x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 13
Текст из файла (страница 13)
К расчету разности хода двух рассеянных волн в приближении дифракции Фраунгофера.О и В – рассеивающие центры. 2θ – угол рассеяния.73Вторичная волна, испущенная рассеивающим центром О, достигнув детектора, создаств нем возмущение (колебание), которое можно записать в комплексной форме:A1exp[iωt – i k0 (s1 R) ]R(4.5)где k0 – модуль волнового вектора (3.2), R – радиус-вектор точки окна детектора.Тогда рассеянная волна, образованная центром В, создаст возмущение в детекторе,отличающееся от (4.5) по фазе на величину (4.4)A1exp[iωt – i k0 (s1 R) – i k0 (s1 − s0) rj ]R(4.6)Следовательно, чувствительный элемент детектора будет подвергнут суммарномувозмущению, выражаемому суммой∑NA1exp[iωt – i k0 (s1 R) – i k0 (s1 − s0) rj ]Rj =1(4.7)Суммирование в (4.7) проводится по всем N рассеивающим центрам кристаллическогообразца.Регистрируемая интенсивность равна квадрату амплитуды волнового возмущения (4.7)и может быть записана в следующем виде:A I= 1 R∑∑N2j =1Nexp[i k0 (s1 − s0) (rm − rj ) ](4.8)m =1Двойная сумма в (4.8) называется интерференционной функцией Лауэ∑∑N£=j =1ТаккаквсерассеивающиесяNexp[i k0 (s1 − s0) (rm − rj ) ](4.9)m =1центрывданнойтеорииявляютсяузламикристаллической решетки (4.1), все радиус-векторы центров выражаются формулойrj = u a + v b + w c,(4.10)где целые числа u, v, w независимо друг от друга принимают значения из следующихрядовu = 0, 1, …, N1–1v = 0, 1, …, N2–1w = 0, 1, …, N3–174(4.11)Воспользовавшись формулой (4.10) выражение (4.8) можно переписать в видепроизведения трех сумм:N1 −1A1exp[iωt – i k0 (s1 R)]R∑exp[– i k0 u (∆s a) ] ×u =0N 2 −1×∑N 3 −1exp[– i k0 v (∆s b) ]v=0∑exp[– i k0 w (∆s c) ](4.12)w= 0где вектор ∆s определен разностью единичных векторов (3.6).Слагаемые каждой из этих сумм представляют собой геометрические прогрессии.Следовательно, первая сумма может быть записана в видеN1 −1∑exp[– i k0 u (∆s a) ] =u =01 − exp[ − ik 0 N1 ( ∆s a )]1 − exp[ − ik 0 ( ∆s a )](4.13)Аналогично можно выразить остальные суммы произведения (4.12).Для вычисления регистрируемой интенсивности рассеянного излучения выражение(4.12) следует умножить на комплексно-сопряженную величину.
В частности, квадратмодуля суммы (4.13) можно преобразовать к следующему виду:N1 −1∑21 − cos[ − k 0 N1 ( ∆s a )]=1 − cos[ − k 0 ( ∆s a )]u =0=sin 2 ( N1Ψ1 )sin 2 ( Ψ1 ),(4.14)где введено обозначениеΨ1 =π(∆s a)λ(4.15)Проведя аналогичные операции с другими суммами выражения (4.12), получим функциюЛауэ в виде трех сомножителей:£=sin 2 ( N1Ψ1 ) sin 2 ( N 2 Ψ2 ) sin 2 ( N 3 Ψ3 )sin 2 ( Ψ1 )sin 2 ( Ψ2 )sin 2 ( Ψ3 )(4.16)гдеΨ2 =ππ(∆s b) и Ψ3 = (∆s c)λλ75(4.17)Функции вида (4.14) хорошо известны в теории дифракции. Когда аргумент Ψ1принимает значения πh, где h – целое число или нуль, функцияsin 2 ( N1Ψ1 )sin 2 ( Ψ1 )достигаетмаксимальных значений, равных N12. Эти максимумы называются главными.
Междусоседними максимумами, положения которых заданы аргументами πh и π(h ±1),p , где p = 1, 2, …, N1. Междурасполагаются (N1 – 1) нулей с координатами Ψ1 = h ±N1 2 p +1 , p = 1, 2, …, N1.нулями расположены побочные максимумы в точках Ψ1 = h ±2N1 При больших значениях N1 интенсивности побочных максимумов гораздо слабее, чемглавных. Интенсивности ближайших побочных максимумов (т.е.
для p << N1) выражаютсяформулой4π ( 2 p + 1)22N12 . Иначе говоря, если интенсивность главного максимумапринять за единицу, то ближайшие к главному побочные максимумы имеютинтенсивности 0,045; 0,016; 0,0083 и т.д. График функцииsin 2 ( N1Ψ1 )sin 2 ( Ψ1 )для малогозначения параметра N1 изображен на рис.4.3.Y40353025201510512Рис.4.3. График функции34sin 2 ( N1Ψ1 )sin 2 ( Ψ1 )56xдля случая N1 = 6.По горизонтальной оси отложена величина x = Ψ1 N1 / π. Между главными максимумаминаходится N1 − 1 = 5 нулей и N1 − 2 = 4 побочных максимумов.Аналогичными свойствами обладают остальные сомножители функции Лауэ (4.16).76В исследуемых кристаллических образцах числа N1 , N2 , N3 составляют, по крайнеймере, несколько тысяч. Это означает, что функция Лауэ достигает максимумов, равных£ = N12 ⋅ N22 ⋅ N32 = N 2 ,(4.18)только когда аргументы Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 принимают значения, кратные π.
При всех другихаргументах функция Лауэ имеет гораздо меньшие значения.Это означает, что рентгеновские лучи, рассеянные на кристаллическом образце, имеютотносительно большую интенсивность, равную2A I = 1 N2 , R(4.19)только при совместном выполнении следующих трех условий(∆s a) = Hλ, (∆s b) = Kλ, (∆s c) = Lλ.(4.20)где H, K, L – произвольные целые числа.Уравнения (4.20), называемые условиями Лауэ, при заданном векторе s0, определяютнаправления векторов s1.
Иначе говоря, условия Лауэ при заданном направлениипервичного пучка рентгеновских лучей, определяют направления распространенияинтенсивных рассеянных пучков.Вовсех остальных направлениях рассеянноерентгеновское излучение относительно слабо и составляет фон.Можносказать,чтоуравнения(4.20)являютсяусловиямиконструктивнойинтерференции, при которой фазы вторичных волн, отдельными рассеивающимицентрами кристаллического образца, сдвинуты на целое число периодов гармоническихфункций. Узкие пучки рассеянных рентгеновских лучей, формируемые в результатеинтерференциикогерентныхвторичныхволн,называютсярентгеновскимидифракционными максимумами (РДМ) или рентгеновскими рефлексами.Целесообразно рассмотреть геометрическую интерпретацию условий Лауэ (4.20).Плоскость, в которой лежат векторы s1 и s0, называется плоскостью отражения.
Пусть α,β, γ – углы, которые вектор ∆s = s1 – s0 образует с базисными векторами (элементарнымитрансляциями) a, b, c. Тогда из уравнений (4.20) следуют соотношения между косинусамиэтих углов:cos(α) : cos(β) : cos(γ) =H K Lh k l: : = : :a b ca b c(4.21)где H=nh, K=nk, L=nl, причем h, k, l – взаимно простые целые числа, n – целочисленныйобщий множитель.
Так как числа h, k, l – целые, то из (4.21) следует, что вектор ∆sперпендикулярен семейству узловых плоскостей с индексами (hkl). Тогда узловую77плоскость с индексами (hkl) можно рассматривать как плоскость отражающую плоскуюволну с направляющим вектором s0 в направлении вектора s1 (см.рис.4.4). Из рис.4.4следует, что модуль вектора ∆s связан с углом рассеяния θ следующим уравнением∆s = 2 sin(θ)(4.22)s1∆sθθСлед узловойплоскости(hkl)s0Рис. 4.4.
Взаиморасположение направляющих векторов и отражающей узловой плоскости.Плоскость отражения совпадает с плоскостью рисунка. Угол рассеяния 2θ.Таким образом, каждому РДМ соответствует определенное семейство узловыхплоскостей. Расстояние между соседними плоскостями семейства d(hkl) может бытьвыражено тремя разными способамиd(hkl) =abccos(α) = cos(β) = cos(γ)hkl(4.23)Скалярное произведение (∆s a), пользуясь соотношениями (4.22) и (4.23), можнопереписать в следующем виде:(∆s a) = 2a sin(θ) cos(α) = 2 d(hkl) h sin(θ)(4.24)Подставляя последнее выражение в первое условие Лауэ (4.20), получим:2 d(hkl) sin(θ) = n λ(4.25)где n – целое положительное число.Уравнение (4.25) представляет собой хорошо известный закон Вульфа-Брэгга.Параметр n называется порядком отражения. Таким образом, формирование РДМ можетбыть интерпретировано как зеркальное отражение рентгеновских лучей от семействузловых плоскостей облучаемого кристалла.Угол рассеяния, удовлетворяющий уравнению (4.25), называется углом Брэгга и далееобозначается θB.784.3.
Построение Эвальда.Согласно второй основной теореме решетчатой кристаллографии, межплоскостноерасстояние d(hkl) обратно пропорционально модулю вектора обратной решетки Hhkl,который перпендикулярен семейству узловых плоскостей (hkl). Это позволяет условиядифракции (4.20) и (4.25) записать в виде эквивалентного уравнения∆s = λ Hhkl(4.26)Вектор Hhkl определяет узел обратной решетки (hkl) и выражается через базисныевекторы обратной решеткиHhkl = ha* + kb* + lc*(4.27)Уравнение дифракции (4.26) наглядно иллюстрируется построением Эвальда вобратном пространстве.
На рис.4.5 узлы обратной решетки изображены кружочками.Рис.4.5. Сфера Эвальда.О − нулевой узел обратной решетки (начало координат обратного пространства), H − векторобратной решетки, удовлетворяющий уравнению (4.28), 2θ – угол рассеяния, P − центр сферы,радиус сферы 1/λ.Уравнение (4.26) перепишем в виде:s1/λ = Hhkl + s0/λ(4.28)В обратном пространстве от начала координат обратной решетки (от точки О) отложимотрезок длиной 1/λ в направлении, противоположном вектору s0.
Получим некоторуюточку P обратного пространства. Вектор PO, очевидно, равен вектору s0. Опишем вокруг79точку P сферу радиуса 1/λ, называемую сферой Эвальда. Пусть на сферу попадет ещёодин узел Q (кроме нулевого O). При этом вектор PQ представляет собой вектор s1/λ,который обеспечивает выполнение уравнения (4.28). Иначе говоря, в этом случаесуществует определенный вектор обратной решетки Hhkl , который удовлетворяетуравнению (4.28).Таким образом, если сфера Эвальда пересекает, кроме нулевого узла О, ещё хотя быодинузелобратнойрешеткиQ,тоформируетсядифракционныйпучок,распространяющийся в направлении вектора, проведенного из центра сферы Эвальда вузел обратной решетки Q.
Вышеизложенная геометрическая процедура называетсяпостроением Эвальда.Анализ схемы на рис.4.5 позволяет сделать вывод, что вообще говоря, с каждым узломобратной решетки связан возможный акт дифракции рентгеновских лучей накристаллической решетке, причем направление дифрагированной волны определяетсяусловиями Лауэ с помощью построения Эвальда.Заметим, что при некоторых направлениях первичной рентгеновской волны, котораязадается вектором s0, на сфере Эвальда может находится только нулевого узла О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
