x-ray_analysis_of_solids (1248287), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Угловое распределение рефлекса в случае геометрии Лауэ.а) AL =1, б) AL = 2, в) AL = 5, г) AL = 11.R1R1-40.80.80.60.60.40.40.20.2-224y-4..а-224бРис.6.9 Угловое распределение рефлекса в случае геометрии Лауэ.а) AL =π, б) AL = 2π.131yРазрешающая способность современных детекторов рентгеновского излучения непозволяет наблюдать отдельные побочные максимумы рентгеновского рефлекса притолщине идеального кристалла d ∼ 1 мм.
Усреднение побочных максимумов даетследующую приближенную формулу для усредненного коэффициента отражения:R =12(1 + y 2 ).(6.68)При этом осциллирующая функция (6.65) заменяется более плавной, срезающей нули ипикипобочныхраспределенияосцилляций.усредненногоЗаметим,что,согласнокоэффициента отраженияширинаугловогоне зависит оттолщины(6.68),дифрагирующего кристалла.КоличественнойоценкойугловойшириныРДМявляетсядиапазонуглов,ограниченный значениями переменной (6.66) y = ±1. Численные значения данной оценкиширины рефлекса w приведены в таблице 6.1. Величины w рассчитаны для симметричнойгеометрии Лауэ (γh = γ0) и коэффициента поляризации Cp = 1.Таблица.6.1.Характерная ширина w усредненного коэффициента отражения R (в угловых секундах).Дигидрофосфат калияλ = 0,7107 ǺАлюмокалиевые квасцыλ = 1,542 Ǻλ = 0,7107 Ǻλ = 1,542 Ǻhklwhklwhklwhklw2003,082006,773330,433330,974000,444001,022201,052202,316000,516001,366000,496001,13Зависимость коэффициента отражения R от толщины кристалла d, согласно (6.65) и(6.67), является периодической.
В частности, это означает, что при определенныхзначения толщины кристалла интенсивность рентгеновского рефлекса падает до нуля.Пространственный период зависимости R(d) в случае симметричной схемы Лауэ, и когдапервичная рентгеновская волна падает на кристаллическую пластинку точно подбрэгговским углом ψ = ψ0, равен величинеPd =132λ cos(θb ),C p χh(6.69)Так как для измеряемых рентгеновских рефлексов величина χh∼10−6, то из (6.69)следует, что период Pd может на несколько порядков превышать длину волнырентгеновского излучения λ.В большинстве рентгеновских экспериментов измеряется интегральная интенсивностьрентгеновского рефлекса.
Эта величина пропорциональна интегральному коэффициентуотражения, который для геометрии Лауэ определяется следующий формулой:∞Ri =∫−∞sin 2 AL y 2 − 1 dy .2y +1(6.70)Расчеты позволяют выразить коэффициент (6.68) в виде ряда∞Ri = π∑J 2 n +1 ( 2 AL ) ,(6.71)n =0где Jn – функция Бесселя n-го порядка.Зависимость интегрального коэффициента отражения Ri от толщины d имеетхарактерный осциллирующий вид, приведенный на рис.6.10.R32.521.510.5246810AРис.6.10.
Зависимость интегрального коэффициента отражения от толщины кристалла в случаегеометрии Лауэ.При дальнейшем увеличении толщины кристалла интегральный коэффициент отраженияRi начинает, естественно, уменьшаться из-за поглощения рентгеновских лучей.6.7. Коэффициент отражения рентгеновского излучения в геометрии Брэгга.133Геометрия Брэгга отличается от геометрии Лауэ взаиморасположением входнойграни кристалла и отражающей плоскости.
В схеме Брэгга, согласно (6.57), угол ψhпревышает π/2 и параметр γh , определенный формулой (6.62), имеет отрицательный знак.Частный случай симметричной геометрии Брэгга осуществляется при угле ϕ = 0, т.е.когда отражающая плоскость параллельна входной (облучаемой) поверхности кристалла.Граничные условие для модулей амплитуд рентгеновских волн на входной поверхностикристалла в случае геометрии Брэгга имеют вид:D0 = D0(1) + D0( 2 ),(6.72)Dh(d ) = Dh(1) + Dh( 2 ) .(6.73)На противоположной поверхности плоскопараллельной пластины граничные условиедля модулей амплитуд рентгеновских волн записывается в виде следующих соотношений:D0 exp(−i kZ d) = D0(1) exp(−i k 0(1z) d) + D0( 2 ) exp(−i k 0( 2z ) d)(1)(2)0 = Dh(1) exp(−i k hzd) + Dh( 2) exp(−i k hzd)(6.74)(6.75)На рис.6.11. видно, что при ψ ≥ ψ0 оба центра распространения находятся на верхнейветви дисперсионной поверхности.
Ясно, что найдутся такие углы падения ψ < ψ0 длякоторых нормаль n0 не пересечет ни одну ветвь. При дальнейшем изменении углаотклонения η нормаль n0 пересечет нижнюю ветвь.134Рис.6.11. Центры распространения в случае геометрии Брэгга.Следовательно, при регистрации дифрагированного излучения в геометрии Брэгганормаль ко входной грани n0 пересекает или одну из ветвей дисперсионной поверхности вдвух точках, или вообще не пересекает их.
В первом случае оба центра распространениярасполагаются на одной и той же ветви, а в кристалле (как и в геометрии Лауэ)распространяются две проходящие и две дифрагированные рентгеновские волны, которыеинтерферируют между собой. Во втором случае рентгеновские поля внутри кристаллаимеют не гармонический, а экспоненциальный характерВследствие этого угловой диапазон рентгеновского рефлекса целесообразно разбить натри области с помощью переменной y следующим образом:Область 1y < −1(6.76.а)Область 2−1 < y < 1(6.76.б)Область 3y>1(6.76.в)Схема разбиения диапазона переменной y на вышеуказанные области приведена нарис.6.12.135Рис.6.12. Три области дифракции в случае геометрии Брэгга.Безразмерная переменная y, как и в геометрии Лауэ, линейно зависит от углаотклонения η. Для симметричной геометрии Брэгга зависимость y(η) имеет вид:y=η sin( 2θ b ) − χ 0.C p χh(6.77)Коэффициент отражения R в случае геометрии Брэгга определяется формулой,аналогичной (6.63), но с учетом отрицательности параметра γhd 2R=DhD02γhγ0(6.78)Вычисление коэффициента отражения R в геометрии Брэгга проводятся тем же путем,который был использован в геометрии Лауэ для получения выражения (6.65).
В результатеалгебраических преобразований оказывается, что коэффициент отражения в случаегеометрии Брэгга выражается двумя формулами для разных областей дифракции (6.76):136R=R=12222y + ( y − 1)ctg ( AB y − 1 )12222y + (1 − y )cth ( AB 1 − y ).|y| > 1(6.79).|y| < 1(6.80)где параметр АB пропорционален толщине кристалла d и для симметричной геометрииБрэгга может быть записан в следующем виде:АB =πdC p χ hλ sin( θ b ).(6.81)Угловое распределение рентгеновского рефлекса, задаваемое формулами (6.79) и(6.80),содержитхарактерныйцентральныймаксимумимножествопобочных(см.рис.6.13).Центральный максимум занимает всю область 2 (6.76.б) и частично соседние области.С ростом толщины кристалла d угловая ширина центрального максимума уменьшается истремится к пределу, равному двум в единицах переменной y.
Для реальных кристаллов иизмеряемых рефлексов эта предельная ширина центрального максимума составляетнесколько угловым секундам. При этом, т.е. с возрастаниемтолщины кристалла d,центральный максимум рентгеновского рефлекса приобретает характерную форму«столика Дарвина» с плоской «крышей» (см.рис.6.13).Побочные максимумы при увеличении толщины d становятся все более узкими ипрактически неразрешимыми методами рентгеновской спектрометрии.RR11-40.80.80.60.60.40.40.20.2- 224y-4АB = 1- 22АB = 21374yRR-4110.80.80.60.60.40.40.20.2- 224y-4- 2АB = 524yАB = 10Рис.6.13. Угловое распределение рефлекса в случае симметричной геометрии Брэггадля кристаллов разной толщины.Интегральная интенсивность рентгеновского рефлекса в геометрии Брэгга, как и вгеометрии Лауэ, характеризуется с помощью интегрального коэффициента отражения Ri,определяемого в данной геометрии следующий формулой:∞Ri =∫R ( y ) dy .(6.82)−∞В случае геометрии Брэгга интегрирование в (6.82) необходимо проводить по тремдиапазонам (6.76), а в качестве подынтегральных функций брать соответствующиевыражения (6.79) или (6.80).В результате вычислений получено, что с ростом толщины кристалла d интегральныйкоэффициент отражения Ri в геометрии Брэгга монотонно возрастает (см.рис.6.14).Однако расчеты показывают, что, начиная с нескольких десятков микрон, интегральнаяинтенсивность рефлекса остается неизменной.
Это значит, что в геометрии Брэггаволновое поле рентгеновского рефлекса формируется в приповерхностном слое малойтолщины.138Ri10.80.60.40.212345AРис.6.14. Зависимость интегрального коэффициента отражения от толщины кристалла в случаегеометрии Брэгга.Предыдущие выражения коэффициентов отражения были получены без учетапоглощения рентгеновских лучей внутри кристалла.
Динамическая теория позволяетрассчитывать эффекты как нормального, так и интерференционного поглощения. Вгеометрии Лауэ поглощение приводит к уменьшению интегральной интенсивности, приэтом положения нулей функции R(y) не изменяются. Напротив, в случае геометрии Брэггапри учете поглощения угловое распределение коэффициента отражения R(y) вообще неимеет нулей. При этом «столик Дарвина» искажается и значительно уменьшает своювысоту.139ГЛАВА 7. МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ РЕГИСТРАЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХЛУЧЕЙВ настоящее время широкоиспользуютсяразличные методикирегистрациирассеянных и первичных рентгеновских лучей. Регистрация рассеянного рентгеновскогоизлучения осуществляется в разных геометрических схемах. Методы измеренияинтенсивности пучков рентгеновских лучей базируются на физических процессах,происходящих при взаимодействии рентгеновских фотонов с веществом.7.1.
Геометрические схемы регистрации рассеянного рентгеновского излучения.Представим,чтоисследуемыйкристаллическийобразецимеетформуплоскопараллельной пластины. Первичный пучок рентгеновских лучей падает на одну изграней образца, которую называют входной или лицевой. Противоположную грань можноназвать задней.По взаимному расположению первичного и рассеянного рентгеновских пучков и ихориентации относительно граней кристалла различают две геометрические схемырентгеновскогодифракционногоэксперимента.ВсхемерегистрациипоЛауэдифрагированный (рассеянный) пучок выходит из задней грани исследуемого образца,которая в данной геометрии справедливо называется выходной (см.рис.7.1.а).В геометрии Брэгга дифрагированный пучок выходит через лицевую грань кристалла,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
