x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следовательно, на рис.6.3 круговые дуги, пересечением которых получаются точки L и Q, можноаппроксимировать отрезками прямых линий.При этом отрезки T0 и Th перпендикулярны линиям L0 и Lh соответственно.Аналогично, отрезки 00 и Q0, а также hh и Qh взаимно перпендикулярны.Расстояние (в обратном пространстве) между прямыми T0 и 00, а также между прямымиTh и hh, согласно (6.43), составляет −kχ0/2 = kχ0/2. Различие модулей волновых векторовk и k0′ характеризует преломление рентгеновских лучей в кристалле.Угол 0Lh по построению равен 2θb, где угол θb определен уравнением Вульфа-Брэгга(4.25). Далее угол θb называется для краткости «кинематическим» углом Брэгга. Угол 0Qh,обозначенный 2θ0 отличается от угла 2θb на малую величину 2∆θ, которую можноопределить из очевидного равенства (см.рис.6.3) :k sin(θ0) = k0′ sin(θb + ∆θ)Из последнего соотношения нетрудно получить∆θ ≈χ02tg(θb) .(6.46)Численные оценки дают, что для практически измеряемых углов рассеяния величина ∆θне превышает нескольких угловых секунд.Для решения системы дисперсионных уравнений (6.44) вводятся величины ξ0 и ξhотклонений длин векторов k0 и kh соответственно от величины k(1+χ0/2).
Геометрическивеличины ξ0 и ξh изображаются отклонениями центра распространения от линий 00 и hhсоответственно (см.рис.6.4).ξ0 = k0 − k0′ = k (1 + Z0) − k (1 + χ0 / 2) = k (2 Z0 − χ0) / 2 ,ξh = kh − k0′ = k (1 + Zh) − k (1 + χ0 / 2) = k (2 Zh − χ0) / 2(6.47.а)(6.47.б)где Z0 и Zh резонансные ошибкиZ0 = (k0 −k) / k0 ,Zh = (kh −k) / kh(6.48)Вычисление произведения переменныхξ0 ξh = k2 CP2 χh χ h / 4 .123(6.49)позволяет доказать, что множество начальных точек векторов k0 и kh образуетдисперсионную поверхность, сечение которой плоскостью отражения представляет собойгиперболу.Рис.6.4.
Геометрическая схема, поясняющая смысл величин ξ0 и ξh.Использование переменных ξ0 и ξh позволяет, решая систему уравнений (6.44),получить отношение модулей амплитуд дифрагирующей и проходящей волн внутрикристалла в следующем видеDh=D0ξ0χhξhχh(6.50)Так как Фурье-компонент χh и χ h , согласно (6.25) и (6.26), являются комплексными, тоотношение амплитуд волн в общемслучае является124комплексной величиной.Следовательно, выражение (6.50) определяет соотношение не только между модулямиамплитуд, но и между также фазами различных рентгеновских волн, распространяющихсявнутри кристалла.Из закона Фриделя для структурных амплитуд Fh = Fh∗ следуют соотношенияχh = χ ∗hи χ h = χ ∗h .(6.51)Это означает, что Фурье-компоненты поляризуемости χh и χ h являются комплексносопряженными, а их модули равны:χh = χ h .(6.52)Последнее соотношение выполняется для любых непоглощающих кристаллов.
Длякристаллов, обладающих центром симметрии, мнимая часть комплексной амплитудыравна нулю, поэтому для таких кристаллов справедливо равенствоχh = χ h(6.53)Так как произведение комплексно сопряженных величин равно квадрату модуля, то:2χh ⋅ χ h = χ h .(6.54)и в правой части уравнения (6.49) находится всегда действительная положительнаявеличина.Из приведенных схем на рис.6.3 и 6.4 следует, что амплитуды дифрагирующих волнсущественно зависят от положения центров распространения. Эти центры могутрасполагаться как на верхней, так и на нижней ветви гиперболы.
Для частного случая,когда центр распространения находится в точке F1 или F2 (см.рис.6.4) выполняетсяравенство |ξ0| = |ξh|. Из (6.47) следует, что при этом модули волновых векторовпроходящей и рассеянной волн равны k0 = kh , а отношение модулей амплитуд (6.50) сучетом закона Фриделя (6.51) запишется в виде:Dh=D0χh=χhFhFh∗.(6.55)Для центросимметричных кристаллов (а также для некоторых рефлексов внецентросимметричных кристаллах) структурная амплитуда Fh имеет действительноезначение, и в этом случае отношение амплитуд (6.55) равно единице, а фазы проходящейи рассеянной волн совпадают.Если центр распространения А1 смещается по верхней ветви дисперсионнойповерхности вправо от точки F1, то величина ξ0 убывает, а ξh растет (см.рис.6.4).125Следовательно, отношение модулей амплитуд Dh/D0 убывает. Напротив, при сдвиге точкиА1 влево отношение Dh/D0 возрастает. Для центров распространения, лежащих на нижнейветви дисперсионной гиперболы, наблюдается обратная картина.Теперь рассмотрим ситуацию, когда угол между волновыми векторами k0 и khзначительно отличается от угла 2θ0 .
При этом центры распространения будут лежатьочень далеко от точек F1 и F2 на дисперсионных кривых. Если центр распространения А1сместится сильно влево от точки F1, то ξ0 → 0, а величина ξh монотонно возрастает. Изсоотношения (6.50) следует, что при этом амплитуда рассеянной волны много меньшеамплитуды проходящей. Это значит, что рассеянная волна становится настолько слабойотносительно проходящей, что ей можно пренебречь. Таким образом, происходит переходот двухволнового приближения к одноволновому случаю. При удалении центрараспространения А1 от точки F1 вправо также из двух волн остается только одна.Аналогичные явления происходят при перемещениях центра распространения А2относительно точки F2 .Переходы от двухволнового случаю к одноволновому становятся более наглядными,если дисперсионную поверхность для двухволнового приближения рассматривать какпромежуточную область пересечения двух сфер распространения в одноволновомприближении (см.рис.6.5).Рис.6.5.
К построению дисперсионных поверхностей.Штриховой линией схематично показана верхняя ветвь дисперсионной поверхности при переходеот двухволнового случая к одноволновому.Месторасположение центров распространения определяются из граничных условий дляамплитуд волновых полей и волновых векторов. Граничные условия, в свою очередь,126существенно зависят от геометрии рассеяния рентгеновских лучей на кристаллическихобразцах.6.6. Коэффициент отражения рентгеновского излучения в геометрии Лауэ.Различие в форме граничных условий для геометрии Лауэ и Брэгга вызваносоотношениями между углами, характеризующую дифракцию (см.рис.6.6).
Основнымиуглами являются следующие.Рис.6.6. Соотношения между углами, характеризующую дифракцию рентгеновских лучей припроизвольной ориентации отражающей плоскости относительно входной поверхности кристалла.Сплошной линией n−n изображен след входной поверхности кристалла, штриховой − след однойиз отражающих плоскостей и ее продолжение вне кристалла.Угол ψ0 между волновым вектором падающей рентгеновской волны k и нормалью квходной поверхности кристалла n0 , который называется углом падения.Угол ϕ между входной поверхностью кристалла и отражающей плоскостью.Угол Брэгга θB между волновым вектором рентгеновской волны в вакууме k иотражающей плоскостью, который удовлетворяет кинематическому уравнению ВульфаБрэгга.Угол ψh между волновым вектором дифрагированной волны k h(d ) в вакууме инормалью к поверхности кристалла n0.Используя схему на рис.6.6, можно записать соотношения между углами:ψ0 = π/2 − θb − ϕ,ψh = π/2 + θb − ϕ,127(6.56).(6.57)Неравенство ϕ > θb соответствует геометрии Лауэ, при θb > ϕ осуществляется геометрияБрэгга.
В частном случае ϕ = π/2 > θb имеем схему симметричной геометрии Лауэ.Граничные условиядляволновых полей определяются,впервую очередь,непрерывностью электрического вектора E на границах кристалл-воздух. Следствиемэтого является расположение центров распространения на пересечении нормали коблучаемой грани исследуемого кристаллического образца и ветвей дисперсионнойповерхности.Рис.6.7. Волновые векторы рентгеновских волн, распространяющиеся внутри кристалла придвухволновой дифракции Лауэ.128В геометрии Лауэ при произвольной ориентации отражающей плоскости относительновходной поверхности кристалла нормаль n0 пересечет обе ветви дисперсионной поверхностии образует два центра распространения А1 и А2 (см.рис.6.7). Следовательно, в кристаллераспространяются две проходящие волны с амплитудами D0(1) , D0( 2) и волновыми(1)( 2)(1)( 2)(1)( 2)векторами k 0 , k 0 , а также две дифрагированные с амплитудами Dh , Dhвекторами k h , k hи волновымисоответственно.Для непоглощающих кристаллов, дифрагирующих в геометрии Лауэ, проецированиеволновых векторов дает следующие граничные условие для модулей амплитудрентгеновских волн на входной поверхности кристаллаD0 = D0(1) + D0( 2 )(1)(2)0 = Dh + Dh(6.58).(6.59)где D0 – модуль амплитуды падающей волны в вакууме.Если кристалл представляет собой плоскопараллельную пластину толщиной d, тограничные условие для амплитуд рентгеновских волн на выходной поверхности кристаллазаписываются в следующем виде:D0 exp(−i kZ d) = D0(1) exp(−i k 0(1z) d) + D0( 2 ) exp(−i k 0( 2z ) d)(6.60)(d )(1)(2)Dhd exp(−i k hzd) = Dh(1) exp(−i k hzd) + Dh( 2) exp(−i k hzd)(6.61)где Dhd – модуль амплитуды дифрагированной волны в вакууме, Субиндекс z обозначаетпроекцию на нормаль к поверхности плоскопараллельной пластины.Возвращаясь к рис.6.1 заметим, что дифракция рентгеновских лучей на кристаллеосуществляется не только при строгом выполнении условия Лауэ.
Иначе говоря, принекотором отклонении угла падения ψ от брэгговского ψ0 наблюдаются дифрагированныеволны с большой амплитудой.Одной из важных задач динамической теории рассеяния является расчет зависимостиинтенсивности дифрагированного излучения от угла отклоненияη = ψ − ψ0 ,(6.62)Удобной характеристикой рентгеновского рефлекса является коэффициент отраженияR, определяемый в динамической теории как отношение потока отраженного излучения к129потоку падающего. Нетрудно получить, что для геометрии Лауэ коэффициент Rвыражается отношениемd 2R=DhD02γhγ0(6.63)где D0 и Dhd – амплитуды падающей и дифрагированной волн в вакууме соответственно.Параметры γ0 и γh представляют собой косинусы углов ψ0 и ψhγ0 = cos(ψ0) , γh = cos(ψh) .(6.64)В рамках геометрии Лауэ обе величины γ0 и γh положительны.Используя геометрическую схему на рис.6.7 и уравнение (6.49) можно связатьвеличины ξ0 и ξh с углом отклонения η.
Далее, используя соотношение (6.50) и граничныеусловия для геометрии Лауэ (6.48), (6.49) после довольно громоздких алгебраическихпреобразований можно получить коэффициент отражения R в виде следующей функцииR=11+ y2sin2(AL y 2 + 1 ) .(6.65)Переменная y линейно связана с углом отклонения η. Ограничиваясь здесь частнымслучаем симметричной геометрии Лауэ, запишем эту связь:y=ηПараметрALпропорционаленsin( 2θ b ).C p χhтолщине(6.66)кристаллическогообразцаdидлясимметричной геометрии Лауэ выражается формулой:AL =πdC p χ hλ cos(θ b ).(6.67)Вид функции (6.63) обуславливает наличие в угловом распределении рефлексамножество максимумов, высота которых убывает по мере удаления от центра рефлекса(см.рис.6.8).Амплитудыосцилляций коэффициента отраженияR быстроуменьшаются сотклонением угла η от нуля в любую сторону для любой толщины дифрагирующегокристалла.
При η=0 коэффициент отражения R, вообще говоря, имеет главный максимум.Из формул (6.65) и (6.67) следует, что с ростом толщины кристалла d главный максимумуглового распределения R(y) сужается. Расчеты показывают, что для кристаллов толщиныd ∼ 10 мкм и длины волны рентгеновских лучей λ∼Å ширина центрального максимума130составляет несколько угловых секунд. С ростом толщины кристалла центральныймаксимум сужается.Характерно, что если параметр AL кратен числу «пи», то коэффициент отражения вточке y=0 уменьшается до нуля и в угловом распределении образуется провал.R- 10R110.80.80.60.60.40.40.20.2-5510y-4-22аy4бRR110.8-40.80.60.60.40.40.20.2-22y4-4-22вy4гРис.6.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
