2019 лекции 11-16 (1247450), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Такое малое отверстие излучает поэтому какабсолютно черное тело.dOdrOrd'2r ddSРис. 16.1.dSРис. 16.255Выберем произвольную точку О внутри полости и рассмотрим падающее на неевнутри телесного угла d излучение – см. рис. 16.1. Оно обусловлено испусканиемвыделяемого на поверхности углом d малой площадки dS . При этом имеет местосоотношениеd r 2,(16.1)dS cos где r – расстояние от точки О до данного элемента поверхности, θ – угол нормали кповерхности.Введем понятие излучательной способности поверхности стенок E0(T) притемпературе Т как величину полной энергии, излучаемой во все стороны в полость вединицу времени с единицы площади. Согласно закону излучения Ламберта (этот законназывают еще косинусным законом излучения), энергия излучения поверхности внаправлении, составляющем угол θ с нормалью к поверхности, пропорциональна cos (см.

рис. 16.2). Тогда величина dQ(T ) излучаемой за время dt элементом стенки dSэнергии пропорциональна величинам E0(T), dS, dt, cos  , и для излучаемой в элементтелесного угла d  энергии поэтому имеем:dQ(T )  E0 (T ) dtdS cos d .(16.2)Множитель 1/π здесь из-за нормировки: cos 0  20  /2d  1.Теперь рассмотрим поток излучения с площадки dS через проходящий через точкуО малую площадку, которая перпендикулярна направлению распространения света иимеет площадь d – см. рис. 16.2.

Падающее на нее излучение с любой точки элементаповерхности dS заключено в элементе телесного угла d , определяемого какd  dr2(16.3)(см. рис. 16.2). Теперь в (16.2) подставим dS из (16.1) и d  из (16.3). Отсюда получимпоток энергии через точку О внутри телесного угла d :dQ(T )d E0 (T )dtd (16.4)Этот результат означает, что поток энергии через некоторую точку наблюдения в полостине зависит ни от положения этой точки, ни от направления распространения излучениячерез эту точку.

Из чего следует, что полость равномерно заполнена излучением. В этомопять аналогия с идеальным газом в сосуде: молекулы газа также заполняют сосудравномерно.Отличием от газа является однако то, что фотоны могут рождаться и исчезать, тоесть что их число не является фиксированным. Поэтому вместо плотности молекул здесь56надо говорить о плотности энергии излучения. Так как эта плотность может зависеть оттемпературы, обозначим ее u(T).Рассмотрим дифференциальную плотность потока энергии излучения dI (T ) ,который падает на стенку в элементе телесного угла d  (см. рис. 16.2).

Ранее длядифференциальной плотности потока молекул на стенку мы получили (см. формулу (2.5)):dJ (v )  v n dW (v )cos sin  d dd . v cos  n dW (v )44Пользуясь аналогичными аргументами, заменив здесь скорость молекулы v на скоростьсвета с, а произведение n dW (v) на плотность излучения u(T), для dI (T ) можно написать:dI (T )  c cos  u(T )d .4(16.5)В равновесии падающий на абсолютно черную поверхность поток энергии долженкомпенсироваться излучением с этой поверхности. То есть должно иметь место равенствоdQ (T ) dI (T ) .dtdSОтсюда из сравнения (16.2) и (16.5) получаемcE0 (T )  u (T ) ,4(16.6)что связывает излучательную способность стенок и плотность энергии излучения внутриполости. (Отметим аналогию здесь с формулой (2.6) для полного потока молекул).Наконец заметим, что полная энергия фотонного газа в полости объемом V естьU(T,V) = u(T)V(16.7)16.2 Закон Кирхгофа, спектральный состав черного излученияВажно также отметить, что u(T) для абсолютно черного тела не зависит отматериала, из которого изготовлена излучающая поверхность.

Действительно, если бы этобыло не так, то тогда можно было бы соединить световодом находящиеся при одинаковойтемпературе две полости из разного материала, одна полость при этом стала бы остывать,а другая нагреваться, а это запрещено вторым началом термодинамики. Принципнезависимости плотности энергии излучения от природы материала называется законом(теоремой) Кирхгофа.Закон Кирхгофа имеет следующее важное расширение.

Световое излучениехарактеризуется не только плотностью энергии, но также своим спектральным составом.Плотность распределения энергии в зависимости от частоты излучения ν описываетсянекоторой функцией ρ(ν, T), имеющей смысл «парциальной» плотности энергии57излучения в интервале частот от ν до ν + dν. Введенная выше плотность энергииизлучения является полной (интегральной) плотностью:u (T )    ( , T )d0(16.8)Представим теперь, что соединяющий две полости световод разделен светофильтром,пропускающим только излучение в узком интервале частот вблизи некотороговыбранного значения ν.

Тогда закон о независимости плотности энергии излучения отприроды материала должен быть справедлив и для ρ(ν, T).Спектральная плотность энергии излучения ρ(ν,T) определяется законамиквантовой механики. (Без учета квантовых эффектов интеграл (16.8) расходится; этарасходимость в ранних теориях получила название «ультрафиолетовой катастрофы»).Приведем здесь без вывода выражение для спектральной плотности ρ(ν, T) (формулаПланка):8h  3 ( , T )  3 h / kTc e1 ,где h – постоянная Планка.

Эта функция имеет максимум при частоте νm, определяемой изусловия hνm = 2.822 kT (закон смещения Вина). При повышении температуры максимумплотности ρ(ν, T) смещается в область больших частот. Если формулу Планка записатькак функцию длины волны света, то тогда максимум спектральной плотности будетопределяться из соотношения λmT ≈ 3000 мкм К. При комнатной температуре (Т = 300 К)получим, что λm ≈ 10 мкм, что соответствует инфракрасному диапазону излучения.Отметим также, что если ввести «парциальную» излучательную способностьстенок e0 ( , T ) как энергию, излучаемая во все стороны в единицу времени с единицыплощади при температуре поверхности Т и в интервале частот от ν до ν + dν, то для нееможно написать аналогичное (16.6) соотношение:e0 ( , T ) c (v, T )4Если тело не является абсолютно черным, закон Кирхгофа утверждает, чтоотношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности(отношение величин поглощенной и падающей энергий) одинаково для всех тел приданной температуре.

Аргументы для обоснования этого утверждения аналогичны таковымприведенным здесь для случая абсолютно черного тела.16.3. Закон Стефана-БольцманаПадающее на стенки полости излучение оказывает на них давление. Давлениеидеального газа определялось произведением потока частиц и величины измененияимпульса при ударе молекулы о стенку – см. формулу (2.12). Так как процессыпоглощения и излучения фотонов можно объединить в один эффективный процесс,аналогичный удару и отражению молекулы в газе, для газа фотонов можно получитьаналогичные соотношения.

Выражение (2.12) для идеального газа можно представить ввиде58p  mnvx2  nPx vx ,где Рх – проекция импульса фотона на ось, перпендикулярную стенке. Для давления газафотонов с учетом того, что импульс фотона Р равен /c, где  - энергия, с – скорость света,скорость v = c, получаем аналогичное выражение:11p  n cos 2   n  u (T ) .33(16.9)Таким образам, равновесное излучение в полости действительно можнорассматривать как термодинамическую систему, обладающую температурой (температурастенок), объемом (объем полости) и давлением (определяется из (16.9).Для нахождения функции u(T) используется термодинамическое соотношение (15.23): U  p  T   p. V T T VПодстановка в него давления (16.9) и внутренней энергии (16.7) приводит кобыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка относительно u(T):( )( )( ).Отсюда получаем( )( )После интегрирования имеемu(T) = aT 4,где a – так называемая радиационная постоянная.

Тогдаap  T43(уравнение состояния фотонного газа).С учетом (16.6) имеем для потока энергии излученияE0 (T ) ca 4T  T 4 ,4(16.10)(16.11)(16.12)где величина  называется постоянной Стефана–Больцмана. Уравнение (16.12)называется законом Стефана–Больцмана. Из закона Кирхгофа следует, что  не зависитот природы материала, то есть является универсальной константой (как и радиационнаяпостоянная а). Она может быть определена экспериментально, либо рассчитана методамистатистической физики.

Ее рассчитанное значение:59 2k 460 3c 2=5,67 10-5 г/с3К4 (= 5,67 10-12 вт/см2К4).(16.13)Отсюда, например, следует, что 1 квадратный метр поверхности при 0оС излучает около300 ватт энергии.Отметим, что закон Стефана–Больцмана может быть применен не только дляравновесного излучения в полости (полость понадобилась здесь только для проведениятермодинамических расчетов), но к находящимся при постоянной температуре любымизлучающим поверхностям. Его можно также применить к излучению поверхностисолнца. (Это звучит парадоксально, но солнце является абсолютно черным телом – онопоглощает все падающие на него лучи).Упражнение для самостоятельной работыПоказать, что для фотонного газа4a1  3S S  VT 3 , U ( S ,V )  3(aV )1 / 3  4 4/31/ 4 3p , H ( S , p)    a 1S , F (T ,V )   aVT 4 , G(T , p)  03.cV  4aVT 3 , c p  .Для адиабатического процесса показать, что VT 3  const ,pV 4 / 3  const.60.

Характеристики

Список файлов лекций