x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Из закона сохранения электрического заряда следует равенство ρ1 ∆x1 = ρ2 ∆x2 , где∆x2 = ∆x1 + ∆u. Смысл величины ∆u иллюстрируется рисунком 5.5.105ρ(x)B1BA1AB2A2xx∆x1∆x2Рис.5.5. Схема изменения электронной плотности при взаимодействии с упругой волной вкристалле. Частный случай u0  H  K. Электрический заряд переместился из точки A вточку B. Горизонтальная стрелка – вектор смещения u.Тогда используя малость величины ∆u << ∆x, получим:ρ2 = ρ1 ∆u ∆x1= ρ1  1 − ∆x ∆x1 + ∆uТаким образом, выражение для возмущенной электронной плотности можно записать ввиде∂ρ ( x )   ∂u ∂ (ρ 0 u )ρ(x) =  ρ 0 ( x ) − u 0  1 −  = ρ0(x) −∂x∂x   ∂x (5.67)где ρ0(x) − электронная плотность для идеального кристалла, невозмущенного действиемтепловых колебаний. Вследствие малости смещений слагаемым u∂ρ 0 ∂uв выражении∂x ∂x(5.67) можно пренебречь.Функции смещения в используемом приближении представляются в видеu = u0 cos(Kx)(5.68)Тогда произведение ρ0u можно преобразовать следующим образомρ0u =2 FhklFu0 cos(Kx) cos(2πHx) = hkl u0 [cos((2πH+K)x) + cos((2πH−K)x)]VUVUВ результате электронная плотность представится в виде106(5.69)ρ(x) =2 FhklFcos(2πHx) + hkl 2π u0 (2πH+K) sin[(2πH+K)x] +VUVU+Fhkl2π u0 (2πH−K) sin[(2πH−K)x]VU(5.70)Полученный результат означает, что при наличии тепловых колебаний атомовкристалладажевпервомприближениикгармоническому пространственномураспределению электронной плотности добавляется еще две гармоники.

Основноераспределение характеризуется длиной волны n/d и амплитудой 2Fhkl/VU, а двадополнительных имеют длины волн−1n 1n 1 +  и − d Λd Λ−1(5.71)с соответствующими амплитудамиFhklF2π u0 (2πH+K) и hkl 2π u0 (2πH−K).VUVU(5.72)В результате взаимодействия монохроматической рентгеновской волны с такимпериодическимраспределениемэлектроннойплотностиформируетсяинтерференционных максимума. Первый, удовлетворяющий условиютриn 2 sin( θ)=, имеетdλбольшую интенсивность, два других подчиняются условиямn 12 sin( θ)n 12 sin( θ)+ =и − =d Λλd Λλ(5.73)и имеют гораздо меньшую интенсивность. Действительно, амплитуда основного РДМпропорциональна структурной амплитуде Fhkl , а в выражениях (5.72) появляютсядополнительные множители πu0(2πH±K).

Так как K << H и u0 значительно меньше λ, тоинтенсивность дополнительных РДМ много меньше интенсивности основного рефлекса.Рассмотренный частный случай соответствует фотон-фононному взаимодействию спараллельными (или антипараллельными) векторами K и H. В этом случае интенсивностьв центре диффузного максимума выражается следующим соотношением:2IU = 2 Ie π2 Fhklu 02 (2πH+K)2 ,(5.74)где IU и Ie – интенсивности диффузного рентгеновского излучения, рассеянногоэлементарной ячейкой и электроном соответственно.Для вычисления амплитуды смещения u0 приравняем кинетическую энергиюколебаний атомов средней тепловой энергии. При этом мы полагаем, что температура107кристалла T превышает дебаевскую Θ и пренебрегаем дисперсией энергии колебаний почастотам фононов.m u 02 Ω2 / 2 = kBT(5.75)В последнем уравнении m – суммарная масса атомов в элементарной ячейке, Ω – частотафонона.

Выразим u 02 из (5.75) и подставим в (5.74), используя при этом уравнением (5.58).Тогда получим:2IU =2Ie Fhklk B T  ∆s  ,mv K2  λK (5.76)где vK – скорость фонона с волновым вектором K, ∆s – модуль вектора ∆s = s1 – s0 .Следует иметь ввиду, что формула (5.76) была получена для случая, когда векторсмещения u0 параллелен векторам 2πH±K. В случае перпендикулярности векторов u0 и2πH±K. интенсивность диффузного рассеяния падает до нуля. Таким образом,интенсивность диффузного рассеяния существенно зависит от взаимной ориентациивекторов ∆s/λ и u0. В общем случае следует раскладывать вектор u0 на компоненты,параллельную и перпендикулярную вектору 2πH±K.Каждому значению волнового вектора K соответствуют три упругие акустическиемоды: две поперечные и одна продольная. В заданную точку обратного пространствавносит свой вклад каждая из этих трех волн.

Тогда, если облучаемый кристаллическийобразец содержит NU элементарных ячеек, то интенсивность диффузного рассеяниявыразится следующей формулой:ITDS =2Ie Fhklk B TN U  ∆s ρ mVU  λK 2∑cos 2 (α q )q2v Kq,(5.76)где ρm – массовая плотность кристалла, VU – объем элементарной ячейки, αq – угол междувекторами ∆s и K, vKq – скорость фонона с волновым вектором K и определеннойполяризацией q. Суммирование в (5.76) проводится по всем трем возможнымполяризациям акустических фононов.Выражение (5.76) свидетельствует о немонотонной зависимости интенсивностидиффузного рассеяния от температуры дифрагирующего кристалла.

В формуле (5.76) явнопрописана прямая пропорциональность интенсивности ITDS и температуры T. С другойсторонывквадратеструктурнойамплитуды,согласно(5.53),содержитсяэкспоненциально убывающий сомножитель. Для кристаллов, содержащих один атом в108элементарной ячейке этот сомножитель равен exp(−2M), где согласно (5.41) при T > Θпараметр M прямо пропорционален температуре T. Иначе говоря, температурнаязависимость интенсивности диффузного рассеяния приближенно выражается функциейC0T exp(−T), где C0 и C2 – константы. Следовательно, с ростом температуры Tинтенсивность диффузного рассеяния ITDS сначала увеличивается, а затем начинаетпадать. Величина, при которой для определенного кристалла и РДМ функция ITDS(T)достигает максимума, называется температурой инверсии.Полученное выражение (5.76) обусловливает при фиксированной температурекристалла возрастание интенсивности диффузного рассеяния с увеличением параметра2sin(θ)/λ.

Это означает, что эффект теплового диффузного рассеяния целесообразнееисследовать на более дальних узлах обратной решетки.Рассмотренныйвышепроцессназываетсяоднофононным.Такжевозможнымногофононные процессы рассеяния фотонов в кристалле, в которых участвуют две илиболее фононов. Например, процесс рассеяния рентгеновского фотона, при которомпроисходит поглощение или излучение двух фононов, описывается уравнением2πs1 − s 0= 2πHhkl ± K1 ± K2λ(5.58)которое задает направление распространения рассеянной волны.Для вычисления интенсивности TDS во многофотонных процессах необходимо приобрывании ряда (5.59) в разложении пространственного распределения электроннойплотности ρ(x,y,z) оставлять несколько членов и рассматривать модуляцию электроннойплотности под действием нескольких упругих мод.При неупругом рассеянии рентгеновских лучей, строго говоря, должно происходитьизменение длины волны фотонов, согласно (5.56).

Однако частота рентгеновскогоизлучения с длиной волны порядка 0,1 нм составляет ω ∼1019 с−1. Частота упругихколебаний кристалла Ω обычно лежит в диапазоне 1012 ÷ 1013с−1, т.е. на 6 ÷ 7 порядковменьше. По этой причине относительное изменение длины волны рентгеновских лучей∆λ/λ при неупругом рассеянии менее одной миллионной и практически не наблюдается вэкспериментах.109ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ6.1. Постулаты динамической теорииКинематическая теория рассеяния рентгеновских лучей на кристаллах, изложенная впредыдущей главе, является приближенной.

Тем ни менее, эта теория позволяетдостаточно точно рассчитывать положения рентгеновских дифракционных максимумов иих относительную интенсивность.Недостаткикинематическойтеорииявляютсяследствиемееприближений.Пренебрежение интерференцией первичной рентгеновской волны с рассеяннымивозможно лишь для кристаллов размеров порядка микрон. Для более крупных кристалловамплитуда рассеянных волн становится сравнимой амплитудой первичной волны, и ихинтерференцией пренебрегать уже нельзя.Согласно кинематической теории интенсивность РДМ прямо пропорциональнаколичеству атомов в рассеивающем кристаллическом образце.

Следовательно, с ростомразмера образца интенсивность рентгеновских рефлексов возрастает неограниченно, чтопротиворечит закону сохранения энергии.Эксперименты показывают, что для крупных высоко совершенных кристалловизмеренная интенсивность РДМ существенно отличается от рассчитанной покинематическая теория рассеяния.Также кинематическая теория не может объяснить характерный эффект аномальногопоглощения рентгеновских лучей (эффект Бормана).Более развитая теория рассеяния рентгеновских лучей, называемая динамической,базируется на более фундаментальном основании – решении уравнений Максвелла дляэлектромагнитных волн, распространяющихся в кристаллической среде.При построении динамической теории рассеяния используется ряд приближений,которые формулируются в виде постулатов. Эти идеализации достаточно адекватноописывают процесс взаимодействия рентгеновского излучения с кристаллом и, в то жевремя, позволяют получить решение уравнений Максвелла.Кристаллы рассматриваются как идеальные диэлектрики, т.е.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы