x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Следовательно, диапазон возможных значений аргументаатомногофактора существенно определяется длиной волны λ рассеивающихсярентгеновских лучей. Расчеты показывают, а эксперименты подтверждают, что с ростомаргумента атомный фактор монотонно убывает (см.рис.2.2). Если аргумент превышает 1,5,то для большинства химических элементов величина атомного фактора становится многоменьше атомного номера Z. А так как интенсивность рассеянного излученияпропорциональна квадрату атомного фактора, то при sin(θ)/λ > 1,5 интенсивностьупругого рассеянного излучения можно полагать пренебрежимо малой. Иначе говоря,вероятность упругого рассеяния рентгеновских лучей на атоме резко убывает сувеличением угла рассеяния и уменьшением их длины волны λ.При фиксированном угле рассеяния 2θ с ростом длина волны λ аргумент sin(θ)/λубывает, а величина атомного фактора, согласно общему виду зависимости f(sin(θ)/λ),растет.
Это выполняется при любом угле рассеяния, следовательно, величина атомного38фактора является возрастающей функцией длины волны λ упруго рассеивающихсярентгеновских лучей.Интегрирование выражения (2.12) по сфере дает полную интенсивность рентгеновскогоизлучения, упруго рассеянного на атоме. Из-за наличия множителя f2эта интегральнаяинтенсивность пропорциональна квадрату атомного номера Z.Следует обратить внимание, что в параграфе 2.1 рассматривалось рассеяние первичнойрентгеновской волны на свободном электроне. Выше в данном параграфе атомрассматривался как совокупность электронов, коррелированно движущихся из-замежэлектронного взаимодействия.
Однако в атоме каждый электрон взаимодействуеттакже и с атомным ядром, и по этой причине должен рассматриваться не как свободный, акак связанный. Оставаясь в рамках классической электродинамики, уравнение движениядля электрона в атоме следует записать в комплексном виде&r& + 2γ r& + ω0 r = e E0 exp(iωt)me(2.13)где ω0 – собственная частота колебаний электрона в атоме, ω – частота первичнойэлектромагнитной волны.
Параметр 2γ характеризует затухание колебаний электронавследствие его взаимодействия с атомным ядром. Решение уравнения (2.13) позволяетзаписать амплитуду вторичной волны, испускаемой атомным электроном, в дипольномприближении в следующем видеreω2&&Aae = r sin(ϕ) =E sin(ϕ) 2RRc 2ω 0 − ω 2 + i 2 γωe(2.14)Атомный фактор, согласно вышеприведенному определению, выражается следующимотношением:Z∑f=Aaejj =1AeZ=∑j =1ω2ω 02 j − ω 2 + i 2 γ j ω(2.15)где амплитуда Ae выражена формулой (2.2), индекс j обозначает номер электрона в атоме.Таким образом, атомный фактор, учитывающий связь электрона с атомным ядром,представляется комплексной величиной. В практических приложениях рентгеновскойфизики обычно атомный фактор (2.15) представляют следующей суммойf = f0 + ∆f′ + i ∆f′′39(2.16)Первое слагаемое представляет собой атомный фактор, рассчитанный без учета связиэлектрона с ядром.
Величины ∆f′ и ∆f′′ называются дисперсионными поправками –действительной и мнимой соответственно. Эти величины являются функциямипорядкового номера атома Z и длины волны рентгеновского излучения λ. Значениядисперсионных поправок для длин волн спектральных линий ХРИ, широко применяемыхв практике, приведены. в таблицах приложения 2.2.Из сравнения (2.15) и (2.16) следует, что при ω >> ω0 величина ∆f′ << f0 .
Это означает,что для коротковолнового рентгеновского излучения при расчете атомного факторасправедливо приближение свободных электронов. В квантовом аспекте это соответствуетситуации, когда энергия первичного фотона ħω много больше энергии ионизации всехэлектронов облучаемого атома.Частота собственных колебаний электрона ω0 может быть интерпретирована каквеличина Ei / ħ, где Ei – энергия связи данного электрона в атоме. Отсюда, в частности,следует, что при переходе от неравенства λ < λK к неравенству λ > λK, где λK – К-крайпоглощения, дисперсионная поправка ∆f′ изменяет знак.Вторая дисперсионная поправка ∆f′′ является мнимой частью атомного фактора, исогласноклассическойэлектродинамике,описываетпоглощениеэнергииэлектромагнитной волны при рассеянии на атоме.
Если для простоты рассмотретьединственный электрон в К-оболочке атома, из сопоставления формул (2.15) и (2.16)можно получить выражение∆f′′ =(ω2 γω320− ω2) + 4γ ω22(2.17)2Видно, что при ω = ω0 вторая дисперсионная поправка достигает максимума. ЭтомусоответствуетзаметноепоглощениеэлектромагнитнойэнергиивблизиК-крайпоглощения.Анализ данных показывает, что для коротких длин рентгеновских лучей и малых угловрассеяния дисперсионными поправками можно пренебрегать и в качестве значенияатомного фактора брать первое слагаемое правой части (2.16), значения которогоаппроксимированы выражением (2.11).
Но для больших углов рассеяния перваядисперсионная поправка ∆f′ может иметь значения сравнимые с величиной f0. Учетдисперсионных поправок приводит к тому, что при расчетах интенсивности (2.12)величину f 2 следует вычислять с помощью выражения40f 2 = ( f0 + ∆f′ )2 + (∆f′′ )2(2.18)2.3. Непругое (комптоновское) рассеяние рентгеновских лучейПри взаимодействии рентгеновских лучей с атомом, помимо вышерассмотренногоупругогорассеяния,происходятнеупругиепроцессы,которыецелесообразнорассматривать с квантовой точки зрения.
Согласно квантовой электродинамике, любоерассеяние электромагнитной волны на электрически заряженной частице рассматриваетсякак поглощение фотона с последующим переизлучением. Выше рассматривались случаи,когда переизлучается фотон с частотой равной частоте первичного фотона.
При этомэнергии первичного и переизлученного фотонов совпадают, поэтому данный типрассеяния называется упругим.Кроме этого, возможен процесс, когда электрон после поглощения первичного фотонас частотой ω испускает фотон с меньшей частотой ω′ < ω, и следовательно, с меньшейэнергией.
При этом разность энергий первичного и рассеянного фотона ħω – ħω′передается электрону. Таким образом, этот процесс относится к неупругим.Если электрон можно полагать свободным и неподвижным, то он в таком процессеприобретает кинетическую энергиюTe = ħω – ħω′(2.17)Этот процесс называется комптоновским рассеянием по имени первооткрывателя. Фотонырентгеновского диапазона имеют энергию сравнимую с энергией покоя электрона,поэтому законы сохранения энергии и импульса системы «фотон+электрон» вкомптоновском рассеянии следует использовать в релятивистской форме:me c 2 + ħω =me c 21−βħk = ħk′ ++ ħω′me1− βv(2.18)(2.19)где k и k′ – волновые векторы первичного и рассеянного фотона соответственно, v –скорость электрона, приобретенная после рассеяния, β = (v/c)2. Решение системыуравнений (2.18) и (2.19) целесообразно записать в видеλ′ = λ + ΛC(1+ cos(2θ) )где λ и λ′ – длина волны первичного и рассеянного фотона соответственно, 2θ – уголрассеяния (т.е.
угол между векторами k и k′). Постоянная величина41(2.20)ΛС =2πh≈ 2,43⋅10−3 нмme c(2.21)называется комптоновской длиной электрона.Угловое распределение рассеянных фотонов неполяризованного рентгеновскогоизлучения описывается формулой Клейна-Нишины-Таммаdσ SCr 2 λ λ' λ= Z e + − sin 2 ( 2θ) ,dΩ2 λ' λ λ '2(2.22)Дифференциальное сечение (2.22) задает анизотропию углового распределениянеупругого рассеянного рентгеновского излучения, которая растет с уменьшением длиныволны рентгеновских лучей (см.рис.2.3).Рис.2.3.
Диаграммы углового распределения неупруго рассеянного излучения для различнойдлины волны λ первичного излучения.а) λ = 0,124 нм, б) λ = 2,07⋅10−2 нм, в) λ = 6,2⋅10−3 нм, г) λ = 2,48⋅10−3 нм, д) λ = 4,13⋅10−4 нм.При неупругом рассеянии отсутствует корреляция между углами рассеяния отдельныхфотонов, рассеянных на разных атомах, поэтому данный процесс часто называютнекогерентным рассеянием.Интегрирование функции (2.22) по телесному углу 4π дает интегральное сечениенеупругого рассеяния рентгеновских лучей на атоме σSC. В общем виде это выражениеимеетгромоздкийвид,малоудобныйдляпрактическихприложений.Длядлинноволнового излучения, когда ħω >> mec2 интегральное сечение неупругогорассеяния приближенно представляется в виде следующего рядаσSC ≈ Z σ0 (1 – 2αe + 5,2 αe2 – 13,3 αe3 +…)(2.24)где σ0 – сечение томсоновского рассеяния, параметр αe представляет собой энергиюфотона, выраженную в единицах энергии покоя электрона mec242αe =hωme c 2(2.25)В случае жесткого рентгеновского излучения, когда ħω << mec2, для вычисления сечениянеупругого рассеяния более адекватной является другая приближенная формулаπre2σSC ≈ Z(ln( 2α e ) + 1 / 2 )αe(2.26)Аппроксимирующие формулы (2.24) и (2.26) свидетельствуют, что сечение неупругогорассеяния постепенно убывает с ростом энергии фотонов, т.е.
с уменьшением длиныволны первичного излучения. Однако следует помнить, что формулы этого параграфабыли получены для фотонов с энергией, значительно превышающей энергию связиэлектронов в атоме.Для меньших энергией фотонов, т.е. для более мягкого (длинноволнового)рентгеновского излучения необходимо дополнительно проводить расчет неупругогорассеяния на электронах, связанных в атоме. Эти расчеты, требуют учета дискретнойструктуры стационарных состояний электронов в атоме и проводятся с помощьюприближенных методов квантовой механики и электродинамики. Учет неупругогорассеяния на связанных электронах приводит уменьшению интегрального сечения σSC сростом длины волны λ в длинноволновом диапазоне рентгеновских лучей. Таким образом,зависимость σSC(λ) является, вообще говоря, немонотонной.
С увеличением длины волныλ первичного излучения величина σSC для определенного химического элемента сначалавозрастает, а затем убывает (см.рис.2.4).Из выражений (2.22), (2.24) и (2.26) следует, что сечение неупругого рассеяния σSCпропорционально количеству электронов в атоме. Таким образом, интенсивностьнеупруго рассеянного излучения растет с ростом порядкового номера Z химическогоэлемента вещества рассеивателя. Для сравнения следует помнить, что сечение упругого(когерентного) рассеяния σSC (см.предыдущий параграф) пропорционально квадратуатомного номера Z.Процессы упругого и неупругого рассеяния рентгеновских лучей на атомахчрезвычайно важны для практических приложений.
Если упругое когерентное рассеяниерентгеновских лучей на кристалле приводит к формированию дифракционных пучков, тонеупругое некогерентное рассеяние дает вклад в диффузную составляющую рассеянногорентгеновского излучения.432.4. Фотоэффект на атоме.Взаимодействиерентгеновскойволныс атомомсопровождаетсяпроцессамипоглощения электромагнитной энергии. Рентгеновская флуоресценция, описанная впервой главе, возникает за счет фотоэффекта на внутренних электронных оболочкахатома. В таком процессе происходит ионизация атома, точнее отрыв электрона сопределенной подоболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
