В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

1. строка 12:   ax4  3(a  b) x 2 y 2  by 2 , а числовые данные кней – из табл. 2, строка 2: а = 2, b = 1, 5 , h = 2, х = 2, у = 0,4.97Для решения второй задачи, согласно варианту 12, следует взять прямоугольную пластинку, для которой в табл.

3 строке 12 уравнения поперечнойнагрузки и упругой поверхности пластинки имеют вид:q  q0 cosxcosy;2a2bxyw  C cos cos .2a2bЧисловые данные к этой задаче – в табл. 6 строке 2: а = 3, b = 3, h = 0,1,х = 1, у = 1,  = 0,35.Контрольная работа, выполненная не по соответствующему шифру, незасчитывается и возвращается студенту без проверки.При решении задач нельзя допускать небрежности в изложении материала и его оформлении. Графики должны выполняться тщательно и с соблюдением масштаба.Получив контрольную работу с рецензией, студент обязан внести в работу все исправления и дополнения, указанные преподавателем. Если работа незачтена, то, внеся все требуемые исправления (на отдельных листах), следуетпредставить полностью всю работу для повторного рецензирования.П.2.5.

Плоская задача теории упругостиПервая задача контрольной работыдля вариантов 0-14Дана прямоугольная полоса-балка (рис. 2) длиной , высотой h и толщиной,равной 1. Начало координат О принято в середине торцового сечения. Главнымиосями поперечного сечения являются оси Qy и Qz ; продольная ось Ох проходит посередине полосы балки. Выражения для функции напряжений  выбрать изтабл. 1, а числовые значения – из табл.

2. Объёмными силами пренебречь.Требуется:1) проверить, можно ли предложенные функции  (х,y) принятьдля решения плоской задачи теорииупругости. В этих целях используютбигармоническое уравнение 4 4 4 2 2 2  4  0;х 4х y уРис. 298(1)2) найти выражения для напряжений  х ,  у ,  ху решаемой задачи, пользуясь следующими формулами для напряжений: 2 2 2;(2) х  2 ,  у  2 ,  ху  ухух3) построить эпюры напряжений  х ,  у ,  ху для одного сечения: либоперпендикулярного оси Ох, либо перпендикулярного оси Оу (значения x и y заданы в табл. 2);4) определить внешние силы (нормальные и касательные), приложенные ковсем четырём граням полосы-балки, дать их изображение на рисунке полосыбалки и привести соответствующие эпюры. В этих целях используют условия наповерхности тела (условия на контуре тела или статические граничные условия):px   x cos( x, )   xy cos( y, ) ,p y   xy cos( x, )   y cos( y, ) ,где р х , р у – проекции на оси Ох и Оу внешних сил, действующих на граняхполосы-балки;  – нормаль к грани; cos  x,  , cos  y,  – направляющие косинусы нормали  .П.2.6.

Исследование напряжённого состояния в точке телаПервая задача контрольной работы для вариантов 15-27Напряжённое состояние в точке тела задано девятью компонентами:  x , y ,  z ,  xy   yx ,  xя   яx ,  yz   zy (рис. 3).Рис. 3Требуется:1) определить главные напряжения ипроверить правильность их нахождения;2) определить положение однойиз главных площадок (вычислитьнаправляющие косинусы нормали кэтойплощадке);3) определить положения двух других главных площадок (вычислитьнаправляющие косинусы нормалей кэтим площадкам). Это требование выполняется факультативно;4) показать на рисунке направляю99щие косинусы к главным площадкам.100П.2.7. Методические указанияГлавные напряжения в задаче на исследование напряжённого состояния вточке тела (для вариантов 15-27) находят, решая кубическое уравнение 3  J 1 2  J 2  J 3  0 ,(1)где коэффициенты являются инвариантами преобразования координат:J 1   x   y   z  const ,J 2   x y   y z   z x   xy2   yz2   zx2  const ,(2)J 3   x y z  2 xy yz xz   x yz2   y zx2   z xy2  const .JУравнение (1) подстановкой   y  1 приводится к виду33y  py  q  0 ,(3)где новые коэффициенты соответственно равны:J 1221; q   J 13  J 1 J 2  J 3 .p  J2 3273(4)Корни уравнения (3) выражают через вспомогательный угол  , опреде-q, где r  0,57742r 3со знаком q, следовательно, cos   0 ).ляемый из равенства cos  p (знак r должен совпадатьКорни уравнения (3) определяются из равенств:y1  2r cos ; y2  2r cos(60 O  ) ; y3  2r cos(60 O  ) .333(5)у1  у2  у3  0 .(6)Проверка:Главные напряжения равны: '  y1 JJJ1;  ' '  y 2  1 ;  ' ' '  y3  1 .333(7)Этим трём главным напряжениям в дальнейшем присваиваем обозначения  1 ,  2 ,  3 , где  1   2   3 .Для контроля правильности решения кубического уравнения (1) используем инвариантность коэффициентов J 1 , J 2 , J 3 :J1   1   2   3 , J 2   1 2   2 3   3 1 , J 3   1  2  3 .(8)Для определения положения главных площадок, т.е.

для вычислениянаправляющих косинусов нормалей к главным площадкам , m, n, удобнопредставить соответствующую систему однородных уравнений в виде:m( x   )   xy   xz ,nn101m ( y   )   yz ,nnm zx   zy  ( z   )  0 ,nn yx(9)а соотношение между квадратами направляющих косинусов – в виде( / n) 2  (m / n) 2  1  1 / n 2 .(10)Так как из трёх уравнений системы (9) только два уравнения независимые, то, определив / n и т/п из решения двух уравнений, третье уравнениеиспользуем для контроля найденных отношений / n и т/п.

После этого из соотношения (10) находим n, а затем и т.Определив n из (10), находим два значения, т. е. ±n; соответствующиезнаки и m определятся из отношений / n и т/n.Таким образом, для каждого значения  1 ,  2 ,  3 находим свои , m, n, т.е.направления соответствующих нормалей к главной площадке. Можно рассматривать , m, n как координаты некоторой точки A (рис.

4), лежащей на нормали  ксоответствующей главной площадке.Если направляющие косинусынормали v1 к площадке главного напряжения  1 обозначить через, m, n, анормалей  1 ,  2 – соответственно, через1, m1 , n1 и2, m2 , n2 , то из условиявзаимной перпендикулярности нормалейк главным площадкам получим три контрольных равенства:1 2  m1m2  n1n2  0;Рис. 41021 3 m1m3  n1n3  0;2 3 m2 m3  n2 n3  0.(11)Таблица 1Выражения для функций напряжений(первая задача контрольной работы для вариантов 0-14)Сумма трёхпоследних цифрФункция напряжений   xy шифра (номерварианта задачи)0  a  x 4  y 4   bx3 y  xy 31  ax  x2  y 2   bx2 y  xy2  ay  x2  y 2   bxy 2  xy3 2 2 x4   axy  b  x y  34  ax3  bx2 y  xy 2  xy5 2 y2   a  x  y   by  by  x  3 67891034422  a  y 4  x 4   bxy3  x 2 ya 41x  y 4   xy  bx 2  y 2 123111  x3 y  bx 2 y 2  by 4326111  axy 3  bx 2 y 2  bx 4326  ax4  3ax2 y 2  bxy311  ax3 y  3bx2 y 2  by 412  ax4  3 a  b  x 2 y 2  by 413  axy3  x3  y3  bxy14  ax3 y  b  x 2 y 2  y 2 31031П.2.8.

Изгиб пластинокВторая задача контрольной работы для вариантов 0-22Пластинка (рис. 5, 6) изгибается под действием поперечной нагрузки. Задано уравнение упругости поверхности пластинки w . Требуется:1. Установить, каким граничным условиям удовлетворяет предложенноеуравнение упругой поверхности w( x, y) (для вариантов 0-15); проверить граничные условия (для вариантов 16-22).2. Определить постоянный коэффициент С, используя дифференциальноеуравнение изогнутой срединной поверхности пластинки в прямоугольных координатах (для вариантов 0-15) и в полярных координатах (для вариантов 16-22).3. Составить выражения моментов и поперечных сил по известным формулам для этих моментов и поперечных сил в прямоугольных координатах (длявариантов 0-15) и в полярных координатах (для вариантов 16-22).4.

Построить эпюры моментов и поперечных сил в сечениях х( M x , Qx )или y( M y , Qy ) прямоугольных пластинок, указанных в табл. 3 и на рис. 5 (длявариантов 0-15) и в диаметральных поперечных сечениях ( M r , M ) круглыхпластинок, указанных в табл. 1 и на рис. 6 (для вариантов 16-22). Числовыеданные взять из табл. 6 (для всех вариантов).Вторая задача контрольной работыдля вариантов 23-27Круглая пластинка, сплошная или кольцевая (с вырезом в центре), опёртая по наружному контуру, находится под действием внешней нагрузки(рис. 6).Требуется:1.

Найти уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки  (r ) ,воспользовавшись общим решением основного дифференциального уравненияизгиба пластинки. Произвольные постоянные C1 , C2 , C3 и C4 определяют изусловий на контуре пластинки.2. Составить выражения для изгибающих моментов M r , M  и для поперечной силы Qr .3. Построить эпюры M r , M  для диаметрального сечения пластинки.104Таблица 2Числовые значения (первая задача контрольной работы)1050123456789abhДля вариантов 15-27xyм122112221211122211215656644655112122211212222113220,20,30,40,30,50,50,50,30,20,4Сумма трёхпоследнихцифр шифра(№ вариантазадачи)Последняяцифра шифраДля вариантов 0-14x151617181920212223242526278010090–90100160100100150–140150130–70yz xy yz zx10050608060100120100–90601009012060100606080–905050–80100–50100608050100100100–60–50–1006090–509090МПа6012090–90100808015070–6090100–13016080120–120100601205080–1006070–100Рис.

Характеристики

Список файлов книги