x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

СледовательноJ1 =4π sin( β R0 ) − β R0 cos(β R0 )V0β3(3.22)Так как облучаемый объем V0 аппроксимирован шаром радиуса R0, то величина (3.22)представляется следующим образом:J1 = Ф(βR0)(3.23)где функцияФ(x) = 3sin( x ) − x cos( x )60x3(3.24)хорошо известна в теории дифракции. Эта функция, график которой приведен на рис.3.3,является знакопеременной и осциллирует около нулевого значения, причем амплитудаосцилляций быстро убывает с ростом аргумента. В данной задаче аргументом функцииФ(x) является величинаβR0 = 2k0 sin(θ)R0) =HL4πsin(θ) R0λ(3.25)Ф x10.80.60.40.2x5101520- 0.2Рис.3.3. График функции Ф(x).Таким образом,второе слагаемое интенсивностирассеянногорентгеновскогоизлучения (3.6) может быть записано в следующем виде:22 A1 A 222  N (N – 1) f.

[Ф(βR0)] =  1  N (N – 1) f. R R sin( β R0 ) − β R0 cos(β R0 ) (β R0 ) 32(3.26)Осциллирующий характер функций (3.24) и (3.23) обусловливает то, что второеслагаемое интенсивности рассеянного излучения (3.26) осуществляет модуляциюуглового распределения лауэвского фона, заданного выражением (3.13). Аргументфункции Ф(βR0) содержит в знаменателе куб параметра (3.18), который пропорционаленсинусу угла рассеяния θ. Максимум функции Ф(βR0) и, следовательно, величины (3.26)достигается при θ = 0 (см.рис.3.3). С ростом угла рассеяния θ величина (3.26) быстрозатухает, что определяется видом функций (3.24) и (3.23).Первый нуль функции (3.24) равен минимальному корню уравненияtg(x) = x61(3.27)Этот корень, равный 4.49341, позволяет найти угле θ1 при котором величина (3.26)уменьшается до нуля.

Используя выражения (3.2), (3.18) и (3.25), составим уравнение дляискомого угла θ1 :4πsin(θ1) R0 ≈ 4.49341λ(3.28)Углы рассеяния в интервале 0 ≤ θ ≤ θ1 ограничивают первый максимум угловогораспределения рассеянного излучения, определенного величиной (3.26). Из (3.28) следует,что с ростом размера облучаемого объекта R0 первый максимум становится всё болееузким. В случаях рассеяния рентгеновских лучей в газе обычно выполняется неравенствоR0 >> λ.

Это означает, что величина (3.26) практически отлична от нуля только в узкойобласти углов вблизи нуля, так как из-за быстрого затухания функции Ф(βR0) сувеличением угла θ ее остальные экстремумы сравнительно малы (см.рис.3.3). Например,при R0 ~ 1 см и λ ~ 0,1 нм угол θ1 имеет порядок 10−3 угловой секунды. Иначе говоря,второе слагаемое полной интенсивности (3.12) рентгеновского излучения, рассеянногогазом, имеет заметную величину в области углов, которые в практических ситуацияхохватываются проходящим пучком первичных рентгеновских лучей.

Следовательно, прирассеянии рентгеновского излучения на макроскопических объемах газовых образцоввторым слагаемым в сумме (3.12) можно пренебречь.Третье слагаемое суммы (3.12) дает интенсивность излучения, рассеянного в результатемежатомной дифракции. Эта величина существенно зависит от пространственногораспределения межатомных расстояний r j − r m. При вычислении третьего слагаемогосуммы (3.12) будем полагать расположение j-го атома произвольным внутри объема V0.При этом положение m-го атома не произвольно, но зависит от функции w(rj, rm). Тогдаинтеграл третьего слагаемого суммы (3.12) можно записать в следующем виде:V01V0∫V0(1 − w jm ) exp[ik0 ∆s (r j − r m)] dVj01V0∫dV m(3.29)0Понятно, что второй интеграл в выражении (3.29) равен объему рассеивающего объектаV0.

Из-за изотропии газовой среды функция w(rj, rm) зависит только от расстояния междуатомамиr = r j − r m ,(3.30)но не зависит от ориентации вектора r j − r m. По этой причине интегрирование первогоинтеграла в выражении (3.29) по объему можно провести аналогично вычислению62интеграла J1 (см. соотношения (3.14) – (3.20)). После интегрирования по углу α(см.рис.3.3) выражение (3.29) приобретает вид:R04πV0∫[1 − w jm (r )] r2sin( β r )drβr(3.31)0Соответственно, интенсивность рассеянного излучения (3.12), с учетом пренебрежениявторым слагаемым, выразится так:R024πA I(θ) =  1  N f.2 {1– (N – 1)V0 R∫[1 − w jm (r )] r2 sin( β r )βrdr }.(3.32)0Вычислимфункциюw(rj,rm)дляодноатомногогаза.Используемширокораспространенное приближение атомов твердыми шарами радиуса a. В этом приближениифункция w(rj, rm) представляется в виде:0, r ≤ 2aw jm = 1, r > 2 a(3.33)Соотношения (3.33) означают, что расстояние между центрами двух любых атомов неможет быть меньше диаметра атома, но в остальном распределение атомов в пространствесовершенно произвольно.

Очевидно, что вне сферы радиуса 2a подынтегральноевыражение равно нулю. Тогда интегрирование в (3.32) проводится аналогичнопроведенному выше при вычислении интенсивности (3.26) :232 πa 3A I(θ) =  1  N f.2 {1– (N – 1)Ф(2βa)}.3V0 R(3.34)где функция Ф(βa) определяется формулой (3.24), а ее аргумент равен2βa =4πsin(θ) 2aλ(3.35)В выражении (3.34) функция Ф(2βa) уменьшается с ростом угла рассеяния θ не так резко,как функция Ф(βR0).

Угол первого нуля функции Ф(2βa) определяется уравнением типа(3.28) :4πsin(θ1) 2a ≈ 4.49341λ(3.36)Так как величины λ и a одного порядка, то нетрудно вычислить, что угол θ1 в данномслучае может достигать десятков градусов.63Таким образом, мы получили, что Ф(2βa) обусловливает модулирование лауэвскогофона. Согласно (3.34), фон уменьшается при углах рассеяния θ, для которых Ф(2βa) > 0,т.е. прежде всего, при самых малых углах θ (см.рис.3.3). В угловом распределенииинтенсивности рассеянного рентгеновского излучения образуется диффузное кольцо приуглах, соответствующую первому минимуму функции Ф(2βa). Так как первый минимумфункции (3.24) достигается при аргументе приблизительно равным 5.76346 (см.рис.3.3),то угол расположения диффузного кольца θD определятся уравнением4πsin(θD) 2a ≈ 5.76346λ(3.37)В практически важных случаях количество атомов в исследуемом объекте очень великоN >> 1.

Тогда выражение интенсивности (3.34) несколько упрощается2vA I(θ) =  1  N f.2 {1 – 8N a Ф(2βa)}.V0 R(3.38)где va – объем атома. Выражение (3.38) означает, что вид углового распределенияинтенсивности рассеянного рентгеновского излучения существенно зависит от плотностигаза. Если величина (8N va / V0) << 1, то вторым членом в выражении (3.38) можнопренебречь. В этом случае разреженный газ рассеивает рентгеновские лучи как полностьюбеспорядочное скопление атомов. С увеличением плотности газа роль межатомнойдифракции возрастает.3.3. Рассеяние рентгеновских лучей в жидкостяхРасчет интенсивности рентгеновского излучения, рассеянного веществом в жидкойфазе, во многом аналогичен проведенному в предыдущем разделе.

Принципиальноеразличие заключается в том, что является конденсированным состоянием вещества. Вприближении твердых шаров все атомы всегда касаются соседних, причем количествососедей может возрастать вплоть до максимально возможного в плотнейших упаковках.Выражение для интенсивности рассеянного излучения (3.32) можно использовать дляжидкости, внеся в нее ниже изложенные изменения.

Во-первых, верхний пределинтегрирования можно увеличить до бесконечности, так как в жидкостях при большихзначениях r функция wjm равна единице, и подынтегральное выражение в (3.32)обращается в нуль. Введем концентрацию атомов жидкости как функцию точкиn(r) = N w(r) / V0(3.39)Величина n(r) представляет собой количество атомов в единице объема жидкости, где r –расстояние от начала координат.64Полагая количество атомов в облучаемом жидком образце очень большим (N >> 1),запишем выражение (3.32) в следующем виде:∞2A I(θ) =  1  N f.2 {1 – 4π R∫[n0 − n(r ) ] r2 sin( βr ) dr }.(3.40)n0 = N / V0(3.41)βr0гдесредняя концентрация атомов.Для сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными целесообразноопределить безразмерную функциюI ( θ)Ψ(β) = 2 ( A1 / R ) Nf− 1β(3.42)n ( r ) − n0 ] r sin(βr) dr.(3.43)2Тогда соотношение (3.40) можно переписать так:∞Ψ(β) = 4π∫[0Функция Ψ(β) может быть вычислена на базе экспериментальных результатов.

Дляэтого проводятся измерения интенсивности рассеянного рентгеновского излучения вшироком диапазоне углов рассеяния. Для получения безразмерной функции Ψ(β)параллельно проводятся аналогичные измерения интенсивности рассеянного излучения наэталонном образце. Преобразование регистрируемой интенсивности в относительныеединицы освобождает от необходимости учитывать трудно вычисляемые и вообщенеизвестные факторы, влияющие на величину I(θ).

Естественно, что после измеренияинтенсивностей рентгеновских лучей, рассеянных исследуемым и эталонным образцамипроводится вычитание постороннего фона и других паразитных эффектов.Получение экспериментальных значений функции Ψ(β) позволяет в принципепостроитьфункциюконцентрацииатомоввжидкостиn(r).Воспользовавшисьпреобразованием Фурье, можно от соотношения (3.43) перейти к следующему:∞4π r2 [n(r) − n0] =2rπ∫Ψ (β) sin(βr) dβ.065(3.44)Если в эксперименте было получено достаточно большое количество значений функцииΨ(β), охватывающих максимально широкий диапазон углов рассеяния, то численноеинтегрирование правой части уравнения (3.44) даст достаточно точный вид зависимостиn(r), особенно в области малых значений r.В практических случаях часто пользуются функцией радиального распределенияU(r) = 4π r2 n(r)(3.45)Значение U(r)∆r равно количеству частиц в сферическом слое радиусом r и толщиной ∆r.Расстояние r отсчитывается от точки, принятой за начало координат.

При r → ∞ функцияU(r) → ∞, в области r < 2a функция U(r) = 0. Схематичный вид функции радиальногораспределения приведен на рис.3.4.Рис.3.4. Типичный вид функции радиального распределения.a − радиус атома в приближении модели твердых шаров.Экспериментальные исследования показали, чтоатомная структура жидкостиудовлетворительно представляется плотной, но несколько искаженной упаковкой твердыхшаров.

Первая координационная сфера вокруг каждого атома является почти правильнойи представляется как результат более или менее плотной укладки шаров. Иначе говоря,существует некоторый разброс расстояний от центрального шара. Если ближайшие соседирасположены почти на одинаковых расстояниях от определенного атома, то расстояния доболее удаленных имеют всё более увеличивающийся разброс.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы