В.И. Кучерявый - Учебное пособие - Уравнения математической физики для решения задач теории упругости (1248982), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

5Рис. 6106Таблица 3Уравнения прямоугольных пластинок (для вариантов второй задачи 0-15)№ вариантаОчертания пластинок по рис. 5. Уравнения поперечной нагрузкизадачи (суммаq  x, y  и упругой поверхности пластинки w  x, y  .трёх последнихЖёсткость пластинки D  const , C  const , q0  constцифр шифра)120Очертание пластинки по рис. 5, аq0  const ; w  C  x  a 1Очертание пластинки по рис. 5, а2Очертание пластинки по рис. 5, аayb10b;w  C sinsinxasinybx2 y2 y; w  C sinsinabbsiny2 x2 x; w  C sinsinbaaxacosy2b;w  C sinx2asinyb;w  C cosОчертание пластинки по рис. 5, бxax2asinsiny2byb2 x2 xyy; w  C sincoscosaa2b2bОчертание пластинки по рис. 5, бq  q0 cos9yОчертание пластинки по рис.

5, бq  q0 sin8sinОчертание пластинки по рис. 5, бq  q0 cos7axq  q0 sin62Очертание пластинки по рис. 5, аq  q0 sin5xОчертание пластинки по рис. 5, аq  q0 sin4 y  bq0  const ; w  Cxy  x  a  y  b q0  q0 sin32x2asinx2 y2 y; w  C cossin2abbОчертание пластинки по рис. 5, бq  const ; w  C  x 2  a 2   y  b Очертание пластинки по рис. 5, бq  const ; w  C  x  a 1072y22 b2 Окончание табл. 31112Очертание пластинки по рис. 5, б12Очертание пластинки по рис. 5, бq  const ; w  C  x 2  a 2  y 2  b2 q  q0 cos13y2b;w  C cosx2acosy2b3 x3 x3 y3 y; w  C coscoscos2a2a2b2bОчертание пластинки по рис.

5, бq  q0 cos152acosОчертание пластинки по рис. 5, бq  q0 cos14x3 x3 xyy; w  C coscoscos2a2a2b2bОчертание пластинки по рис. 5, бq  q0 cosx2acosx3 y3 y; w  C coscos2a2b2bТаблица 4Очертания и уравнения круглых пластинок(для вариантов второй задачи 16-22)№ вариантаОчертания пластинок по рис. 6. Поперечная нагрузка изадачи (суммауравнение упругой поверхности w  r  C  const .трёх последнихЖёсткость пластинки D  constцифр шифра)1216Пластинка свободно опёрта по контуру (рис. 6, а).

Нагрузкаинтенсивности q  const распределена по всей площадипластинки 5  2 2 w  C  a2  r 2   a r 117Пластинка защемлена по контуру (рис. 6, б). Нагрузка интенсивности q  const распределена по всей площади пластинкиw  C  a2  r 2 108218*Окончание табл. 4Пластинка свободно опёрта по контуру и нагружена сосредоточенной силой P (рис. 6, в)3   2 2rwCa  r   2r 2 ln a1 19*Пластинка защемлена по контуру и нагружена сосредоточенной силой Р (рис. 6, г) 2 r a2  r 2 w  C  r ln a2 20**Пластинка в виде кругового кольца, свободно опёртая по контуру, нагружена моментами m, равномерно распределённымипо наружному контуру (рис.

6, д) a 2  r 2 2 1    b 2 r wCln 22a1aa21**Пластинка в виде кругового кольца, свободно опёртая по контуру, нагружена моментами m, равномерно распределённымипо внутреннему контуру (рис. 6, е) a 2  r 2 2 1    r wCln 2a1a22**Пластинка в виде кругового кольца, защемлённая по наружному контуру, нагружена моментами m, равномерно распределёнными по внутреннему контуру (рис.

6, ж)r a2  r 2 w  C  2ln aa2 *Постоянное С в вариантах 18 и 19 может быть найдено из равенства Qr  Qr' , гдеQr – выражение поперечной силы, см. формулу (7), а Qr' – значение поперечной силы,полученное из рассмотрения условий равновесия части пластинки, ограниченнойокружностью радиуса r: Qr'    P / 2 r  .**Постоянное С в вариантах 20-22 может быть найдено из равенств: для 20-го варианта M r r a  m , а для 21-го и 22-го вариантов  M r r b  m .109Таблица 5Очертания и уравнения круглых пластинок(для вариантов второй задачи 23-27)№ вариантаОчертания пластинок по рис. 6.

Поперечная нагрузка изадачи (суммаобщее решение основного дифференциального уравнениятрех последнихизгиба пластинки w  r  . Жёсткость пластинки D  constцифр шифра)1223Пластинка свободно опёрта по контуру (рис. 6, а). Нагрузкаинтенсивности q распределена по всей площади пластинкиqr 4w  C3  C4 r 64 D224Пластинка защемлена по контуру (рис.

6, б). Нагрузка интенсивности q  const распределена по всей площади пластинкиqr 4w  C3  C4 r 64 D225Пластинка в виде кругового кольца, свободно опёртая по контуру, нагружена моментами m, равномерно распределённымипо наружному контуру (рис. 6, д)w  C1 ln r  C2 r 2 ln r  C3  C4 r 226Пластинка в виде кругового кольца, свободно опёртая понаружному контуру, нагружена моментами m, равномернораспределенными по внутреннему контуру (рис. 6, е)w  C1 ln r  C2 r 2 ln r  C3  C4 r 227Пластинка в виде кругового кольца, защемлённая по наружному контуру, нагружена моментами m, равномерно распределёнными по внутреннему контуру (рис.

6, е)w  C1 ln r  C2 r 2 ln r  C3  C4 r 2Примечания: Постоянные С1, С2, С3 и С4 определяются исходя из условийна контурах пластинок.Mr  0 ;В варианте 23 при r  a ;w  0,в варианте 24 при r  a ;в варианте 25 при r  b ;при r  a ;в варианте 26 при r  b ;при r  a ;в варианте 27 при r  b ;при r  a ;dw / dr  0 ;w  0,Qr  M r  0 ;w  0,Mr  m;Qr  0 ,Mr  m;w  0,Mr  0 ;Qr  0 ,w  0,Mr  m;dw / dr  0 .110Таблица 6Числовые значения для прямоугольных и круглых пластинок (вторая задача)01234567894334533554bм0,10,10,10,20,10,10,20,20,20,23334353545xДля вариантов 16-27yμaТолщинаhaТолщинаhПоследняяцифра шифраДля вариантов 0-15bμм321231223222131322130,350,30,250,250,30,30,350,350,30,3654556655643233433330,10,10,20,20,20,10,10,20,10,20,250,250,250,30,30,30,350,350,350,3Примечания: 1.

μ – коэффициент Пуассона. 2. Для круглых сплошныхпластинок, т.е. для вариантов 16-19 и 23, 24, из таблицы требуется взять толькозначения радиуса а, толщины h и коэффициента μ.П.2.9. Формулы для расчёта пластинокПрямоугольные координатыДифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхностипластинки:4w4w4w2 q( xy) .x 4x 2y 2 y 4Изгибающие моменты:D(2w2wM x   D( 2   2 ),xyM y   D( w w  2 ).2yx22(1)(2)Поперечные силы:3w 3wQx   D( 3 ),xxy 23w 3wQy   D ( 3 ).yyx 2111(3)Крутящий момент:M xy   D(1   )2w.xy(4)Полярные координатыДифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки (осесимметричная задача):d 2 1 d d 2 y 1 dwD( 2 )()  q(r ),drr dr dr 2 r drd 4 w 2 d 3 w 1  2 w 1 dwD( 4 )  q(r ).drr dr 3 r 2 dr 2 r 3 dr(5)Изгибающие моменты:d 2 w  dwM r   D( 2 ),drr dr1 dw  d 2 wM    D().r drr dr 2(6)d d 2 w 1 dwQr   D ( 2 ),dr drr drd 3 w 1 d 2 w 1 dwQr   D( 3 ).drr dr 2 r 2 dr(7)Поперечная сила:П.2.10.

ПримерыПример 1. Задана полоса-балка (см. рис. 2) к первой задаче для вариантов0-14. Выражение функции напряжений:   x, y   axy 2  bx3 y  cx 2 , где а = 2,b = 1, c = 2. Размеры балки: 2,0 ì , h  1,0 ì , b  1.Решение.1. Проверка пригодности   x, y  :2 3 4322   ay  3bx y  2cx ; 2  6bxy  2c ; 3  6by ; 4  0 ;xxxx2 3 423   3ay x  bx ; 2  6axy ; 3  6ax ; 4  0 ;yyyy 3 4 2 6bx ; 2 2  0 ; 3ay 2  3bx 2 .2x yx yxy112Подставляем найденные производные в бигармоническое уравнение (1):0  2  0  0  0 .

Следовательно, заданное   x, y  тождественно удовлетворяетбигармоническому уравнению плоской задачи теории упругости и может бытьпринято для решения этой задачи.2. Выражения для напряжений (2): 2 2 2 x  2  6axy ;  y  2  6bxy  2c ;  xy   3ay 2  3bx 2 .xyyx3. Построение эпюр напряжений в сечении x  1 .Для этого сечения  x  6ay  12 y ;  y  6 y  4 ;  xy  6 y 2  3 . По указанным выражениям для напряжений, изменяя y от hhдо  , строим их22эпюры (рис. 7).Рис.

74. Внешние силы (нормальные и касательные), приложенные к граням балки (3).h 0,5м ;  x  6 x ;  y  3x  4 ;  xy  1,5  3x 2 ;2 cos  x, v   cos  x, y   0 ; m  cos  y, v   cos  y, y   1;Верхняя грань: y pxv   x  0   xy 1   xy  1,5  3x2 ; pyv   yx  0   y 1   y  3x  4 .Для сил, нормальных p yv и касательных pxv к этой грани, строим ихэпюры, изменяя х от 0 до 2,0м .h 0,5м ;  x  6 x ;  y  3x  4 ;  xy  1,5  3x 2 ;2 cos  x, v   cos  x,  y   0 ; m  cos  y, v   cos  y,  y   1 ;Нижняя грань y  pxv   x  0   xy  (1)   xy  1,5  3x 2 ;pyv   yx  0   y  (1)   y  3x  4 .Для сил, нормальных p yv и касательных pxv к этой грани, строим ихэпюры, изменяя х от 0 до 2,0м .113Левая грань: x  0 ;  x  0 ;  y  4 ;  xy  6 y 2 ; cos  x, v   cos  x,  x   1; m  cos  y, v   cos  y,  x   0 ;pxv   x  (1)   xy  0   x  0 ;pyv   yx  (1)   y  0   yx  6 y 2 .Для сил, нормальных pxv и касательных p yv к этой грани, строим ихhhдо  .22Правая грань: x   2,0 ;  x  24 y ;  y  4  12 y ;  xy  6 y 2  12 ;эпюры, изменяя y от  cos  x, v   cos  x, x   1 ; m  cos  y, v   cos  y, x   0 ;pxv   x 1   xy  0   x  24 y ;pyv   yx 1   y  0   yx  6 y 2  12 .Для сил, нормальных pxv и касательных p yv к этой грани, строим ихэпюры, изменяя y от hhдо  .

Эпюры сил, действующих на все четыре гра22ни, приведены на рис. 8.Рис. 8114Пример 2. Для напряжённого состояния в точке тела (см. рис. 3), заданного шестью компонентами, т.е.  x  50Ì Ï à ,  y  70МПа ,  z  100МПа , xy  80МПа ,  yz  60МПа ,  zx  100МПа , определить значения главныхнапряжений и положения главных площадок.Решение.1.

Характеристики

Список файлов книги