x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 19
Текст из файла (страница 19)
в них отсутствуютмакроскопические токи. В то же время смещения электронов внутри атомов под влияниемэлектромагнитногополярентгеновскойволныможнорассматриватькакмикроскопические токи.В динамической теории рассматриваются кристаллы, магнитная проницаемостькоторых полагается равной единице во всех точках.110Пространственное распределение электрического заряда в кристалле описываетсянепрерывной функцией точки ρ(r). Эту функцию электронной плотности можнопредставить как сумму квадратов модулей волновых заполненных одноэлектронныхстационарных состояний, усредненную по тепловым колебаниям атомных ядер иумноженную на заряд электрона.
Следовательно, функция ρ(r) везде отрицательна, крометочек, где она равна нулю. Полагается, что функция электронной плотности не зависит отвремени.Интенсивность первичной рентгеновской волны такова, что вызванное ей возмущениеэлектронной плотности ρ(r) является малым, т.е. линейно зависит от напряженностиэлектрического поля рентгеновской волны.Так как массы атомных ядер превышают массу электрона на 3 – 5 порядков, то поддействием рентгеновской волны атомные ядра получают пренебрежимо малые ускоренияпосравнениюсускорениемэлектронов.Поэтойпричинепренебрегаетсявзаимодействием рентгеновской волны с атомными ядрами.Электромагнитноестационарным,т.е.полерентгеновскогоамплитудывекторовизлучениявнапряженностикристаллеполагаетсяэлектрическогоEинапряженности магнитного H полей рентгеновской волны не зависят от времени.Длина волны λ рентгеновского излучения сопоставима с размерами атомов, поэтомууравнения электромагнитных полей, индуцированных рентгеновской волной в кристалле,должны быть записаны для микроскопических полей.
Эти поля существуют в кристалле,даже в отсутствии падающей рентгеновской волной, так как создаются электрическимизарядами электронов и ядер внутри атомов, микроскопическими внутриатомными токамиэлектронов и т.п.6.2. Уравнение электромагнитного поля в кристалле при распространениирентгеновской волны.Уравнения Максвелла для стационарных микроскопических электромагнитных полей вотсутствие первичной рентгеновской волны при вышеприведенных идеализациях могутбыть записаны в следующем виде:div e = 4πρ0(6.1.a)rot e = 0div h = 0(6.1.в)rot h =1114πj0c(6.1.б)(6.1.г)Векторы e(r) и h(r) представляют собой микроскопические поля, создаваемыестационарными внутриатомными токами j0(r) и зарядами со стационарной плотностьюρ0(r).Падающаярентгеновскаяволнаполагаетсяплоскойимонохроматической.Электрическое и магнитное поле такой волны, распространяющейся в вакууме,записываются в виде :E(r, t) = E(r) exp(–iωt) ,H(r, t) = H(r) exp(–iωt)(6.2)где E(r) и H(r) – амплитуды напряженностей электрического и магнитного полейрентгеновской волны, ω – частота рентгеновской волны, которая принимается одинаковойв вакууме и в кристалле.В силу принципа суперпозиции суммарные электрическое и магнитное поля вкристалле, облучаемого рентгеновской волной, представятся следующими суммами:E0(r, t) = e(r) + E(r) exp(–iωt)H0(r, t) = h(r) + H(r) exp(–iωt)(6.3)Электромагнитное поле внутри кристалла, в котором распространяется рентгеновскаяволна (6.2) описывается системой уравнений Максвелла, записанной уже для суммарныхполей (6.3), которые зависит не только от координат, но и от времени.div E0(r, t) = 4πρ0(r) + 4πρ(r, t) ,(6.4.a)rot E0(r, t) = − [∂H0(r, t)/∂t] /c,(6.4.б)div H0(r, t) = 0 ,(6.4.в)rot H0(r, t) = [∂H0(r, t)/∂t + 4π j0(r) + 4π j(r, t) ] /c.(6.4.г)Функции ρ(r, t) = ρ(r) exp(–iωt) и j(r, t) = j(r) exp(–iωt) представляют собой плотностьзаряда и плотность тока, индуцированные полем рентгеновской волны.Вычисление производных по времени векторов (6.3) и учет уравнений (6.1)позволяет упростить систему (6.4):div E = 4πρ(r) ,Существенно,(6.5.a)div H = 0 ,(6.5.в)чтосистемаполученнаяrot E − irot H + iуравненийωH=0cω4πE=j(r) .cc(6.5)описывает,(6.5.б)(6.5.г)амплитудыэлектрического и магнитного полей рентгеновской волны, распространяющейся внутриоблучаемого кристалла:Введем новый вектор1124πj,ωD=E+i(6.6)и с его помощью преобразуем уравнение (6.5.г):rot H + iωD=0.c(6.7)Так как дивергенция любого ротора равна нулю, то вычисление дивергенции обеих частейуравнения (2.7) дает:div D = 0 .(6.8)Микротоки j в кристалле возникают под действием рентгеновской волны, поэтомуна основании постулата о малости возмущения электронной плотности можно записатьсвязь полей D и E в следующем виде:D = ε(r) E.гдефункцияточкиε(r)интерпретируетсякак(6.9)диэлектрическаяпроницаемостьнеоднородной среды.Для вычисления плотности тока j можно использовать динамическое уравнение :me v& = −e E exp(–iωt) ,(6.10)где −e и me − заряд и масса электрона.
Величина v представляет собой добавочнуюскорость, которую приобретает электрон под действием поля рентгеновской волны. Изуравнения (6.10) следует, чтоv=−ieE exp(–iωt) .meω(6.11)Так как плотность тока выражается произведением j(r, t) = ρ0(r) v, то с помощью (6.11)получаем:j(r, t) = −ieρ0(r)E exp(–iωt) ,meωгде функция ρ0(r) представляет собой стационарную электронную плотность, неискаженную влиянием рентгеновского излучения.
Это означает, что функция плотноститока j(r) прямо пропорциональна электрическому полю рентгеновской волныj = −ieρ0E .meω(6.12)Подстановка (6.12) в (6.6) и сравнение с (6.9) дает выражение для функции ε(r):ε(r) = 1 +4 πeme ω2113ρ0(r) .(6.13)которую целесообразно представить в виде суммыε(r) = 1 + χ(r) ,(6.14)где функцияχ(r) =4 πeme ω 2ρ0(r)(6.15)везде принимает отрицательные (или нулевые) значения. Численные оценки дают, дажецентральной области атома электронная плотность такова, что безразмерная абсолютнаявеличина |χ| не превышает 10−3.
Следовательно, можно принять, что везде|χ| << 1 .(6.16)Из соотношения (6.14) следует, что функция точки χ(r) является аналогомклассической поляризуемости неоднородной среды.Возьмем ротор от обеих частей уравнения (6.5.б), используем соотношение (6.7) итаким образом получим уравнение, связывающее поля E и D рентгеновской волны,распространяющейся в кристалле:rot rot E =ω2c2D.(6.17)Поле E выразим через вектор D с помощью уравнений (6.9) и (6.14). Пользуясьнеравенством (6.16), запишем для полей E и D следующее соотношение:E = (1 − χ) D .(6.18)Для вычисления двойного ротора в (6.17) воспользуемся формулой векторного анализа:rot rot E = grad div E − ∆E ,(6.19)и соотношением (6.8). Тогда уравнение (6.17) приведется к следующему виду:∆D +ω2c2D + rot rot (χD) = 0 .(6.20)Это дифференциальное уравнение связывает вектор поля D(r) рентгеновской волны вкристалле с частотойрентгеновского излучения ω и функцией χ(r), котораяхарактеризует рассеивающую способность кристаллической структуры.
Трудностирешения уравнения возникают из-за сложного вида функции χ(r), который обусловленатомной структурой элементарной ячейки кристалла.Часто частоту ω выражают через длину волны λ рентгеновского излучения в вакууме.Тогда функция поляризуемости χ представляется следующим выражением114χ(r) =eλ2πme c 2ρ0(r)(6.21)а уравнение (6.20) примет вид:∆D +4π 2λ2D + rot rot (χD) = 0 .(6.22)Для решения уравнения (6.22) используется трансляционная симметрия кристалла. Видеальных кристаллах плотность электрического заряда ρ0(r) является трехмернойпериодической функцией координат и может быть разложена в ряд Фурье:ρ0(r) = −∑eVUFhkl exp[−2πi (Hhkl r)],(6.23)hklгде VU − объем элементарной ячейки кристалла, Hhkl − вектор обратной решетки узла синдексами (h,k,l). Коэффициентами Фурье-разложения (6.23) являются структурныеамплитудыFhkl =∑f j exp[2πi (Hhkl rj)],(6.24)jгде rj – радиус-вектор j-го атома элементарной ячейки, fj – атомный фактор j-го атома.Суммирование проводится по всем атомам элементарной ячейки данной кристаллическойструктуры.Функция поляризуемости χ(r) также является трехмерно-периодической функциейкоординат и может быть разложена в ряд Фурье по векторам обратной решетки Hhkl.
Дляэтого подставим Фурье-разложение (6.23) в (6.21) и получим:χ(r) =∑χ h exp[−2πi (Hhkl r)],(6.25)hklгде коэффициенты Фурье χh ряда (6.25) выражаются следующим образом :λ2 Fhklχh = −reπ VU.(6.26)Параметр re – классический радиус электрона (2.3).Для нулевого узла обратной решетки (hkl) = (000) получим по формуле (6.26)выражение коэффициента Фурье χ0 :115χ0 = −reλ2 F000π VU,(6.27)где значение структурной амплитуды F0 совпадает с количеством электронов вэлементарной ячейке Ne. Отсюда, в частности следует, что для всех троек индексов (hkl)выполняется неравенство |χ0| > |χh|, если речь идет об определенном кристалле ипостоянной длине волны рентгеновских лучей.6.3. Дисперсионные уравнения.Решение уравнения (6.22), описывающего рентгеновское волновое поле внутрикристалла, представляется в виде плоской блоховской волны с волновым вектором k0 иамплитудой A(r) .D(r, t) = A(r) exp[i(ωt − k0 r)](6.28)Так как мы рассматриваем лишь стационарное электромагнитное поле в кристалле,то амплитуда A(r) не зависит от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
