x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда для описания процесса рассеяния целесообразно описывать потокпервичных монохроматических рентгеновских лучей как плоскую электромагнитнуюволну.Направлениераспространениепервичноймонохроматическойволнызададимединичным вектором s0. Волновое возмущение, создаваемое этой волной в точкерассеивающей среды с радиус-вектором r, можно описать в виде комплексной функции:A = A0 exp[i(k0 r − ω⋅t)] ,(3.1)где A0 – модуль амплитуды электрического вектора первичной рентгеновской волны, k0 –волновой вектор волны, ω – частота колебаний, t – время.
Волновой вектор можнопредставить как k0 = k0 s0 , где k0 – модуль волнового вектораk0 =2πλ(3.2)обратно пропорциональный длине волны λ первичного рентгеновского излучения.Каждый атом рассеивающей среды является источником вторичных волн с той жедлиной волны λ.
Полагая каждый рассеивающий центр точкой с радиус-вектором rj ,запишем вторичную волну в следующем виде:С ASA0 exp(i k0 rj) exp[i(kj ρj − ω⋅t)]ρj,(3.3)где ρj − вектор, соединяющий j-ый центр рассеяния (источник j-ой вторичной волны) иточку наблюдения, kj − волновой вектор вторичной волны, рассеянной j-ым центром, CAS− коэффициент, характеризующий особенности рассеивающего объекта. Так какрассеяние является упругим, то модули всех волновых векторов kj равны k0.Регистрируемое рассеянное излучение является результатом интерференции вторичныхволн. Обозначим через R = Rs1 радиус-вектор точки наблюдения, где находится детектор искладываются колебания, вызванные пришедшими в эту точку рассеянными волнами.55Вектор s − единичный, определяющий направление от рассеивающего объекта кдетектору.Совместим начало координат с одним из рассеивающих центром (атомом).
Векторы rjпредставляются разностямиρj = R − rj .(3.4)Во многих практически важных случаях расстояние до детектора R заметно большеразмера исследуемого образца. Тогда модуль вектора R значительно больше модулей всехвекторовρj.Следовательно,отразныхрассеивающихцентроврассеяниявместорасположение детектора приходят волны, которые с достаточной точностью можнополагать плоскими. При этом условии волновые векторы kj всех вторичных волн,регистрируемых детектором, можно приблизительно считать равными параллельнымивектору R и представить как k = k0 s1.
По аналогии с оптикой данный вариант дифракциирентгеновского излучения называют приближением Фраунгофера.Рис.3.1. Геометрическая схема рассеяния плоской волны на множестве атомов в приближенииФраунгофера.D – детектор рассеянных рентгеновских лучей.Подставим (3.4) в (3.3) и воспользуемся вышеприведенными приближениями. Тогдаамплитуду волны, рассеянной j-ым атомом, можно записать в следующем виде:A1f ( θ) exp[i k0 ∆s ρj]R(3.5)где 2θ - угол между векторами s и s0, амплитуда A1, согласно (2.10), определяетсяамплитудой первичной волны и дифференциальным сечением упругого рассеяния. Вектор∆s = s1 − s056(3.6)по определению равен разности единичных векторов направления рассеянной ипервичной волн соответственно.Суммакомплексныхвеличиндает(3.5)комплекснуюамплитудуволны,регистрируемую детектором.
Очевидно, что интенсивность рассеянного излучениязависит от взаиморасположения рассеивающих центров – атомов.Следует заметить, что даже в аморфных веществах нельзя полагать расположениеатомов полностью хаотичным. Даже в газе на положение атомов наложено ограничение,заключающееся в том, что межатомное расстояние не может быть меньше суммырадиусов атомов. Массовая плотность жидкостей близка к плотности кристаллов, чтообусловливает весьма узкий диапазон минимальных межатомных расстояний. Кроме того,в жидкостях всегда присутствует некоторый ближний порядок, точнее корреляция вовзаимном расположении соседних молекул.3.2.
Рассеяние рентгеновских лучей в газе.Представим газ как множество атомов беспорядочно расположенных в пространстве.Примерами являются инертные (благородные) газы, образованные атомами химическихэлементов группы VIIIа таблицы Менделеева.При облучении газа плоской и монохроматической рентгеновской волны каждый атомстановится источником вторичной волны с амплитудой (3.5). Регистрируемая детектороминтенсивность существенно зависит от разностей фаз вторичных волн, рассеянныхразличными атомами, и может быть выражена следующей двойной суммойA I(θ) = 1 R2∑∑NNj =1f j f m exp[i k0 ∆s (r j − r m)](3.7)m =1где N – количество атомов в рассеивающем образце, fj и fm – атомные факторы j-го и m-гоатомов соответственно.Двойная сумма в (3.7) состоит из слагаемых, включающих всевозможные пары атомовоблучаемого образца.
Члены с j = m равны единице и в сумме (3.7) дадут величину N. Таккак все атомы одинаковой рассеивающей способностью, то все атомные факторычисленно совпадают fj = fm = f. Следовательно, сумму в выражении (3.7) можно переписатьв виде:∑ ∑NN f.2 + f.2j =1Nm =1, m ≠ j57exp[i k0 ∆s (r j − r m)](3.8)Оставшуюся двойную сумму в (3.8) необходимо усреднить по всевозможным положенияматомов газа в пространстве.Если координаты атомов подчинялись бы равномерно случайному распределению впространстве, то среднее значение двойной суммы в (3.8) было бы равным нулю. Но какбыло указано выше, всегда имеется некоторая корреляция во взаиморасположении атомовдаже в аморфных веществах. Иначе говоря, случайное распределение атомов впространстве не является равномерным, т.е.
плотность пространственного распределенияне является константой.Введем пространственную плотность взаиморасположения пары атомов w(rj, rm).Обозначим V0 объем облучаемого образца. По определению величинаdV j dVmV0 V0w(rj, rm)(3.9)представляет собой вероятность того, что электроны с индексами j и m находятся вобъемах dVj и dVm соответственно. Для усреднения двойной суммы в (3.7) следует каждоеслагаемоеумножитьнасоответствующуювероятностьw(rj,rm)dVjdVmипроинтегрировать по всевозможным расположениям пар атомов. Таким образом,усредненное значение слагаемого суммы (3.8) выразится двойным интеграломV0 V0〈 exp[ik0 (s−s0)(r j−r m)] 〉 =1V02∫∫0w jm exp[ik0 ∆s (r j−r m)] dVj dV m ,(3.10)0где для краткости введено обозначение wjm = w(rj, rm).
Угловые скобки в левой частисоотношения (3.9) являются символом усреднения.После операции усреднения все слагаемые в двойной сумме (3.8) дают одинаковыевеличины. Так как сумма в выражении (3.8) содержит N (N – 1) слагаемых, то онапредставляется интеграломV0 V0N (N – 1)1V02∫∫0w jm exp[ik0 ∆s (r j − r m)] dVj dV m ,(3.11)0Из физических соображений функцию wjm целесообразно представить как 1 – (1 – wjm).Тогда интенсивность рассеянного излучения (3.7) выразится суммой трех членов:21A I(θ) = 1 N f.2 {1 + (N – 1) 2 RV0V0∫V0exp[ik0 ∆s r j] dVj0∫058exp[−ik0 ∆s r m] dV m –V0 V0– (N – 1)1V02∫∫0(1 − w jm ) exp[ik0 ∆s (r j − r m)] dVj dV m }.(3.12)0Первый член суммы (3.12)2 A1 2 N f.R (3.13)дает т.н. лауэвский фон, т.е.
часть интенсивности рентгеновского излучения, рассеянногоансамблем атомов, распределенных в пространстве по равномерно случайному закону.Второй член суммы (3.12) содержит произведение одинаковых интегралов видаV0J1 =1V0∫exp[ik0 ∆s r ] dV(3.14)0Для вычисления интеграла (3.14) представим облучаемый объем V0 шаром с радиусомR0.
Обозначим α угол между векторами r и ∆s. Из взаиморасположения единичныхвекторов s и s0 следует, что модуль вектора ∆s равен ∆s = 2 sin(θ). Тогда скалярноепроизведение в показателе экспоненты выразится следующим образом:∆s r = 2r sin(θ) cos(α)(3.15)∆srss0αθdαθdrРис.3.2. Геометрическая схема интегрирования по объему шара.Штриховкой отмечен сферический пояс, определяемый углами α и α+dα.59Вычисление интеграла (3.14) удобно выполнить, выбрав элемент объема dV какпроизведение сферического пояса радиуса r sin(α) и радиуса r dα и дифференциала dr :dV = 2π r2 sin(α) dα dr(3.16)Так как угол α изменяется в интервале (0, π), интеграл (3.14) принимает вид:R0J1 =1V0π∫∫02 π r2 exp[i2k0 r sin(θ) cos(α)] sin(α) dα dr =0πR0=1V0∫2π r2 dr0∫exp[i2k0 r sin(θ) cos(α)] sin(α) dα(3.17)0Используя переменнуюβ = 2k0 sin(θ)(3.18)внутренний интеграл в (3.16) можно свести в виду:α =π−1iβ r∫exp(iβ r ) − exp( − iβ r )sin( β r )=2iβ rβrexp[iβ r cos(α)] d[iβ r cos(α)] =(3.19)α =0Тогда для вычисления интеграла (3.14) остается провести интегрирование по радиусу r:R0J1 =4πV0∫r2sin( β r )drβr(3.20)0Последний интеграл вида∫x sin( x ) dx = sin(x) – x cos(x)(3.21)берется по частям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
