, выточек, канавок; поверхность его чисто обработана резцом.Определить коэффициент запаса прочности в опасном сечении вала, приняв нормальные напряжения изгиба изменяющимися по симметричному циклу, акасательные напряжения кручения – по пульсирующему циклу (от нуля до максимального значения).Коэффициенты концентрации напряжений и масштабные коэффициентыможно считать соответственно одинаковыми для нормальных и для касательныхнапряжений.
Данные взять из табл. П.19.Порядок выполнения решения: 1) найти максимальные нормальныенапряжения и максимальные касательные напряжения; 2) по эмпирическимформулам найти предел текучести при кручении и пределы выносливости прикручении и изгибе; 3) найти действительный коэффициент концентрации 40напряжений по формуле k 1,2 0,2 в; 4) найти масштабный коэффици110ент по формуле м 1,2 0,1(d 3) , где d – в сантиметрах; 5) найти коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям; 6) найтиобщие коэффициенты запаса прочности по усталостному разрушению и текучести.Таблица П.18№строки1234567890Схемапорис.П.21IIIIIIIVVVIVIIVIIIIXXе, см15202530354045505560дТаблица П.19Диаметрваликаd, мм21222324251617181920г№строкиd, мм123456789031323334353637383940е77МкрМизгσвH м210220230240250260270280290300дσтМПа210220230240250260270280290300е510520530540550560570580590600д240240250250260260270270280280д78Приложение 2.
Методические указания и контрольные работыпо теории упругости и пластичностиП.2.1. Общие методические указанияК изучению дисциплины «Основы теории упругости и пластичности»следует приступить лишь после усвоения полного курса сопротивленияматериалов.Занятия по теории упругости и пластичности должны сопровождаться составлением конспекта, решением задач и ответами на вопросы для самопроверки, приведёнными в методических указаниях по каждой теме программы.Необходимо также разобраться в выводах основных выражений и формул, обращая при этом внимание на физическую сущность рассматриваемых вопросов.Каждый студент-заочник по курсу «Основы теории упругости и пластичности» выполняет одну контрольную работу, состоящую из двух задач по следующим темам: 1) плоская задача теории упругости или исследованиенапряжённого состояния в точке тела; 2) изгиб пластинок.Варианты решаемых задач должны строго соответствовать учебномушифру студента (см.
раздел «Контрольная работа»).Выполненную контрольную работу студент обязан без промедления выслать в университет, с тем чтобы указания и замечания преподавателя как в самой работе, так и в рецензии были своевременно учтены. Если присланнаястудентом работа не зачтена и требует исправлений, то вместе с исправленнойработой следует прислать и первый вариант её решения.Экзамен принимается после того, как зачтена контрольная работа.Зачтённая работа представляется вместе с рецензией на экзамене.Приводим перечень рекомендуемой литературы по дисциплине «Основытеории упругости и пластичности». В основной литературе освещены почти всетемы программы.
Дополнительная литература позволит студенту полнее изучить отдельные темы и будет способствовать расширению его инженерногокругозора.Применительно к программе дисциплины «Сопротивление материалов сосновами теории упругости и пластичности» (М., 1985) для каждой темы программы даны ссылки на литературу с указанием глав и параграфов. В методических указаниях по темам программы даны весьма краткие пояснения.79П.2.2. Список литературыОсновной1. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести[Текст] / Н.
И. Безухов. – М., 1968.2. Малинин, Я. Л. Прикладная теория пластичности и ползучести [Текст] /Я. Л. Малинин. – М., 1975.3. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности [Текст] /В. И. Самуль. – М., 1982.4. Теребушко, О. Ч. Основы теории упругости и пластичности [Текст] /О. Ч. Теребушко.
– М., 1984.5. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко,Дж. Гудьер. – М., 1979.Дополнительной6. Киселёв, В. А. Плоская задача теории упругости [Текст] /В. А. Киселёв. – М., 1976.7. Колкунов, Н. В. Основы расчёта упругих оболочек [Текст] /Н. В. Колкунов.
– М., 1987.8. Рекач, В. Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости [Текст] / В. Г. Рекач.– М., 1984.9. Терегулов, И. Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности [Текст] / И. Г. Терегулов. – М., 1984.П.2.3. Методические указания по темам программыТема 1.
ВведениеЛитература: [1, гл. 1]; [3, введение, § 1, 2]; [4, введение]; [5, § 1]; [6, § 1,2]; [9, § 1].Теория упругости изучает напряжённое и деформированное состояниятвёрдого упругого тела, вызванные различными внешними воздействиями.Аналогичными вопросами занимается и сопротивление материалов. Однакотеория упругости решает свои задачи более общими и более точными методами, применяя сравнительно сложный математический аппарат. К теории упругости близко примыкает теория пластичности. Теория пластичности изучаетобщие законы образования напряжений и деформаций, возникающих на всехстадиях пластического деформирования тела.80Теории упругости и пластичности имеет два назначения: 1) оценка точности и пределов применимости решений задач, полученных методами сопротивления материалов; 2) решение таких задач, которые не могут быть решеныметодами сопротивления материалов (расчёт пластин, оболочек, балок-стенок,массивных тел и др.).Необходимо познакомиться с основными этапами развития теории упругости и пластичности.Тема 2.
Основные соотношения теории упругости.Теории напряженийЛитература: [1, § 2.01-2.10, 3.02-3.05]; [2, § 1-7]; [3, гл. 1, § 1-6]; [4, § 1-5];[5, § 1-4, 74-75, 77-79, 84-85]; [6, § 4, 6, 8-9, 11-12]; [9, § 2.1, 5.4-6.61].Требуется изучить напряжённое состояние в области произвольной точкитвёрдого тела. Для этого из тела выделяется бесконечно малый параллелепипедс тремя парами граней, параллельных и координатным плоскостям. По каждойграни полное напряжение имеет три составляющих; всего на всех гранях действуют 18 составляющих напряжений.
Следует учесть, что одноименныенапряжения на противоположных гранях параллелепипеда различаются друг отдруга лишь на приращение по той координате, которая изменяется при переходе от одной грани к другой (количество неизвестных становится равным девяти).Составляют шесть условий равновесия, в результате чего получают три соотношения, выражающих хорошо известным из сопротивления материалов законом взаимности касательных напряжений, и три дифференциальных уравнения,содержащих девять неизвестных напряжений.
Учитывая закон взаимности касательных напряжений, число неизвестных напряжений уменьшается до шести.Если тело находится в движении, то к действующим силам добавляют силы инерции. Полученные три дифференциальных уравнения называются дифференциальными уравнениями равновесия и движения, уравнениями Навье.Чтобы полностью изучить напряжённое состояние в произвольной точкетела, надо знать составляющие полного напряжения по любой площадке, проходящей через эту точку.Рассматриваем условия равновесия элементарного тетраэдра, выделенного из тела тремя плоскостями, параллельными координатным, и четвёртойплоскостью, пересекающей все три координатных оси. Предполагая, что площадь наклонной грани в пределе стремится к нулю, получаем уравнения, связывающие напряжения по наклонной площадке, проходящей через81рассматриваемую точку, и по площадкам, параллельным координатным плоскостям.
Таким образом, напряжённое состояние в данной точке тела вполнеопределяется шестью составляющими, или компонентами напряжений, по трёмкоординатным площадкам, проходящим через эту точку. Совокупность составляющих напряжений по трём координатным площадкам образует так называемый тензор напряжений. Итак, напряжённое состояние в точке тела вполнеопределяется шестью компонентами тензора напряжений.Следует внимательно проанализировать вывод кубического уравнениядля определения главных напряжений.
Так как значения главных напряженийне зависят от выбора координатной системы, то и коэффициенты кубическогоуравнения также не зависят от этой системы, т. е. они являются инвариантамипреобразования координат. Эти коэффициенты называются инвариантаминапряжённого состояния, или инвариантами тензора напряжений.Следует познакомиться с разложением тензора напряжений на шаровойтензор и девиатор напряжений и с инвариантами девиатора напряжений; этотматериал имеет важное значение для усвоения основ теории пластичности. Втеории пластичности основную роль играют касательные напряжения, поэтомунеобходимо значительно дополнить свои знания в этой области из курса сопротивления материалов.В связи с этим необходимо рассмотреть три пары площадок с относительными максимумами касательных напряжений и октаэдрическую площадку,одинаково наклонённую ко всем трём главным осям.Касательное напряжение по этой площадке называется интенсивностьюкасательных напряжений; с последней связана числовым множителем интенсивность напряжений.Вопросы для самопроверки1.
Что представляют собой условия на поверхности тела? 2. Почему коэффициенты кубического уравнения относительно главных напряжений являются инвариантами напряжённого состояния? 3. Каким деформациямсоответствуют шаровой тензор напряжений и девиатор напряжений?Теория деформацийЛитература: [1, § 3.11-2.14, 3.06-3.08, 3.10]; [2, § 8-12]; [3, гл. II, § 1-4];[4, § 6-8]; [5, § 5, 80-83, 85-89]; [6, § 5, 6, 10]; [9, § 5.1-5.3, 6.6-6.7].Совокупность девяти компонентов деформаций образует тензор деформаций; он определяет деформированное состояние в данной точке тела. Тензор82деформаций записывается в виде матрицы, аналогичной тензору напряжений,причём нормальным напряжениям соответствуют линейные деформации, а касательным напряжениям – половины угловых деформаций.Ввиду взаимности сдвигов, аналогичной взаимности касательных напряжений, число неизвестных угловых деформаций равно трём.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
