x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Трансляционная симметрия кристаллаобусловливает периодичность функции A(r), которую можно разложить в ряд Фурье повекторам обратной решетки:A(r) =∑Dm exp[−2πi (Hm r)],(6.29)mгде m – сокращенное обозначение тройки индексов (hkl) узла обратной решетки,характеризующегося вектором обратной решетки Hhkl , Dm – векторные компонентыразложения.Подставляя разложение (6.29) в правую часть (6.28), получаем:D(r, t) =∑Dm exp[−2πi (Hm r)] exp[i(ωt − k0 r)](6.30)mСуммирование в (6.30) производится по всем узлам трехмерной обратной решетки, иколичество слагаемых в сумме бесконечно. Ниже будет показано, что во многих важныхмодули векторов Dm существенно отличны от нуля лишь для небольшого числа узловобратной решетки.Для анализа разных физических ситуаций целесообразно в (6.30) перейти отсуммирования по векторам обратной решетки к суммированию по волновым векторам km,которые отличаются друг от друга на всевозможные векторы обратной решеткиkm = k0 + HmТогда сумма (6.30) примет вид:116(6.31)D(r, t) =∑Dm exp[2πi(ωt − km r)] ,(6.32)mПредставление функции D(r, t) суммой (6.32) означает, что рентгеновское излучение,распространяющееся внутри дифрагирующего кристалла, является суперпозицией волн сразличными волновыми векторами (6.31).
С физической точки зрения это являетсяследствием интерференции вторичных волн с первичной.После подстановки (6.32) в уравнение (6.22) и вычисления производных исходноедифференциальное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, называемыхдисперсионными:k n2 − k 2k n2Dn =∑χ n − m Dm(n) ,m = 0, 1, 2, …(6.33)mгде вектор Dm(n) − составляющая векторной амплитуды Dm, параллельная волновомувектору kn . Вообще говоря, число уравнений в системе (6.33) бесконечно. Каждое из нихсвязывает амплитуду отдельной плоской волны с бесконечным количеством амплитуддругих волн.
На практике, количество уравнений системы равно числу рентгеновскихволн, распространяющихся в кристалле.Экспериментальныеисследованияпоказали,чтоу всехвеществпоказателипреломления рентгеновских лучей отличны от единицы лишь в четвертом знаке послезапятой. Следовательно, для модулей волновых векторов в вакууме k и в кристалле knсправедливо соотношение |kn − k| << k. Тогда коэффициенты перед амплитудами в правойчасти уравнений (6.33) можно упростить:k n2 − k 2k n2≈2kn − kkn(6.34)kn − k<< 1kn(6.35)ВеличинаZn =называется резонансной ошибкой.Выразим амплитуду волны Dn из уравнения (6.33), используя приближение (6.34) иопределение (6.35):Dn ≈12Z n∑χ n− m Dm(n) .m117(6.36)Очевидно, что чем больше знаменатель 2Zn, тем меньше значение модуля амплитудыDn и наоборот. Таким образом, можно в системе (6.33) оставить только те уравнения, укоторых резонансная ошибка (6.35) мала и, следовательно, амплитуда Dn − велика.Остальными уравнениями системы (3.12) можно пренебречь.Полученное соотношение легкоинтерпретировать, используясферу Эвальда(см.рис.6.1).
Конец волнового вектора рентгеновской волны, распространяющейся вкристалле, k0 совмещается с узлом обратной решетки (000), выбранным за нулевой. Егоначало определяет центр распространения А.Построим сферы с центром в точке А и радиусами k и k0 . Если в сферический слойтолщиной ∆k = k − k0 не попадают ни одного узла обратной решетки, кроме нулевого, тов кристалле будет распространяться одна (первичная) рентгеновская волна с волновымвектором k0 . Соответствующая резонансная ошибка Z0 мала, следовательно, амплитуда D0проходящей волны много больше амплитуд всех остальных (рассеянных) волн.
При этомсистему (6.33) редуцируется до одного единственного уравнения. Эта физическаяситуация в динамической теории рассеяния называется одноволновым случаем.Рис.6.1. Геометрическая схема условия динамической дифракции.Жирными точками обозначены узлы обратной решетки. Точка 0 – узел обратной решетки (000),точка А – центр распространения, k и k0 – волновые векторы рентгеновских волн,распространяющейся в вакууме и кристалле соответственно. Дифракция происходит на узлеобратной решетки h, который располагается в любой точке сферического слоя толщиной ∆k.Если внутрь сферического слоя ширины ∆k попадет еще один узел обратной решетки(hkl), то в кристалле сформируется еще одна рентгеновская волна с волновым вектором kh(см.рис.6.1).
Тогда малые значения приобретают две резонансные ошибки Z0 и Zh, а вкристалле формируются две волны с амплитудами D0 и Dh. Остальные волны имеютпренебрежимо малые амплитуды. Эта ситуация соответствует отражающему положению118кристалла и называется в динамической теории двухволновым приближением. При этомсистема (6.33) состоит из двух уравнений.Возможны ситуации, когда в сферическом слое толщиной ∆k располагаются несколькоузловобратнойрешеткинулевого).(кромеТогдавкристаллеодновременнораспространяются одна первичная и несколько дифрагированных рентгеновских волн.Узлы обратной решетки, находящиеся вне данного сферического слоя, порождаютрассеянные волны, амплитуды которых пренебрежимо малы.
Данная физическая картинаназывается многоволновой дифракцией, а система (6.33) содержит конечное количествоуравнений.6.4. Одноволновой случай.Когда вблизи сферы Эвальда (в слое толщиной ∆k) лежит только нулевой узел (000)обратной решетки, то в системе дисперсионных уравнений (6.33) останется одноуравнение, которое получается подстановкой в (6.33) значения параметров n = m = 0:2 Z0′ D0 = χ0 D0 .(6.37)Резонансная ошибка=k 0' − k(6.38)k 0'выражается через модули волновых векторов в вакууме k и внутри кристалла k0′ .Уравнение (6.37) описывает прохождение рентгеновской волны через кристалл, когдадифракционные максимумы отсутствуют.Из (6.37) получим резонансную ошибку для одноволнового случаяre λ2Z0′ = χ0 / 2 = −F000 ,2 πV,(6.39)лежит в пределах 10−5 ÷ 10−6.Расчет показывает, что модуль величиныИспользуя (6.38), получим связь модулей волновых векторов k и k0′ :1 – k / k0′ = χ0 / 2119(6.40)Так как отношение модулей волновых векторов k0′/k равно показателю преломлениявещества кристалла, то в одноволновом случае показатель преломления рентгеновскихлучей в кристалле равняется:n=11 − χ0 / 2(6.41)Пользуясь малостью модуля Фурье-компоненты χ0, упростим выражение (6.41)n ≈ 1 + χ0 / 2 .(6.42)Таким образом, в одноволновом случае величина показателя преломления не зависит отнаправления волнового вектора падающей на кристалл рентгеновской волны.Из (6.40) следует, чтоk0′ = k ( 1 + χ0 / 2 ) < k(6.43)т.е.
в одноволновом случае рассеяния лучей длина волнового вектора первичнойрентгеновской волны в кристалле меньше модуля волнового вектора в вакууме.Изменение угла падения первичной рентгеновской волны на кристалл. Геометрическиrэто интерпретируется как поворот волнового вектора k ′ вокруг своего конца − узла0обратной решетки (000). Пока вблизи сферы Эвальда будет находиться только один узел(000), геометрическое место центров распространения будет представлять собой сферурадиуса k0′ (см.рис.6.2). Полученное множество точек называется дисперсионнойповерхностью.120Рис.6.2. Дисперсионная поверхность в одноволновом приближении.
Штрихованная линийизображает сечение сферической дисперсионной поверхности. Точка 0 обозначает узел обратнойрешетки (000). Точки А – центры распространения.rЕсли при некоторой ориентации вектора k ′ вблизи сферы Эвальда располагается0оказаться еще один узел, и тогда мы выходим за рамки одноволнового случая.6.5. Двухволновой случай.Если внутри сферического слоя толщиной ∆k, изображенного на рис.6.1, кроменулевого, находится еще один узел обратной решетки (hkl), то система (6.33) состоит издвух уравнений:2k 02 − k 2k 022D0 = χ0 D0 + CP χ h Dh,k h2 − k 2k h2(6.44.а)Dh = CP χh D0 + χ0 Dh(6.44.б).где CP – коэффициент поляризации, описанный в разделе 4.4.При этом в кристалле, кроме проходящей, формируется интенсивная дифрагированнаяволна с амплитудой Dh и волновым вектором kh.
Система (6.44) является однородной,поэтому имеет нетривиальное решение только при равенстве нулю детерминанта,составленного из коэффициентов системы (6.44). Приравняв нулю этот детерминант ииспользуя соотношение (6.34), получим уравнение : k0 − k 2− χ 0 k0 kh − k 2− χ 0 = Cp2 χh χ hkh(6.45)Последнее квадратное уравнение задает соотношения между модулями волновыхвекторов проходящих k0 и рассеянных kh рентгеновских волн, распространяющихсявнутри кристалла в двухволновом случае.На рис.6.3 приведена геометрическая схема двухволновой динамической дифракции.Плоскость, в которой лежат волновые векторы k0 и kh называется плоскостью отражения.Концы волновых векторов k0 и kh проходящей и дифрагированной волн опираются навектор обратной решетки Hhkl.Проведем из узлов обратной решетки (000) и (hkl) сферы радиусом k. В плоскостирисунка 6.3 (т.е.
в плоскости отражения) эти фрагменты сфер изобразятся дугамиокружностей.ТочкаихпересеченияL121являетсяцентромраспространениявкинематической теории дифракции, т.е. центром сферы Эвальда, и называется точкойЛауэ.Также из узлов (000) и (hkl) проводятся сферы радиусом k0′, где k0′ − волновой векторпервичной волны, распространяющейся внутри кристалла в одноволновом случае.Пересечение этих сфер в плоскости отражения даст точку Q.Рис.6.3. Дисперсионные поверхности для двухволнового приближения.А – центр распространения. Точка L – центр сферы Эвальда.122Согласно (6.43), k0′ < k, поэтому точка Q находится несколько ближе к узлам (000) и(hkl), чем точка Лауэ L (см.рис.6.3). Так как, относительное различие модулей k0′ и kпорядка |χ0 | << 1, то отрезок LQ много меньше отрезков hQ и 0Q.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
