2019 лекции 11-16 (1247450), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Карно (1824).Современную его формулировку независимо друг от друга дали немецкий физикР. Клаузиус и шотландский физик В. Томсон (1850–1851). Согласно Томсону,«невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было быпроизводство работы за счет охлаждения теплового резервуара».

Согласно Клаузиусу«теплота не может самопроизвольно переходить от тела, менее нагретого, к телу, болеенагретому».Обе эти формулировки второго начала эквивалентны.Докажем, что из формулировки Томсона следует формулировка Клаузиуса.Пусть невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было быпроизводство работы за счет охлаждения теплового резервуара, и при этом пусть теплотаможет самопроизвольно переходить от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому(доказательство от противного). Тогда берется простейшая тепловая машина, проводитсякруговой процесс, в результате которого машина отнимает от нагревателя теплоту Q1,передает охладителю теплоту Q2, а за счет разницы совершает работу A = Q1 – Q2.Затем теплота Q2 возвращается от охладителя нагревателю (мы предположили, что этовозможно). Состояние охладителя, таким образом, не изменяется.

Единственнымрезультатом данного кругового процесса является производство работы A за счетэквивалентного ей количества теплоты Q1 – Q2, отнятого от нагревателя. Но это естьнарушение исходного условия.И, наоборот, из формулировки Клаузиуса следует формулировка Томсона.Действительно, пусть теплота не может самопроизвольно переходить от тела, менеенагретого, к телу, более нагретому, но при этом возможен круговой процесс,единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждениятеплового резервуара (опять от противного). Пусть в таком круговом процессе отнимаетсятеплота Q от некоего резервуара R1, за счет нее совершается механическая работа A – см.рис.

13.1. С помощью этой работы можно заставить другую тепловую машину работать вобратном направлении – отнимать тепло от некоего другого менее нагретого резервуараR2 и передавать его более нагретому резервуару R1 (T1 > T2). В результате тепло перейдетот менее нагретого тела к более нагретому, причем в отсутствие других изменений. Но этоесть тоже нарушение исходного условия.Рис.

13.121Существуют и другие эквивалентные формулировки второго начала термодинамики. Оних пойдет речь ниже.Из формулировки Томсона следует принцип невозможности создания вечногодвигателя второго рода. Речь идет о тепловой машине, единственным результатомциклической работы которой является превращение в работу всей теплоты,заимствованной от одного теплового резервуара (КПД такой машины был бы равенединице). Возможность ее построения не отрицается первым началом термодинамики. Посвоему практическому значению она почти не уступала бы вечному двигателю первогорода, так как с ее помощью можно было бы производить работу за счет практическинеисчерпаемых запасов внутренней энергии, содержащейся в водах морей и океанов, ввоздушной атмосфере, в недрах Земли.13.2. Теорема КарноТеорема (или принцип) Карно гласит: КПД тепловой машины, работающей пообратимому циклу Карно, не зависит от природы рабочего вещества и устройствамашины, а определяется только температурами нагревателя и охладителя; КПДнеобратимой тепловой машины, имеющей те же нагреватель и охладитель, меньше КПДобратимого цикла Карно.Нагреватель,Т1НеобратимаямашинаОбратимаямашинаРис.

13.2ACОхладитель,C'Т2Для доказательства необходимо рассмотреть две машины C и C ', работающие по циклуКарно между двумя тепловыми резервуарами, 1 (нагреватель) и 2 (охладитель), стемпературами Т1 и Т2 (рис. 13.2). Рабочее тело в каждой из машин может бытьпроизвольным (например, это реальный газ). Но первая из них обратимая, а втораямашина может быть как обратимой, так и необратимой. Первая машина C берет отнагревателя количество теплоты Q1, охладителю передает количество теплоты |Q2| (Q2 <0). В результате в цикле C совершается работаA = Q1 + Q2.Вторая машина берет от нагревателя количество теплоты Q1', охладителю передаетколичество теплоты |Q2'|, причем без ограничения общности можно считать, что Q2' = Q2,22т.

е. обе машины отдают одинаковое количество теплоты (этого можно добиться путемнадлежащего масштабирования машин). Тогда в цикле C ' совершается работаA' = Q1' + Q2.Рассмотрим теперь процесс, в котором машина C работает в обратном направлении(как холодильная машина); машина же C ' – по-прежнему в прямом.

В результате этогопроцесса из второго резервуара все полученное при прямом прохождении цикла C ' теплобудет в обратном цикле C извлечено из-за обратимости машины в том же количестве, исостояние второго резервуара в результате не изменяется. Но при этом будет совершенаработаA' – A = Q1'  Q1.Эта работа должна быть отрицательной, положительная работа запрещена вторымначалом термодинамики (нельзя в круговом процессе получить работу, полностьюпревращая в нее теплоту, забираемую от теплового резервуара, без изменений в другихтелах).

Тогда получаем, что Q1' ≤ Q1. Так как КПД двух машин есть согласно (12.1) есть  1| Q2 |,Q1  1 | Q2 |,Q1(13.1)а Q2' = Q2 , то отсюда сразу следует, чтоη' ≤ η.(13.2)Знак равенства для КПД двух машин относится к случаю, когда цикл C ' такжеобратимый. В самом деле, обращением тогда цикла C ' аналогично доказывается, чтоη' ≥ η. Получается, что для обратимого цикла C ' должны одновременно выполнятьсясоотношения η' ≤ η и η' ≥ η. Это означает их равенство.

Таким образом, получается, вопервых, что КПД работающей по циклу Карно обратимой машины не зависит от природырабочего вещества и ее конкретного устройства. Во-вторых, КПД работающей по циклуКарно необратимой тепловой машины, имеющей те же самые тепловые резервуары,меньше КПД обратимой машины. Что и доказывает теорему Карно. (Иногда ее называютпринципом Карно).Так как природа вещества в теореме Карно нигде не фигурирует, им может быть иидеальный газ.

Пусть он является рабочим телом обратимой машины слева. Тогда из η' ≤ ηи соотношения (13.5) получаем:1Q2T 1 2 .T1Q1Отсюда получаем неравенствоQ1 Q20,T1T2(13.3)причем равенство справедливо только для обратимого процесса – ср. (12.6).2313.3. Термодинамическая температураКак уже говорилось, температуру можно измерять газовым термометром – наоснове использования уравнения состояния идеального газа PV = νRT.

Этот способ имеетоднако очевидный недостаток, состоящий в том, что идеального газа не существует. Вреальном газе имеется взаимодействие между молекулами, учесть которое практическиневозможно, что вносит неустранимую погрешность в измерение температуры такимтермометром. Казалось бы, что эту погрешность можно уменьшить понижением давлениягаза, так при этом при этом взаимодействия между молекулами ослабевают, и газ посвоим свойствам приближается к идеальному.

Однако при низких давлениях падаетточность измерения давления и проблема не устраняется. К тому любой реальный газ придостаточно низких температурах из-за межмолекулярных взаимодействий конденсируетсяв жидкость.Проблемы возникают и при использовании других термометров. Например,термометры, работающие на основе теплового расширения (ртутные, спиртовые, водяныеи т.д.), также вносят неустранимую погрешность из-за эффектов нелинейности прирасширении рабочего тела. Допустим, мы откалибровали показания ртутного термометра(длину столбика жидкости) при температурах таяния льда (0оС) и кипения воды (100оС).Но какой температуре будет соответствовать, скажем, среднее значение длины столбикамежду этими двумя калиброванными значениями? Можно лишь полагать, что этатемпература близка к 50оС.

Но из-за эффектов нелинейности в тепловом расширениитемпература не будет в точности равна этой величине.Возникает тогда вопрос, а возможно ли вообще корректное измерениетемпературы.Положительный ответ на этот вопрос дает использование принципа Карно итепловой машины, работающей по обратимому циклу Карно. Рассмотрим такую машину,нагревателем для которой служит кипящая вода, а охладителем – тающий лед. Измеримколичества получаемого от нагревателя Q1 и отдаваемого охладителю |Q2| тепла.

Введемтермодинамические температуры 1 и  2 с помощью двух соотношений:1Q 1 , 2 | Q2 |1   2 = 100 K.Из этих двух уравнений можно найти обе величины 1 и  2 . Тогда термодинамическуютемпературу  любого тела можно определить с помощью данной тепловой машины,устроив цикл между этим телом и плавящимся льдом (или кипящей водой) посоотношениюQ2 ,(13.4)| Q2 |где Q – количество полученного от этого тела тепла. Такое определение температуры,согласно принципу Карно, не зависит от типа используемого рабочего тела.Данный результат показывает теоретическую возможность существования«абсолютного» термометра, не связанного с какими-либо конкретными свойствами24рабочего тела.

В реальности, конечно, температура измеряется не с использованиемтепловой машины, а с помощью других устройств, работа которых основана однако наописанных здесь законах термодинамики; о некоторых способах измерениятермодинамической температуры пойдет речь в дальнейшем. В частности, таким образомбыло получено, что 1 = 373,15 К,  2 = 273,15 К.Для цикла Карно, в котором рабочим телом служил идеальный газ, из (12.6) следует,что в этом случае имеет место аналогичное соотношениеQTT2| Q2 |Это соответствие с (13.4) позволяет говорить, что температура T, показываемая идеальногазовым термометром, с точностью до постоянного множителя совпадает с введеннойтаким образом абсолютной термодинамической температурой. Если мы также учтем, чтодля идеально-газового термометра было принято, что разница температур замерзания икипения воды равнялась 100 К (см.

п. 1.3), то этот множитель оказывается просто равнымединице, то есть две температуры просто тождественны, Т =  .13.4. Теорема о приведенных теплотах. Неравенство КлаузиусаСоотношение (12.6) перепишем какQ1 Q20T1 T2(13.5)Отношение теплоты к температуре называется приведенной теплотой. Формула (13.5)является частным случаем сформулированной Клаузиусом «теоремы о приведенныхтеплотах».

Эта теорема формулируется для произвольного циклического процесса, вкотором система может обмениваться теплом не с двумя, а с несколькими тепловымирезервуарами. Теорема гласит, что для любого обратимого циклического процесса, вкотором система получает теплоты Qi от набора тепловых резервуаров Ri с температурамиTi (i = 1, 2, ..., n), должно выполняться условиеnQiTi 1 0.(13.6)iЕсли температура в ходе процесса меняется плавно, тогда этот результат можно записатьв виде интеграла по замкнутому контуру:QT0(13.7)Любой процесс можно изобразить на pV-диаграмме – см.

рис. 13.3 (температура вкаждой точке процесса задается однозначно из уравнения состояния). Теорема легкодоказывается, если рассматриваемый на pV-диаграмме цикл разбить на большое числоциклов Карно с малым шагом вдоль изотерм (рис. 13.3).25Рис. 13.3Действительно, при таком разбиении адиабаты проходятся дважды – в двухпротивоположных направлениях, и произведенные на совпадающих участках работы«аннулируются». Тогда показанный на рис. 13.3 слева набор циклов эквивалентен одномупоказанному справа «пилообразному» циклу.

Этот «пилообразный» цикл может какугодно точно быть приближен к нашему процессу. А так как для каждого из малых цикловсправедливо равенство (13.5), то это доказывает справедливость формулы (13.6) дляпроизвольного циклического процесса.Если циклический процесс не является обратимым, тогда для каждого из малыхциклов вместо равенства (13.5) необходимо подставлять неравенство (13.3). Для такогопроцесса тогда имеем неравенство:nQiTi 1≤ 0.(13.8)≤ 0.(13.9)iИли, в интегральном виде,QTЭти неравенства называют неравенствами Клаузиуса. Знак равенства появляется дляполностью обратимых процессов.13.5. ЭнтропияИз равенства (13.7) для обратимых циклических процессов следует, что для всякогообратимого процесса перехода между двумя произвольными состояниями значениеинтеграла Q / Tне зависит от пути, по которому происходит процесс.

Действительно,пусть система может переходить из состояния 1 в состояние 2 различными способами,каждый из которых является обратимым процессом  см. изображение этого процесса наpV-диаграмме на рис. 13.4. Если взять из них два каких-нибудь процесса (обозначим их aи b) и объединить их в один обратимый циклический процесс, то для него можно написатьравенство  Q /T    Q /T1a 2= 0.2b126pa21bРис. 13.4VИзменение направления интегрирования во втором слагаемом дает  Q /T    Q /T .1a 2(13.10)1b 2Отсюда можно сделать вывод, что приведенное количество теплоты, полученноесистемой в обратимом процессе, не зависит от пути перехода, а определяется лишьначальным и конечным состояниями системы. Тот факт, что при обратимом переходезначение интеграла   Q / T не зависит от пути перехода, а определяется лишь начальными конечным равновесными состояниями системы, означает существование однозначнойфункции состояния S, изменение которой при переходе между двумя состояниями 1 и 2определяется выражением2S 2  S1  1QT.(13.11)Эту новую функцию состояния называют энтропией.

Характеристики

Список файлов лекций